Física Geral III F -328 Aula-4 O Potencial Elétrico F328 – 2S20123 1 Potencial elétrico Como podemos relacionar a noção de força elétrica com os conceitos de energia e trabalho? Definindo a energia potencial elétrica (Força elétrica conservativa) F328 – 2S20123 1S20123 2 Energia potencial elétrica (U) Analogia gravitacional U f − U i = −W = − ∫ mg . d l = mgh, f i onde U é a energia potencial associada ao campo da força gravitacional mg. q0 hf hi Note que h = h f − hi No caso eletrostático, como F = q0 E rf U f − U i = −W = − ∫ q0 E ( r )⋅dl = q0 Eh ri No caso de forças conservativas (como o nosso) , o resultado desta integral não depende do caminho de integração, mas apenas dos pontos inicial e final. F328 – 2S20123 3 Energia potencial elétrica (U) F (r ) z i q0 f ds rf C ri y Q x Se a força é devida a uma distribuição finita de cargas, convém tomar | ri |→ ∞ como a configuração de referência tal que Ui = 0 Com isto, podemos definir a função energia potencial U (r ): r U ( r ) = − ∫ q0 E ⋅ ds ∝ Ou seja, U (r ) é o negativo do trabalho realizado pela força do campo elétrico sobre a partícula com carga q0 para trazê-la desde o infinito até r . (Unidade SI: J = Nm) F328 – 2S20123 1S20123 4 Potencial elétrico (V) É a energia potencial por unidade de carga: U ΔU V≡ ΔV ≡ q0 q0 Note que o potencial elétrico só depende do campo elétrico da distribuição de cargas e não depende de q0 . Unidade SI: joule/coulomb = J/C = volt (V) Unidade de energia conveniente para cargas elementares: 1eV = elétron-volt= 1,6 x 10-19 J Potencial em função do campo: rf ΔV = V f − Vi = − ∫ E (r ) ⋅ dl ri Se escolhermos o infinito como referência: r V ( r ) = − ∫ E ( r ) ⋅ dl F328 – 2S20123 ∝ 5 Potencial elétrico E E V de um campo uniforme rf V f − Vi = − ∫ E ( r ) ⋅ dl ri a) V f − Vi = − Ed b) V f − Vi = − Ed dl dl E E (Vi >Vf ) Vemos que o resultado não depende do caminho da integração. dl a) b) E Portanto, para se calcular V, pode-se sempre escolher o caminho mais simples. O campo elétrico aponta sempre no sentido de potenciais decrescentes. F328 – 2S20123 i f 6 Superfícies equipotenciais Superfícies equipotenciais E São superfícies em que todos os pontos têm o mesmo potencial. WI , WII , WIII e WIV = ? As linhas de E são perpendiculares às superfícies equipotenciais. Por quê? E Campo uniforme E Carga positiva E Dipolo elétrico Um deslocamento ao longo de uma equipotencial não requer trabalho E ⋅dl = 0 F328 – 2S20123 ( 7 ) V de uma carga puntiforme rf V f − Vi = − ∫ E ( r ) ⋅ d l dl ri E 1 q E= rˆ 2 4πε 0 r Escolhendo Vi = 0 para r →∝ : ∝ V ( r ) = − ∫ E ( r ) ⋅dl = ∫ E ( r ′) dr ′ = r ∝ ∝ V (r ) r q =∫ dr 2 4πε0 r r Ou: F328 – 2S20123 1 V (r ) = q 4πε0 r Carga + Carga 8 U de uma carga puntiforme Energia potencial de uma carga q0 ao redor de q dl E U q0 = ? q0 q U = q0V = 4πε0 r 1 F328 – 2S20123 1S20123 Equivalente ao trabalho executado por um agente externo para trazer as duas cargas do infinito até uma distância r. 9 V de um sistema de cargas puntiformes - z + r − ri qi ri - - y + Princípio de superposição: V (r ) = ∑ i F328 – 2S20123 1S20123 Potencial no ponto P devido a cada carga qi : qi Vi (r ) = 4πε 0 | r − ri | r + + x P Vi (r ) = ∑ i qi (soma escalar!) 4πε 0 | r − ri | 10 Sistema de cargas puntiformes (V) Exemplos d = 1,3m q1 = 12 nC q2 = −24 nC q3 = 31nC q4 = 17 nC F328 – 2S20123 1S20123 VP = ? q = −12 ×e −12 e VC = 4πε 0 R EC = 0 11 U de um sistema de cargas puntiformes U é o trabalho executado por um agente externo para trazer todas as cargas do infinito até a configuração desejada. Dada a energia potencial elétrica entre cada par de cargas qi q j U ij = , temos que: 4πε 0 | ri − rj | qi q j 1 U= ∑ 2 i , j 4πε 0 rij Fator 1 2 i≠ j : Contar só uma vez cada par de carga, isto é: Uij = Uji Se U > 0: cargas livres (trabalho para uni-las); Se U < 0: cargas ligadas (trabalho para separá-las) F328 – 2S20123 q1 = q q2 = −4q q3 = 2q − 10 q 2 W= 4πε 0 d 12 Sistema de cargas puntiformes (U) Dado que energia potencial elétrica entre cada par de cargas U ij é dada por: qi q j U ij = , 4πε 0 | ri − rj | temos que a energia do sistema de cargas é: ⎡ 1 qi q j 1 qj ⎤ 1 1 U= ∑ = ∑qi ⎢ ⎥ = ∑ qi V ( ri ) , ∑ 2 i , j 4πε 0 rij 2 i ⎢⎣ 4πε 0 j ≠i rij ⎥⎦ 2 i i≠ j onde V ( ri ) é o potencial na posição da carga i. A generalização para uma distribuição contínua de cargas com densidade ρ ( r ′) é: 1 U = ∫ ρ ( r ′ )V ( r ′ ) dv′ 2 F328 – 2S20123 13 Dipolo elétrico (r >> d) V (r ) = ∑Vi (r ) i qi =∑ i 4πε 0 | r − ri | = q 4πε 0 r( + ) r >> d ⇒ − q 4πε 0 r( − ) r( − ) − r( + ) ≈ d cos θ r( − ) r( + ) ≈ r 2 p cosθ p⋅r V (r ) = = 2 3 4πε 0 r 4πε 0 r F328 – 2S20123 1S20123 p Momento de dipolo elétrico ( p = qd ) 14 Distribuição contínua finita de cargas z dq(r ′) r − r′ P r r′ dV (r , r ′) y 1 dq(r ′) V (r ) = 4πε 0 | r − r ′ | (V , S ou L ) ∫ x F328 – 2S20123 1S20123 • V = 0 no infinito • Válido somente para distribuição finita de cargas 15 Distribuições contínuas de carga Potencial de uma linha finita de carga ( dq = λ dx ) V (r ) = L V= 1 dq ∫ 4πε0 r (V , S ou L ) 1 ∫ 4πε 0 0 λdx x2 + d 2 ⎡ L + L2 + d 2 ⎤ λ V= ln ⎢ ⎥ 4πε 0 ⎢⎣ d ⎥⎦ F328 – 2S20123 d L 16 Distribuições contínuas de carga Potencial de um anel e de um disco carregados a) anel (raio a e carga q) 1 dV ( P ) = 4πε 0 dq 1 q V ( x) = 4πε 0 a 2 + x 2 a2 + x2 b) disco (raio a e densidade σ ) dV ( P ) = 1 4πε0 r + x | V ( x) = F328 – 2S20123 dq 2 1 4πε 0 2 a ∫ 0 ; dq = σ 2π r dr σ 2π rdr r 2 + x2 σ V ( x) = ( x 2 + a 2 − | x |) 2ε 0 17 Campo E a partir do potencial V Trabalho sobre q0 ao se deslocar entre duas equipotenciais: dW = − q0 dV = q0 E .ds = q0 E cosθ ds dV E cos θ = − ds Como E cos θ é a componente de E na direção de ds : ∂V Es = − = −∇V ⋅ sˆ ∂s Isto é, a componente de E em qualquer direção é o negativo da taxa de variação do potencial com a distância naquela direção ( derivada direcional) . Generalizando: F328 – 2S20123 E = −∇ V E ds duas superfícies equipotenciais 18 Dedução alternativa rf V f − Vi = − ∫ E ( r ) . dl ri dV = − E .dl (1) Sejam, em coordenadas cartesianas: E = E xiˆ + E y ˆj + E z kˆ V = V ( x, y , z ) Então: E .dl = E x dx + E y dy + E z dz ∂V ∂V ∂V dV = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z Por (1): ∂V ∂V ∂V Ex = − ; Ey = − ; Ez = − ∂x ∂y ∂z ∂V ˆ ∂V ˆ ∂V ˆ Como j+ k ∇V = i + ∂x ∂y ∂z F328 – 2S20123 E = −∇ V 19 O campo E a partir de V Campo de um disco uniformemente carregado Vimos: E = −∇ V σ V ( x )= ( x 2 +a 2 − |x|) 2ε 0 Neste caso, V = V ( x ) somente. Então: dV Ex = − dx E Derivando V , obtemos: σ ⎛x x ⎜ − E ( x) = 2ε 0 ⎜⎝ |x| x 2 +a 2 F328 – 2S20123 ⎞ ⎟ xˆ (resultado já conhecido!) ⎟ ⎠ 20 Potencial de um condutor isolado Os pontos dentro e na superfície de um condutor qualquer estão ao mesmo potencial? Sim, pois E = 0 dentro do condutor Consequências para um condutor isolado, carregado ou não : • O volume é equipotencial • A superfície é uma equipotencial E=0 F328 – 2S20123 1S20123 21 Um condutor carregado isolado Sendo i e f dois pontos dentro de um condutor qualquer: V f −Vi = − ∫ E ( r )⋅dr = 0 , pois E = 0 dentro do f condutor. Condutor esférico (carga Q, raio R) E E =0 f i i rf V f − Vi = − E (r ) ⋅ dr ∫ ri ⎧ Q , r > R (fora) ⎪⎪ 4πε r 0 V (r) = ⎨ ⎪ Q , r < R (dentro) ⎪⎩ 4πε0 R F328 – 2S20123 Note que: ∂V Er = − ∂r (ou E = −∇V ) 22 Distribuição das cargas em um condutor Excluindo-se os condutores esféricos, a carga de um condutor não se distribui uniformemente sobre sua superfície, mas vai depender do raio de curvatura local. Sejam duas esferas condutoras carregadas, ligadas por um fio condutor muito longo. Como estão ao mesmo potencial V: q1 q2 V= = 4πε0 R 1 4πε0 R 2 ⇒ q1 R1 = (1) q 2 R2 Agora: σ 1 q1 / 4π R12 q1 R22 (1) R1 R22 R2 = = = = 2 2 2 σ 2 q2 / 4π R2 q2 R1 R2 R1 R1 fio longo Então, σ é inversamente proporcional ao raio de curvatura local. Em pontos onde o condutor é mais “pontiagudo”, a densidade de cargas (e, portanto, o campo elétrico) é maior. Este campo pode ser suficiente para ionizar o ar em volta da ponta, tornando-o condutor e permitindo uma descarga (descarga corona). F328 – 2S20123 23 Resumo • Potencial elétrico em um ponto: U V≡ q0 • Diferença de potencial entre dois pontos: rf ΔV =V f −Vi = − ∫ E ( r )⋅dl ri • As linhas de campo elétrico são perpendiculares às superfícies equipotenciais e no sentido dos potenciais decrescentes • Cálculo do campo elétrico a partir do potencial: E = −∇V • Os pontos dentro e na superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático estão no mesmo potencial. F328 – 2S20123 1S20123 24 Lista de exercícios do capítulo 24 Os exercícios sobre Potencial elétrico estão na página da disciplina : (http://www.ifi.unicamp.br). Consultar: Graduação à Disciplinas à F 328 Física Geral III Aulas gravadas: http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) ou UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin) F328 – 2S20123 1S20123 25