Problemas Resolvidos de Física

Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 3
CAPÍTULO 30 – POTENCIAL ELÉTRICO
20. O campo elétrico dentro de uma esfera não-condutora de raio R, cuja densidade de carga é
uniforme, tem direção radial e seu módulo é
qr
E( r ) =
,
4πε 0 R 3
sendo q a carga total na esfera e r a distância ao centro desta. (a) Determine o potencial V(r)
dentro da esfera, considerando V = 0 em r = 0. (b) Qual a diferença de potencial elétrico entre
um ponto da superfície e outro centro da esfera? Se q for positiva, que ponto possui maior
potencial? (c) Mostre que o potencial à distância r do centro, sendo r < R, é dado por
q 3R 2 − r 2
V=
8πε 0 R 3
onde o zero do potencial foi arbitrado em r = ∞. Por que este resultado difere do que foi
apresentado no item (a)?
(Pág. 73)
(
)
Solução.
(a) Considere o esquema abaixo, em que os pontos C, S e P estão localizados no centro, na
superfície e no interior da esfera, a uma distância r do centro, respectivamente:
+
+
R
+
+
E
C
+
r
+
+
+
+
P S
ds = dr
+
+
A diferença de potencial entre os pontos P e C vale:
P
∆VCP =
VP − VC =
− ∫ E.ds
C
Considerando o potencial nulo no centro da esfera, teremos:
r
r
r
0
0
0
VP − VC =V( r ) − 0 =− ∫ E.ds =− ∫ E.ds.cos 0 =− ∫ E.ds
Neste caso, como o valor de referência do potencial é no centro da esfera ( e não no infinito), os
vetores ds (deslocamento a partir do ponto de referência do potencial) e dr (deslocamento radial a
partir de r = 0) são idênticos (ds = dr)
r
r
qr
q
q r2
V( r ) =
dr
rdr
−∫
=
−
=
−
0 4πε R 3
4πε 0 R 3 ∫0
4πε 0 R 3 2
0
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Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996.
Cap. 30 – Potencial Elétrico
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Problemas Resolvidos de Física
V( r ) = −
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
qr 2
8πε 0 R 3
(b) A diferença de potencial entre S e C vale:
qR 2
VS − VC =
V( R ) − V(0) =
∆VCS =
−
−0
8πε 0 R 3
q
∆VCS =
−
8πε 0 R
Como ∆VCS é negativo, isto significa que indo do centro para a superfície da esfera o potencial
elétrico diminui se a carga da esfera for positiva. Logo, o centro da esfera apresenta maior potencial
(c) Com V = 0 no infinito, o cálculo de V(r) é feito da seguinte forma:
S
P
∞
S
− ∫ Eext .ds − ∫ Eint .ds
VP − V∞ =
O cálculo deve ser feito em duas etapas, pois o comportamento do campo elétrico no interior da
esfera é diferente do comportamento no exterior.
S
P
V( r ) − 0 =− ∫ Eext .ds.cos180 − ∫ Eint .ds.cos180
∞
=
V( r )
∫
S
∞
S
P
Eext .ds + ∫ Eint .ds
S
Neste caso, como o valor de referência do potencial é no infinito, os vetores ds (deslocamento a
partir do ponto de referência do potencial) e dr (deslocamento radial a partir de r = 0) possuem
sentido contrário (ds = −dr).
R
r
1 q
qr
V( r ) ∫
. ( −dr ) + ∫
. ( −dr )
=
2
R 4πε R 3
∞ 4πε r
0
0
q R dr
q
V( r ) =
−
−
2
∫
∞
4πε 0 r
4πε 0 R 3
q
−
V( r ) =
4πε 0
∫
r
R
rdr
  1 1 
q  r 2 − R2 
−
−
−
  R ∞   4πε R 3  2 

 


0
q  r 2 − R2 
1
=
−
V( r )


4πε 0 R 8πε 0 R  R 2 
q
Após o desenvolvimento da equação acima, a resposta será obtida.
V( r ) =
q ( 3R 2 − r 2 )
8πε 0 R 3
O valor de V(r) obtido no item (a) difere do valor acima devido à mudança observada na posição de
referência onde V = 0.
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Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996.
Cap. 30 – Potencial Elétrico
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