7.ª SÉRIE DE QUESTÕES E PROBLEMAS - Moodle @ FCT-UNL

Física I -2010/2011
7a Série - Oscilações - Resolução
Questões:
Q1 - Será que a amplitude  e a constante na fase  de um oscilador, podem ser
determinadas, se apenas for especificada a posição no instante  = 0? Explique.
Q2 - Uma massa ligada a uma mola tem um movimento harmónico simples com
amplitude A. Será que a energia total varia se a massa duplicar mas a amplitude se
mantiver? As energias cinética e potencial dependem da massa? Explique.
Q3 - Uma massa é pendurada numa mola segundo a vertical e é posta em oscilação.
Porque é que o seu movimento acaba por parar?
Q4 - Um relógio de pêndulo está atrasado. Como se deveria ajustar o comprimento
do pêndulo para acertar as horas?
Problemas:
P1 - Uma partícula move-se ao longo do eixo dos  com movimento harmónico simples,
tendo partido da origem no instante  = 0 deslocando-se para a direita. A amplitude do
movimento é 200 cm e a frequência é 150 Hz.
a) Escreva a equação para o deslocamento.
b) Determine a velocidade máxima e o primeiro instante em que a partícula atinge
essa velocidade; faça o mesmo para a aceleração.
c) Qual a distância total percorrida no intervalo de tempo entre  = 0 e  = 100 s.
a) A equação do movimento, que exprime a coordenada de posição em função do tempo, é do tipo
 =  cos ( + ) 
em que  é a amplitude,  é a frequência angular e  a constante de fase.  = 2 = 2 × 150 Hz =
9 42 rad s;  = 200 cm. Como  (0 s) = 00 cm, vem
 (0) =  cos  = 0
3

ou  =
. A escolha entre estes dois valores para a constante de fase é determinada pela
2
2
indicação de que no instante inicial, a velocidade é positiva (se para  = 0 a partícula se desloca para
a direita, a velocidade nesse instante tem o sentido positvo dos eixo dos  e é, portanto, positiva). A
velocidade, em função dotempo, é dada por
e=
 = 
= − sin ( + )
e, para  = 0,
 (0) = − sin 
1
3
Se  (0)  0, então sin   0 e portanto,  = . A equação do movimento é assim,
2
µ
¶
3
 = 200 × cos 942 rad s ×  +  cm.
2
b) Como a velocidade é
¶
µ
3
 = (−200 × 94) sin 942 +  cm s
2
o valor máximo da velocidade é
max = (200 × 942) cm s
= 188 × 10 cm s
O 1 instante em que a partícula atinge este valor corresponde à primeira passagem pela origem com
velocidade positiva (sem contar o instante inicial). Esse instante corresponde a um intervalo de tempo
igual a um período, isto é,

1

=
1
15 Hz
= 067 s.
=
A aceleração é


= − 2 cos ( + )
 =
sendo o seu valor máximo dado por
max = 2
¢
¡
= 200 × 9 422 cm s2
= 177 × 102 cm s2 
Este valor é obtido quando
¶
3

= 2
2
¶
3

= −1
2
3
942 rad s ×  +  = 3
2
15
 =
942
= 050 s
µ
− cos 942 rad s ×  +
µ
cos 942 rad s ×  +
2
c) Durante um período a partícula percorre uma distância igual a 4 vezes a amplitude, durante
10 s percorrerá
1
 = 4 ×

µ
¶
1
=
4 × 200 ×
cm
067
= 12 cm.
2
P2 - Uma bola deixada cair de uma altura de 400 m colide de uma forma perfeitamente
elástica com o solo. Presuma que não há perda de energia devido à resistência do ar.
a) Mostre que o movimento é periódico.
b) Determine o período do movimento.
c) O movimento é harmónico simples? Explique.
a) Na descida, e com origem do referencial no ponto em que a bola bate no solo, a equação do
movimento é
1
 =  − 2 
2
A velocidade da bola ao atingir o solo é dada por
p
 = 2
O tempo de descida é dado por desc , em que
1
0 =  − 2desc
2
ou
s
desc =
2

A equação para a subida é
1
 = 0  − 2
2
√
em que  é igual ao valor da velocidade da bola ao atingir o solo, isto é, 0 = 2. Utilizando esta
última equação, podemos obter o tempo de subida, sub :
=
e
sub
p
1
2 − 2
2
√
√
2 ± 2 − 2
=

s
2
=
= desc

Para que o movimento seja efectivamente periódico é necessário que todas as suas características
(neste caso, posição e velocidade) se repitam em intervalos de tempo iguais (dos quais o menor será o
período). Sabemos que efctivamente isto acontece no movimento que estamos a estudar e por isso ele
é periódico.
b) O tempo de subida é igual ao tempo de descida. Este resultado sugere que o período do
movimento será  = 2sub .
c) a equação do movimento é

= 
2 
=  2 

ou, com o eixo dos  dirigido para cima,

2 
2
= −
2 
+ = 0
2
3
e o movimento não é harmónico simples (porque a respectiva equação não é do tipo
2 
+  = 0,
2
com  = const.).
P3 - Um corpo com massa 200 kg está ligado a uma mola e encontra-se sobre uma
superfície horizontal. É necessária uma força horizontal de 200 N para manter o corpo em
repouso quando este é puxada 0200 m da posição de equilíbrio (a origem do eixo dos ). O
corpo é largado do repouso com um deslocamento inicial 0 = 0200 m, e subsequentemente
realiza oscilações harmónicas simples. Determine:
a) a constante de força da mola;
b) a frequência das oscilações;
c) a energia total do sistema;
d) a velocidade, a aceleração, a energia cinética e a energia potencial, quando o deslocamento é
igual a um-terço do seu valor máximo.
a) A constante da mola obtem-de de  = , em que  é o valor absoluto da força que um agente
exterior tem de efectuar sobre a mola quando esta é puxada de  da posição de equilíbrio. Assim


200 N
=
0200
= 100 N m
 =
p
b) A frequência das oscilações é  = 2, em que  = . Portanto,
p

 =
2
r
100 N m
200 kg
=
2
= 113 Hz
c) A energia total do sistema é dada pela soma da energia cinética da massa com a energia potencial
da mola, isto é,
C =
=
=
=
=
=
1 2 1 2
 + 
2
2
1
1
2 2 sin2 ( + ) + 2 cos2 ( + )
2
2
¢
1 2 ¡ 2
  sin ( + ) + cos2 ( + )
2
1 2
 
2
1
× (0200 m)2 × 100 N m
2
200 J
d) A posição e a velocidade da massa são dadas, respectivamente, por
 =  cos ( + )
 = − sin ( + )
No instante inicial (  = 0), temos  =  e  = 0, de onde
 cos  = 
− sin  = 0
4
e
 = 0 rad
e a equação do movimento é
 =  cos 
= (0200 cos 226) m
Se o deslocamento é igual a um terço do seu valor máximo então
0200 m
3
= 0200 m × cos 226
1
3
 = 0173 s.
226 = arccos
Nesse instante a velocidade é
 = − sin 
= −0200 m × (226) rad s × sin [(226) rad s × 0173 s]
= −1 34 m s.
e a aceleração
 = − 2 cos 
= −0200 m × [(226) rad s]2 cos [(226) rad s × 0173 s]
= −339 m s2 .
A energia cinética é
1
× 200 kg × (−1 34 m s)2
2
= 180 J
C =
e a enrgia potencial
P
1
× 100 N m ×
=
2
= 0222 J.
µ
¶2
1
× 0200 m
3
P4 - Um corpo de massa  oscila livremente estando pendurado numa mola vertical,
como se mostra na figura. Quando  = 0810 kg o período é 0910 s. Outro corpo de massa
desconhecida pendurado na mesma mola tem um período de 116 s. Determine:
a) a constante da mola;
b) a massa desconhecida.
5
a) Com uma massa  suspensa, a mola oscila em torno r
da posição de equilíbrio (obtida de  =


) com frequência angular dada por  =
, em que  é a constante da mola. O
0 , isto é 0 =


2
2
=p
. A constante da mola obtem-se a partir desta última relação:
período é, portanto,  =


p
 =
2

µ ¶2
2

=


µ ¶2
2
 = 

= 0810 kg ×
= 38 6 N m
µ
2
0910 s
¶2
b) A massa desconhecida, 0 , obtem-se agora de
0

= 
µ
0
2
¶2
= 38 6 N m ×
= 132 kg.
µ
116 s
2
¶2
P5 - Um pêndulo simples tem 50 m de comprimento. Qual o período do movimento
harmónico simples deste pêndulo se ele estiver pendurado num elevador que se desloca:
a) Para cima com aceleração de módulo 50 m s2 ,
b) Para baixo com aceleração de módulo 50 m s2 .
a) Considere-se a figura.
As forças que actuam no corpo são o seu peso  e a tensão do fio  . A equação que exprime a 2.
lei de Newton é, neste caso,
¢
¡
 +  =  =  0 + e 
em que 0 é a aceleração do corpo quando a aceleração do elevador (e ) é nula. Esta equação pode ser
escrita na forma
 +  − e = 0 
6
cujas componentes segundo a direcção radial (dirigida para o centro da trajectória) e segundo a direcção
tangencial são
− sin 0 − e sin 0 = 0t
 −  cos 0 − e cos 0 = 0n
e obtemos
− ( + e ) sin 0 = 
2 0
2
ou
2 0 ( + e )
sin 0 = 0
+
2

Aqui,  é o comprimento do pêndulo. Para valores de 0 pequenos, sin 0 ' 0 e atingimos uma equação
de oscilador harmónico simples
2 0 ( + e ) 0
 = 0
+
2

A frequência angular da oscilação será
r
( + e )
=


= 2
= 2
= 2
s
s
s

0

 + e
50 m
(10 + 5) m s2
= 363 s.
b)

= 2
= 2
= 2
s
s
s
= 63 s

 00

 − e
50 m
(10 − 5) m s2
P6 - A roda de uma balança de relógio tem um período de oscilação de 0250 s. A roda
tem massa de 200 g concentrada num aro com raio 0500 cm. Determine:
a) o momento de inércia da roda;
O momento de inércia da roda é
 =  2
¡
¢2
= 20 × 10−2 kg × 500 × 10−3 m
= 50 × 10−7 kg m2
b) a constante de torção da mola associada.
7
Utilizamos a equação
2 
= −K
2
em que K é a constante de torção da mola associada. A expressão da frequência angular do movimento
é
r
K
=


pelo que o período é
r

 = 2

K
A constante de torção é, então,

4 2 
2
4 2 50 × 10−7 kg m2
=
(0250 s)2
= 316 × 10−4 N m
K =
8