Fenômenos Ondulatórios Professor: Leonardo Aluno: Marcos Seza

Fenômenos Ondulatórios
Professor: Leonardo
Aluno: Marcos Seza da Silva
Prontuário: 0960454
Prova
Questão 4:
Um sistema massa-mola na vertical, sem atrito, escreva a segunda lei de Newton e a
resolva, encontrando a função y(t) corresponde à solução geral do problema. Defina
claramente a trajetória adotada, explicitando sua origem e seu sentido. A seguir,
determine a solução particular para um sistema que, no instante zero seja solto a partir
do ponto em que a mola está relaxada.
Resposta:
Supomos que a mola M é uma mola ideal, isto é, a força aplicada é proporcional à
deformação que ela produz, sendo k a constante de proporcionalidade. Assim, se um
corpo de peso P é fixado na extremidade inferior, uma situação de equilíbrio estático é
atingida quando a mola sofrer uma deformação e tal que a força da mola e o peso do
corpo são iguais:
Este conjunto pode oscilar como a prática demonstra. Se o corpo é levado até b um
ponto +A e liberado, ele executará um movimento oscilante, teoricamente entre os
pontos +A e - A. Consideramos a origem zero no ponto de equilíbrio.
Em uma posição, conforme Figura D.C.L., as forças atuantes sobre o corpo são o seu
peso P e a força F exercida pela mola, a qual é igual ao produto da constante k pelo
deslocamento, conforme mostrado nos cálculos nos passos seguintes.
Mas, de acordo com a 2ª lei de Newton, a resultante R deve ser igual ao produto da
massa m do corpo pela sua aceleração.
E o movimento dado por esta equação é chamado movimento harmônico simples, e que
a aceleração é proporcional ao deslocamento e tem direção oposta ao mesmo.
Diagrama de corpo livre D.C.L.:
mg – FM = 0 equilíbrio estático
F=0
FM = Força da mola é a constante
mg – FM = 0
K multiplicado pelo deslocamento
mg = FM
mg = K ( lf – l0)
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DINÂMICO
DECOMPONDO AS FORÇAS
mg – FM = ma (Equação de movimento obtida a partir da 2° Lei de Newton)
logo temos que FM é a constante K multiplicado pela deformação que a mola sofre.
mg – K (lf + (y – l0)) = m.y’’
mg – K (lf – l0) – Ky = m.y’’
como no cálculo anterior mg = K (lf – l0) substituímos na equação;
mg – mg – Ky = m.y’’
-Ky = m.y’
m.y’’ + Ky = 0
(esta é a equação de 2° ordem homogênea.)
Informações:
y(t) = posição da massa ao longo do tempo
y’(t) = velocidade da massa ao longo do tempo
y’’(t) = aceleração da massa ao longo do tempo
CÁLCULOS DA SOLUÇAÕ DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Teoria da Equação onde:
y(t)=A cos wt+ B sin wt
y’(t)=-w A sin wt+ B w cos wt
y”(t)= -w² A cos wt – B w²sinwt
Com a equação m.y’’ + Ky = 0 substituímos
-m (-w2 A cos wt – B w2 sin wt) + K (A cos wt + B sin wt) = 0
-w2m A cos wt – B m w2 sin wt + KA cos wt + KB sin wt = 0
Isolando os termos iguais
(K – mw2) B sin wt + (K – mw2) A cos wt = 0
Onde K – mw2 = 0
K = mw2
w2 = K/m Î w = (K/m) freqüência natural de oscilação
Temos ao substituir na equação da posição
O desenvolvimento matemático da solução não é dado aqui. A solução genérica é:
y (t) = A cos wt + B sin wt
Onde A e B são constantes que dependem das condições iniciais do movimento.
y (t) = A cos wt (K/m) + B sin (K/m)
Se nessa igualdade consideramos t=0, a velocidade v é a velocidade inicial v0.
para instantes t = 0, y(t) = y0 (posição inicial)
y(0)= A cos (k/m)+ B sin (k/m)
1
0
y(0)= A+0 y(0)= A
Agora Derivando y(0) Temos:
y’(0)= v0 Velocidade inicial
y’(0)=-A (k/m) sin (k/m) + B (k/m)cos (k/m)
0
1
B(K/m) 1 = v0
B = (v0 / (K/m)) sabemos que w = (K/m), então
B = v0 / w
Substituindo as incógnitas de A e B obtemos:
y(t) = y0 cos wt + (v0/w)sin wt