Propriedades_Matrizes_e_Determinantes

Propriedade do produto de Matrizes
Sejam A, B e C matrizes. Sempre que seja possível efetuar os produtos indicados, de
acordo com a definição do produto de matrizes, temos as propriedades:
1ª Associativa:
( A . B) . C = A . ( B . C )
2ª Elemento neutro: I ( matriz identidade o unitária)
A.I=I.A=A
3ª Distributiva com relação a soma A . ( B + C ) = A . B + A . C
4ª O produto de matriz não é, comutativo: A . B ≠ B . A
5ª Matriz Inversa: Dada una matriz quadrada A, se existe outra matriz B que verifique
A . B = B . A = I (matriz identidade), então dizemos que B é a matriz inversa de A e
representamos por A-1.
( A . A-1 = A-1 . A = I ).
Propriedade da Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A, se existir outra matriz B da mesma ordem que verifique:
A.B=B.A=I
onde ( I é a matriz identidade ).
Dizemos que B é a matriz inversa de A e representamos por A-1.
Algumas propriedades das matrizes inversas
(A−1)−1 = A
(AB)−1 = B−1 A−1
(AT)−1 = (A−1)T
Nem toda matriz quadrada tem inversa. Se existir a matriz inversa de A, dizemos que a
matriz A é inversível ou regular ou não singular.
Caso contrário, dizemos que a matriz A é singular.
Quando é que uma matriz A tem inversa?
Uma matriz A de ordem n (n linhas e n colunas) tem inversa quando seu determinante é
diferente de zero ou também quando seu posto é n, ou seja, quando o posto desta matriz
coincide com sua ordem.
Como podemos calcular a inversa de uma matriz? Basicamente temos três procedimentos
para calcular a inversa de uma matriz. São os seguintes:
1º Aplicando a definição e resolvendo os sistemas de equações correspondentes. Este
método é muito trabalhoso quando a ordem da matriz é superior a 2 .
2º Pelo método de Gauss.
3º Por determinantes e cofatores.
Propriedades dos determinantes
As propriedades dos determinantes, que discutiremos a seguir são válidas quaisquer que
seja a ordem dos determinantes. No entanto, utilizaremos determinantes de ordem 2 e 3,
para facilitar a compreensão.
1ª O determinante de uma matriz quadrada coincide com o determinante de sua trasposta,
ou seja,
Det ( A ) = Det ( At )
2ª Se trocarmos duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, seu determinante
troca somente de sinal.
3ª Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada
por um número k, seu determinante será multiplicado por este número k.
Em geral, se multiplicamos todos os elementos de uma matriz quadrada de ordem n por um
número k, seu determinante será multiplicado por kn, ou seja:
Det (k . A) = kn . Det ( A ).
4ª O determinante do produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem é igual ao
produto dos determinantes destas matrizes:
Det ( A . B ) = Det ( A ) . Det ( B ).
5ª Se uma matriz quadrada tem todos os elementos de uma linha ou coluna nulos, seu
determinante é zero.
6ª Se uma matriz quadrada tem duas linhas ou duas colunas iguais seu determinante é zero.
7ª Se uma matriz quadrada tem duas linhas ou duas colunas proporcionais seu determinante
é zero.
8ª Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada se descompõem
em duas somas, então seu determinante é igual a soma dos determinantes que têm nessa
linha ou coluna o primeiro e a segunda soma respectivamente, sendo os elementos restantes
iguais aos determinantes iniciais.
9ª Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada é combinação linear de duas ou mais das
linhas ou colunas restantes, seu determinante é zero.
10ª Se a uma linha ou coluna de uma matriz quadrada somamos outra paralela a ela, seu
determinante não altera.
11ª Se a uma linha ou coluna de uma matriz quadrada somamos outra paralela a ela
multiplicada por um número, seu determinante não altera.
12ª O determinante da matriz inversa : det( A-1) = 1/det(A) .
Se A-1 é a matriz inversa de A , então A . A-1 = A-1 . A = In , onde In é a matriz identidade de
ordem n . Nestas condições , podemos afirmar que det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1.
Logo , podemos também escrever det(A) . det(A-1) = 1 ;
logo , concluímos que: det(A-1) = 1 / det(A).
13ª Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos
nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
O conhecimento destas propriedades dos determinantes nos permite, por exemplo,
simplificar o cálculo de determinantes de ordem maior que 3, aos quais não podemos
aplicar diretamente. a regra de Sarrus. Como comentamos antes: "para calcular o
determinante de uma matriz de ordem 4 é necessário calcular 4 determinantes de ordem
3. E se a matriz for de ordem 5, teríamos que calcular 20 determinantes de ordem 3
(uma vez que ao desenvolvermos os adjuntos de uma linha ou coluna qualquer obteríamos 5
determinantes de ordem 4 e, cada um destes, por sua vez,podemos decompor em 4
determinantes de ordem 3).".
Fonte: http://www.igm.mat.br/cursos/a_linear/al_01/matrizes/prop_determinantes.htm