Aula-4 O potencial elétrico Curso de Física Geral F-328 1º semestre, 2013 F328 – 1S20123 1 Pontos essenciais • Diferença de potencial ∆V Pontos no espaço • Energia potencial elétrica U Sistema de cargas r Ambos dependem de E F328 – 1S20123 2 Potencial elétrico Como podemos relacionar a noção de força elétrica com os conceitos de energia e trabalho? Definindo a energia potencial elétrica (Força elétrica conservativa) F328 – 1S20123 3 Energia potencial (U) Gravitacional vs Eletrostático (Campos uniformes) yi yf r • Campo g r r • Força: Fg = mg r • Campo E r r • Força: FE = q0 E • Energia potencial: • Energia potencial: U = mgy r • Trabalho realizado por Fg : y f U = q0 Ey r • Trabalho realizado por FE: y r r W = ∫ mg ⋅ ds = − mgh = −(U f − U i ) W = F328 – 1S20123 y i h = y f − yi r r ∫ q0 E ⋅ ds = − q0 Eh = −(U f − U i ) f yi 4 Energia potencial elétrica (U) r r F (r ) z f r ds r rf C i r ri y Q x Se a força é devida a uma distribuição finita de cargas, r convém tomar | ri |→ ∞ como a configuração de referência tal que Ui = 0 Com isto, podemos definir a r função energia potencial U (r ): r r r r r U ( r ) = − ∫ q 0 E ⋅ ds ∝ r Ou seja, U (r ) é o negativo do trabalho realizado pela força do campo elétrico sobre a partícula com carga q0 r para trazê-la desde o infinito até r . (Unidade SI: J = Nm) F328 – 1S20123 5 Potencial elétrico (V) Definição: energia potencial por unidade de carga ∆U ∆V ≡ q0 U V≡ q0 • Definição válida em todos os pontos do espaço, havendo carga ou não neste ponto • V não depende de q0 • Unidade SI: joule/coulomb = J/C = volt (V) • Aumenta no sentido oposto das linhas de campo elétrico r E VA > VB VB VA • Analogia: linhas de campo indicam a corrente numa cachoeira. Quanto mais alto estamos, mais potencial temos. F328 – 1S20123 6 Potencial (V) e diferênça de potencial (∆V) Em função do campo elétrico Diferença de potencial r rf r v r ∆V = V f − Vi = − ∫ E (r ) ⋅ ds r ri • Entre dois pontos do espaço r • s vai de i a f • Depende unicamente dos pontos i e f, não do caminho seguido • Força elétrica conservativa r r Potencial r v r r V ( r ) = − ∫ E ( r ) ⋅ ds ∝ • Definido para cada ponto do espaço • O infinito é escolhido como referência F328 – 1S20123 7 Campo elétrico uniforme r rf a) r v r V f − Vi = − ∫ E (r ) ⋅ ds b) rr EE r ri a) V f − Vi = − Ed b) V f − Vi = − Ed r ds r ds r ds (Vf < Vi) F328 – 1S20123 r E r E Vf • Resultado não depende do caminho efetuado • Portanto, para se calcular ∆V, pode-se sempre escolher o caminho mais simples ∆V = − Ed r r = −E ⋅ s Vi ( r r d || E ) r E i f 8 Superfícies equipotenciais Superfícies em que todos os pontos têm o mesmo potencial r E WI , WII ,WIII e WIV = ? F328 – 1S20123 9 Superfícies equipotenciais r As linhas de E são perpendiculares às superfícies equipotenciais. Por quê? r E Campo uniforme Carga positiva Deslocamento ao longo de uma equipotencial não requer trabalho F328 – 1S20123 r E r E Dipolo elétrico ( r r E ⋅ ds = 0 ) 10 Carga puntiforme (V) r rf r v r V f − Vi = − ∫ E ( r ) ⋅ ds r ri rf r ds = − ∫ E (r ) dr r E ri rf q r r 1 q = −∫ dr E (r ) = rˆ 2 2 4πε0 r 4 πε r ri 0 1 V (r ) Escolhendo Vi = 0 para ri → ∞ : V (r ) = F328 – 1S20123 q 4πε0 r Carga + Carga 11 Carga puntiforme (U) Energia potencial de uma carga q0 ao redor de q r ds r E Uq0 ? 1 q0 q U = q0V = 4πε0 r F328 – 1S20123 Equivalente ao trabalho executado por um agente externo para trazer as duas cargas do infinito até uma distância r. 12 Sistema de cargas puntiformes (V) - + r r r − ri z r ri - r r - r Vi (r ) = + y qi r r 4πε 0 | r − ri | Princípio de superposição: (soma escalar!) r V (r ) = ∑ i F328 – 1S20123 Potencial no ponto P devido a cada carga: + + x P r Vi (r ) = ∑ i qi r r 4πε 0 | r − ri | 13 Sistema de cargas puntiformes (V) Exemplos d = 1,3m q1 = 12 nC q2 = −24 nC q3 = 31 nC q4 = 17 nC F328 – 1S20123 q = 12 × e VP = ? −12 e VC = 4πε 0 R r r EC = 0 14 Sistema de cargas puntiformes (U) Energia potencial de um sistema de cargas é o trabalho executado por um agente externo para trazer todas as cargas do infinito até a configuração desejada. Pelo princípio de superposição: V =∑ i qi 4πε0 ri U =∑ i< j qi q j 4πε0 rij Contar só uma vez cada par de carga, Uij = Uji Exemplo Dois casos possíveis: • U > 0: cargas livres • Trabalho para unir • U < 0: cargas ligadas • Trabalho para separar F328 – 1S20123 q1 = q q2 = −4q q3 = 2q 10q 2 W =− 4πε0 d 15 Dipolo elétrico (r >> d) r r V (r ) = ∑ Vi ( r ) i qi =∑ r r i 4πε0 | r − ri | = q 4πε0 r( + ) r >> d ⇒ − q 4πε0 r( − ) r( − ) − r( + ) ≈ d cos θ r( − ) r( + ) ≈ r 2 r r r p cos θ p⋅r V (r ) = = 2 3 4πε0 r 4πε0 r F328 – 1S20123 r p Momento de dipolo elétrico r p = qd 16 Distribuição contínua finita de cargas z r dq (r ′) r r′ r r r − r′ P r r r r dV ( r , r ′) y r 1 dq (r ′) r V (r ) = r r ′ 4 πε | r − r | 0 (V , S ou L ) ∫ x F328 – 1S20123 • V = 0 no infinito • Válido somente para distribuição finita de cargas 17 Exemplos de distribuições finitas e contínuas de cargas Linha Anel Disco dq = σ 2πrdr dq = λdx d L L V= λdx 1 ∫ 4πε 0 0 x2 + d 2 dV ( P ) = 1 dq 4πε0 a 2 + x 2 dV ( P ) = V ( x) = 1 L + L2 + d 2 λ V ( x ) = V (d ) = ln 4πε0 d 4πε0 F328 – 1S20123 q a2 + x2 1 dq 4πε0 r 2 + x2 1 a 4πε0 ∫0 2π rdr r2 +x2 σ V ( x )= ( x 2 +a 2 −|x|) 2ε 0 18 Obtenção do campo a partir do potencial Trabalho sobre q0 ao se deslocar entre duas equipotenciais: r r dW = − q0 dV = q0 E .ds = q0 E cosθ ds dV E cos θ = − ds r Como E cos θ é a componente de E r na direção de ds : r ∂V Es = − = −∇V ⋅ sˆ ∂s r Isto é, a componente de E em qualquer direção é o negativo da taxa de variação do potencial com a distância naquela direção (derivada direcional). F328 – 1S20123 r E r ds duas superfícies equipotenciais Generalizando: r r E = −∇V 19 Obtenção do campo a partir do potencial Dedução alternativa r rf r v r V f − Vi = − ∫ E (r ) ⋅ ds r ri r r dV = − E ⋅ ds Sejam, em coordenadas cartesianas: Então: (1) r E = E xiˆ + E y ˆj + E z kˆ V = V ( x, y , z ) r r E ⋅ dl = E x dx + E y dy + E z dz dV = ∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂V ∂V ∂V ; Ey = − ; Ez = − Por (1): E x = − ∂x ∂y ∂z r ∂V ˆ ∂V ˆ ∂V ˆ Como ∇V = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z F328 – 1S20123 r r E = −∇V 20 Campo de um disco uniformemente carregado Vimos que neste caso: σ 2 2 V = V ( x) = ( x + R − | x |) 2ε 0 r r dV Então: E = −∇V ⇔ E x = − dx r E Derivando V , obtemos: r x σ x E ( x) = − 2ε 0 | x | x2 + R2 F328 – 1S20123 xˆ (resultado já conhecido!) 21 Potencial de um condutor isolado Os pontos dentro e na superfície de um condutor qualquer estão ao mesmo potencial? r r Sim, pois E = 0 dentro do condutor Consequências para um condutor isolado, carregado ou não : • O volume é equipotencial • A superfície é uma equipotencial r r E=0 F328 – 1S20123 22 Condutor esférico r E r r E =0 Condutor esférico • Carga Q (na superfície) • Raio R r rf r r r Potencial: V f − Vi = − E (r ) ⋅ dr ∫ r ri Q 4πε r , r > R (fora) 0 V (r) = Q , r < R (dentro) 4πε0 R Campo elétrico: r r E = −∇V F328 – 1S20123 (ou E r = − ∂V ) ∂r 23 Distribuição das cargas em um condutor Excluindo-se os condutores esféricos, a carga de um condutor não se distribui uniformemente sobre sua superfície, mas vai depender do raio de curvatura local. Duas esferas condutoras carregadas, ligadas por um fio condutor muito longo, estão ao mesmo potencial V: q1 q2 σ r 1 V= = ⇔ 1 = 2 ⇔σ ∝ 4πε0 r 1 4πε0 r 2 σ 2 r1 r qi = 4πri 2σ i F328 – 1S20123 Em pontos onde o condutor é mais “pontiagudo”, σ (e, portanto, E) é maior. 24 Descarga corona Este campo pode ser suficiente intenso para ionizar o ar em volta da ponta, tornando-o condutor e permitindo uma descarga. Bobina de alta tensão F328 – 1S20123 Roda de Wartenberg 25 Resumo • Potencial elétrico em um ponto: U V≡ q0 • Diferença de potencial entre dois pontos: r rf r v r ∆V = V f − Vi = − ∫ E (r ) ⋅ ds r ri • As linhas de campo elétrico são perpendiculares às superfícies equipotenciais e no sentido dos potenciais decrescentes • Cálculo do campo elétrico a partir do potencial: r r E = −∇V • Os pontos dentro e na superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático estão no mesmo potencial. F328 – 1S20123 26 Lista de exercícios do capítulo 24 Os exercícios sobre Potencial elétrico estão na página da disciplina : (http://www.ifi.unicamp.br). Consultar: Graduação Disciplinas F 328 Física Geral III Aulas gravadas: http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) ou UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin) F328 – 1S20123 27