Fenômenos Ondulatórios Professor: Leonardo Aluno: Marcos Seza da Silva Prontuário: 0960454 4,0 Prova Questão 4: Um sistema massa-mola na vertical, sem atrito, escreva a segunda lei de Newton e a resolva, encontrando a função y(t) corresponde à solução geral do problema. Defina claramente a trajetória adotada, explicitando sua origem e seu sentido. A seguir, determine a solução particular para um sistema que, no instante zero seja solto a partir do ponto em que a mola está relaxada. Resposta: Supomos que a mola M é uma mola ideal, isto é, a força aplicada é proporcional à deformação que ela produz, sendo k a constante de proporcionalidade. Assim, se um corpo de peso P é fixado na extremidade inferior, uma situação de equilíbrio estático é atingida quando a mola sofrer uma deformação e tal que a força da mola e o peso do corpo são iguais: Este conjunto pode oscilar como a prática demonstra. Se o corpo é levado até b um ponto +A e liberado, ele executará um movimento oscilante, teoricamente entre os pontos +A e - A. Consideramos a origem zero no ponto de equilíbrio. Em uma posição, conforme Figura D.C.L., as forças atuantes sobre o corpo são o seu peso P e a força F exercida pela mola, a qual é igual ao produto da constante k pelo deslocamento, conforme mostrado nos cálculos nos passos seguintes. Mas, de acordo com a 2ª lei de Newton, a resultante R deve ser igual ao produto da massa m do corpo pela sua aceleração. E o movimento dado por esta equação é chamado movimento harmônico simples, e que a aceleração é proporcional ao deslocamento e tem direção oposta ao mesmo. Diagrama de corpo livre D.C.L.: mg – FM = 0 equilíbrio estático F=0 FM = Força da mola é a constante mg – FM = 0 K multiplicado pelo deslocamento mg = FM lf corresponde então à posicão de equilíbrio? mg = K ( lf – l0) DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DINÂMICO DECOMPONDO AS FORÇAS mg – FM = ma (Equação de movimento obtida a partir da 2° Lei de Newton) logo temos que FM é a constante K multiplicado pela deformação que a mola sofre. mg – K (lf + (y – l0)) = m.y’’ mg – K (lf – l0) – Ky = m.y’’ a origem desta equacão está confusa como no cálculo anterior mg = K (lf – l0) substituímos na equação; mg – mg – Ky = m.y’’ -Ky = m.y’ m.y’’ + Ky = 0 (esta é a equação de 2° ordem homogênea.) Informações: y(t) = posição da massa ao longo do tempo y’(t) = velocidade da massa ao longo do tempo y’’(t) = aceleração da massa ao longo do tempo CÁLCULOS DA SOLUÇAÕ DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL Teoria da Equação onde: y(t)=A cos wt+ B sin wt y’(t)=-w A sin wt+ B w cos wt y”(t)= -w² A cos wt – B w²sinwt Com a equação m.y’’ + Ky = 0 substituímos -m (-w2 A cos wt – B w2 sin wt) + K (A cos wt + B sin wt) = 0 -w2m A cos wt – B m w2 sin wt + KA cos wt + KB sin wt = 0 Isolando os termos iguais (K – mw2) B sin wt + (K – mw2) A cos wt = 0 Onde K – mw2 = 0 K = mw2 ?? w2 = K/m Î w = (K/m) freqüência natural de oscilação Temos ao substituir na equação da posição O desenvolvimento matemático da solução não é dado aqui. A solução genérica é: y (t) = A cos wt + B sin wt Onde A e B são constantes que dependem das condições iniciais do movimento. y (t) = A cos wt (K/m) + B sin (K/m) que equacão é essa?? Se nessa igualdade consideramos t=0, a velocidade v é a velocidade inicial v0. para instantes t = 0, y(t) = y0 (posição inicial) y(0)= A cos (k/m)+ B sin (k/m) 1 0 y(0)= A+0 y(0)= A ???? Agora Derivando y(0) Temos: y’(0)= v0 Velocidade inicial y’(0)=-A (k/m) sin (k/m) + B (k/m)cos (k/m) ???? 0 1 B (K/m) 1 = v0 B = (v0 / (K/m)) sabemos que w = (K/m), então B = v0 / w Substituindo as incógnitas de A e B obtemos: y(t) = y0 cos wt + (v0/w)sin wt ?? o problema perguntava qual seria a solucão de um corpo solto a partir do equilíbrio.