Determinantes

Determinantes-1
LEIC – FEUP 2003/04
Determinantes
Det-1
Calcule os determinantes das matrizes a seguir.
 4 −6 
a) 

 2 −3
Det-2
 1 −1 2 
d)  2 1 3
 0 2 −1
0 0
b) [ −3] c) 

0 0
Calcule os seguintes determinantes:
−1 −2 5
a) −1 0 3
4
2 0
b)
1 −3 0
5 3 −3
−2
0
7
Det-3
Prove que o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao produto
dos elementos da sua diagonal principal.
Det-4
Utilizando as propriedades dos determinantes mostre que
y x z
x z y =0
z y x
se x + y + z = 0 .
Det-5
Através do cálculo de A , mostre que as linhas e colunas da matriz A são linearmente
dependentes.
 2 −1
 2 4
A=
 1 −3

 −1 0
Det-6
Use as propriedades dos determinantes para calcular o determinante da matriz:
1 1
3
1

A = 0
1

 4 −2
 5
1
Det- 7
2 −1
0 −2 
2 0

3 4 
3 0 2
0 1 2 
3 0 2

3 1 0
0 0 6
Considere a equação da linha recta do plano que passa nos pontos de coordenadas ( x1 , y1 ) e
( x2 , y2 ) . Mostre que a equação dessa recta é simplesmente
Álgebra
x
y
1
x1
x2
y1 1 = 0 .
y2 1
Determinantes-2
LEIC – FEUP 2003/04
Det-8
1 2 
1
Considere as matrizes A = 
, D =   e F = [ 2 3] . Sabendo que

0 1 
1
−1
( AX )t + DF  = I , determine:


a) a matriz X que torna verdadeira a igualdade;
b) o valor do determinante da matriz ( AX ) + DF  .
t

Det-9

 a 3
 . Utilizando a teoria dos determinantes, diga para que valores de a e b a
1 b
Seja E = 
matriz E tem inversa.
Det-10
A partir do cálculo do determinante das matrizes, indique para que valores de a e b as
matrizes reais A e B têm inversa.
b
0
0 
1
1


A = 0 a − 1 2  , B = 
1
0 −1 a + 1

1
1 1 1
b 1 1 
1 b 1

1 1 b
Para os valores de a e b que determinou, calcule as matrizes inversas pelo métodos dos
complementos algébricos.
Det-11
Det-12
x
 ax + by + cz = 1

Sabendo que cx + ay + bz = 0 , mostre que os determinantes z
bx + cy + az = 0
y

são o inverso um do outro.
Calcule o determinante de ordem n:
1
−1
0
Dn =
0
M
0
1
2
−1
1 K
0 K
2 K
y
z
a c b
x
z
y e b a c
x
c b a
1 1
0 0
0 0
0 −1 K 0 0
M
M O
M M
0 0 K −1 2
(Sugestão: fazer o desenvolvimento Laplaciano segundo os elementos da primeira coluna e
obter a relação Dn = 2 n −1 + Dn −1 , aproveitando-a para calcular Dn )
Soluções
Det-1
a) 0
Det-2
a) -28
b) -3
c) 0
d) -1
b) 108
Álgebra
Determinantes-3
LEIC – FEUP 2003/04
Det-6
A = 60
Det-8
a) X = 
Det-9
ab ≠ 3
Det-10
A matriz A tem sempre inversa. A matriz B tem inversa excepto para os valores b = 1 e
b = −3 .
 5 2

 −3 −2 
b) I = 1
a 2 + 1 0
0 
1 

−1
A = 2
0
a + 1 −2 

a +1
 0
1
a − 1

−1
−1 
b + 2 −1
 −1 b + 2 −1
−1 
1

B −1 =
−1 b + 2 −1 
(b − 1)(b + 3)  −1


−1
−1 b + 2 
 −1
Det-12
Dn = 2n − 1
Álgebra