Materiais de apoio para Fısica IV

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Materiais de apoio para Fı́sica IV
Prof. MSc Antonio Morais
2
Sumário
1 Carga elétrica e indução eletrostática
1.1 Carga Elétrica: Um pouco da História do Eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
1.1.2
5
5
Uma pequena cronologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Carga Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Princı́pio de conservação da carga elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Eletrização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Lei de Coulomb
13
2.1 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1
2.1.2
Exercı́cios resolvidos Halliday & Resnick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Pintura Eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Série triboelétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Campo Elétrico
17
3.1 Distribuição discreta de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Linhas de campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.2
3.1.3
Exercı́cios resolvidos Halliday & Resnick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Exercı́cios campo elétrico discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Distribuição contı́nua de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Campo de um anel carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.2
3.2.3
Campo de um disco uniformemente carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Campo de duas placas infinitas carregadas com cargas opostas . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.4 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Para-raios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Fluxos e integrais de linha
25
4.1 Fluxo de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1 Fluxo numa superfı́cie fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Integral de superfı́cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4.1 Exemplos de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4.2
Exercı́cios lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Potencial elétrico
31
5.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1.1 Exercı́cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3
4
Capı́tulo 1
Carga elétrica e indução eletrostática
1.1
Carga Elétrica: Um pouco da
nha inglesa Elisabeth I, que publicou um tratado sistemático e crı́tico, De Magnete, sobre o que se sabia,
História do Eletromagnetismo
até então, sobre magnetismo e eletricidade.
1.1.1 Uma pequena cronologia
Na antiguidade, encontramos a primeira citação sobre fenômenos de natureza eletromagnética, com
Tales de Mileto1 , que realizou algumas observações
elementares sobre eletrização ao friccionar o âmbar
(uma resina fossilizada de pinheiros pré-históricos)
com uma pele de animal: o âmbar (elèktron, em
grego), adquiria o poder de atrair pequenos objetos
próximos, como grãos de poeira, por exemplo.
Tales também relata as propriedades de atração e repulsão entre pedaços de um óxido de ferro, chamado
Figura 1.1.1: Capa da edição de 1628 do De Magnete
de magnetita (Fe3 SO4 , cujo nome deriva provavelmente da região de origem do material - Magnésia
- na Ásia Menor).
Incluindo experimentos seus, em eletricidade rela-
tou que outras substâncias gozavam da propriedade
Aproximadamente no século II ocorre a invenção
do âmbar depois de friccionadas por peles ou techinesa da bússola, introduzida na Europa por volta
cidos, denominando-as de elétricas, ou seja, que
do século XIII.
podiam ser eletrizadas como o âmbar. Exemplos:
Jérôme Cardan (1501-1576), filósofo, matemático enxôfre, vidro, seda, etc.. Observou que metais
e médico italiano, foi o primeiro a tratar dos não podiam ser eletrizados por fricção, chamandofenômenos observados por Tales, explicando clara- os de não-eletrizáveis. Além disso, diferenciou os
mente em que diferiam as atrações do âmbar e da fenômenos elétricos dos magnéticos, criando a exmagnetita. Depois dele, em 1600, surge o traba- pressão vis electrica (força elétrica).
lho de William Gilbert (1540-1603), médico da rai-
No magnetismo, traçou a forma das linhas de
Jal¨ å Mil sv
io
indução magnética aproximando uma pequena agulha de uma bússola de esferas de ferro magnetiza-
1 Tales de Mileto (em grego antigo
) foi o primeiro filósofo ocidental de que se tem notı́cia. Ele é o marco inicial da filosofia ocidental. De ascendência fenı́cia, nasceu em Mileto, antiga colônia grega, na Ásia Menor, atual Turquia, por volta
de 624 ou 625 a.C. e faleceu aproximadamente em 556 ou 558
a.C.. Tales é apontado como um dos sete sábios da Grécia Antiga. Além disso, foi o fundador da Escola Jônica. Considerava
a água como sendo a origem de todas as coisas, e seus seguidores, embora discordassem quanto à “substância primordial” (que
constituı́a a essência do universo), concordavam com ele no que
dizia respeito à existência de um “princı́pio único” para essa natureza primordial. Entre os principais discı́pulos de Tales de Mileto
merecem destaque: Anaxı́menes que dizia ser o ”ar” a substância
primária; e Anaximandro, para quem os mundos eram infinitos
em sua perpétua inter-relação.
das, demonstrando a analogia da ação da terra sobre a bússola. Além disso, mostrou a impossibilidade
de se obter um pólo magnético isolado partindose um imã em duas partes. A situação não se alterou muito com os estudos de Otto von Guericke
(1602-1686), fı́sico alemão, que notou a repulsão de
partı́culas de mesma carga, e construiu a primeira
máquina eletrostática para eletrizar um corpo, o ge5
rador eletrostático2 .
via sido peculiar ao âmbar ou a um pequeno grupo
Observou também o poder das pontas nos corpos
de substâncias ditas elétricas.
eletrizados bem como que a chama de uma vela po- Suspendendo a si mesmo por fios de seda, consdia deseletrizar um corpo metálico carregado. Des- tatou que, quando era eletrizado e outra pessoa se
cobriu a indução elétrica, uma maneira de eletri- aproximasse bastante, ocorriam pequenas descargas
zar um corpo sem qualquer contato com ele. Uma elétricas e estalidos e no escuro viam-se centelhas.
de suas mais importantes descobertas foi a de que Notou também que todos os objetos eletrizados por
meio de um mesmo bastão de vidro, repeliam-se mutuamente, mas atraiam objetos que haviam sido ele-
substâncias eletrizadas, além da atração, podiam sofrer repulsão. Entretanto não conseguiu explicar
como uma bola carregada podia eletrizar outra por
trizados por meio de âmbar. Concluiu, então, que
contato, ou seja, a condução ou transmissão da ele- deveriam haver dois tipos de eletricidade, que denominou vı́trea e resinosa. Isto constituiu a teoria dos
tricidade.
Os investigadores do século XVII e inı́cio do século dois fluidos elétricos. De acordo com Du Fay, os cor-
XVIII tinham não mãos uma séria bastante caótica de
observações sobre eletrização por atrito, formação
pos neutros continham a mesma quantidade do dois
fluidos.
de centelhas e efeitos da umidade atmosférica, que
foram incapazes de explicar devido a falta de con-
A etapa seguinte mostra a tentativa de armazenar, de
alguma forma, o fluido elétrico. Em 1745, Em outu-
ceitos eletrostáticos fundamentais. Apesar disto, bro de 1745, Ewald Georg von Kleist, descobriu que
um considerável número de importantes observações uma carga poderia ser armazenada, conectando um
gerador de alta tensão eletrostática por um fio a uma
qualitativas surgiu neste perı́odo.
Em 1731, o inglês Stephen Gray (1679-1736) demons- jarra de vidro com água, que estava em sua mão. A
mão de Von Kleist e a água agiram como condutores,
e a jarra como um dielétrico (mas os detalhes do me-
trou claramente a condução elétrica nos corpos, que
classificou de condutores e não-condutores (isolantes, ou como chamamos vais frequentemente hoje
canismo não forram identificados corretamente no
dielétricos). Lançou a idéia de associar a eletricidade momento). A idéia começou por usar uma garrafa
a um fluı́do elétrico, universal e imponderável, capaz de vidro tapada com uma tampa de cortiça com um
de depositar-se entre os poros e interstı́cios dos corpos prego atravessado. Pôs o prego em contato com um
gerador eletrostático e, segurando a garrafa com uma
materiais.
Em 1759 Franz Ulrich Theodor Äpinus (1724-1802) mão e tocando no prego com a outra, levou um chomostrou a existência de todos os graus de transição que considerável, bem mais intenso do que aqueles
entre os condutores e os não-condutores. Eles fi- que se sentia em contato com corpos comuns eletrizeram as primeiras observações da influência exer- zados. Repetindo a experiência com a garrafa cheia
de água, Von Kleist descobriu, após a remoção do
gerador, ao tocar o fio, o resultado era um doloroso
cida por corpos carregados em condutores isolados.
Charles Du Fay (1698-1739), tornou-se
correspondente de Gray. Realizou suas próprias
choque. Cunhou, então, o termo condensador para a
garrafa, o primeiro capacitor construı́do.
observações de caráter cientı́fico, deixando de lado
as interpretações metafı́sicas e o sensacionalismo
Em uma carta descrevendo o experimento, ele disse:
das exibições nas cortes. Chegou à conclusão de que ”Eu não levaria um segundo choque pelo reino de
todos os corpos são eletrizáveis, ou seja, de que toda França”. No ano seguinte, na Universidade de Leia matéria possui a propriedade que por séculos ha- den, o fı́sico holandês Pieter van Musschenbroek inventou um capacitor similar, que foi nomeado de
2
São dispositivos mecânicos que produzem eletricidade
estática. Normalmente desenvolvem tensões altı́ssimas com
baixa amperagem. O conhecimento da eletricidade estática,
remonta ao inı́cio das civilizações, onde era mistificada e sem
explicações para seu comportamento, também era muitas vezes
confundida com o magnetismo. Até o final do século 17, os pesquisadores tinham desenvolvido meios práticos para a geração
de eletricidade por atrito, mas o desenvolvimento das máquinas
eletrostáticas não teve inı́cio em bom ritmo até o século 18,
quando se tornaram instrumentos fundamentais nos estudos
sobre a nova ciência da eletricidade. Máquinas Eletrostáticas
operam manualmente (ou de outras formas), e transformam a
energia mecânica em energia eletrostática.
garrafa de Leyden, e cujo relato da descoberta fora
lido na Academia Francesa de Ciências, enquanto as
observações de Kleist foram apenas enviadas a um
amigo em Berlin. Assim, o mérito da descoberta acabou ficando com o holandês, e o condensador ficou
conhecido como garrafa de Leyden.
A elucidação do fenômeno da garrafa de Leyden
ocupou não só Äpinus, como também a Benjamin
6
Franklin (1707-1790). Norte-americano, interessou-
elétricas foram mais tarde desenvolvidas. Durante o
se pela eletricidade após uma demonstração pública
século XVIII, apenas uma descoberta sobre o mag-
em Boston, em 1746. Entre 1747 e 1754, Franklin
realizou uma série de experimentos, num dos quais
netismo foi feita. Tão prematura quanto a descoberta de Wilcke, em 1778 Anton Brugmans(1732-
descobriu que na garrafa de Leyden, o arame que sai 1789) descobriu o diamagnetismo, quando observou
da garrafa possui eletricidade contrária à do vidro da que o bismuto era repelido por um imã.
garrafa. Elaborou sua própria teoria para a eletricidade, contrária à então aceita teoria dos dois fluidos
elétricos de Du Fay. Aproximadamente no século II
ocorre a invenção chinesa da bússola, introduzida na
Europa por volta do século XIII.
Para ele, havia apenas um fluido elétrico, o qual
todo o corpo não-eletrizado conteria em certa quantidade, e que era um elemento comum a todos eles.
Se um corpo o possuı́sse em excesso, era chamado de
positivo. Se o possuı́sse de menos, era negativo, as-
Figura 1.1.2: Eletróforo de Volta
sim chamou de positiva para a vı́trea e negativa a re-
sinosa. Esta foi a teoria do fluido único, e não foi bem
Em 1785, Charles Augustin de Coulomb4 realizou exrecebida pela comunidade cientı́fica da da época.
periências com uma balança de torção e enunciou a
Em 1759 foi definitivamente rejeitada, com base exfamosa lei que hoje leva seu nome:
perimental, pelo inglês Robert Symmer. Entretanto,
”a força entre duas cargas é diretamente proporcia teoria do fluido único teve o mérito de introduzir
onal a carga em cada uma delas e inversamente ao
o conceito da conservação do fluido elétrico. Ouquadrado da distância que as separa”
tro mérito de Franklin foi o de estabelecer a natureza
Em 1786, Coulomb relatou que um condutor
elétrica dos relâmpagos (1752), com a invenção do
também blinda seu interior (ele desconhecia os
pára-raios, ao empinar uma pandorga durante uma
relatos de Cavendish), e viu nisto também uma
tempestade. Em conexão com os dois tipos de eletriindicação para a lei de força enunciada. Entretanto,
cidade estabelecidas por Franklin, em 1758 Johann
esta parte do relato foi tão completamente esqueCarl Wilcke (1732-1796) descobriu a polarização dos
cida, que o efeito de blindagem hoje está ligado ao
dielétricos.
nome da Faraday. Um médico italiano, Luigi Galvani
A força entre partı́culas carregadas começou a ser (1737-1798), por volta de 1770 começou a investiestabelecida em meados do século XVIII. Começou gar a natureza e os efeitos da eletricidade em tecidos
com a suspeita de uma relação com a lei da animais e na estimulação da musculatura por meios
gravitação de Newton.
elétricos. Em 1792 foi capaz de contrair os músculos
Em 1767 Joseph Priestley (1733-1804) encontrou de uma perna de rã pela simples aplicação a eles de
forte evidência disto na descoberta sua e de seus uma espira 5 constituı́da de dois metais diferentes.
amigos, entre eles Henry Cavendish (1731-1810), de
que a carga de um condutor fica inteiramente em sua
e então o disco metálico é afastado da ”torta” carregada, através
de seu cabo isolante, permanecendo, desta maneira, carregado de
eletricidade. O funcionamento do eletróforo é baseado, portanto,
no princı́pio da indução eletrostática.
4 Charles Augustin de Coulomb (Angoulême, 14 de junho de
1736 — Paris, 23 de agosto de 1806) . Em sua homenagem, deuse seu nome à unidade de carga elétrica, o coulomb. Publicou
7 tratados sobre a Eletricidade e Magnetismo, e outros sobre os
fenômenos de torção, e atrito entre sólidos. Experimentador genial e rigoroso, realizou a experiência com uma balança de torção
para determinar a força exercida entre duas cargas elétricas (Lei de
Coulomb). Durante os últimos quatro anos da sua vida, foi inspetor geral do Ensino Público e teve um papel importante no sistema
educativo da sua época.
5 O termo espira, do grego speira ao latim spira, que significa
algo que se enrola, pode ser atribuı́do a diversas aplicações onde
esse enrolamento se observa. Em sentido lato designa cada uma
das voltas que formam uma helicoidal e que se observam em diversos objectos como parafusos, roscas, etc. Em eletromagne-
superfı́cie, ficando seu interior completamente livre
das influências elétricas, fato este que não mereceu
muita atenção na época.
Em 1775, Alessandro Count Volta (1745-1827) desenvolveu o eletróforo3 a partir da qual máquinas
3 O Eletróforo é uma das mais simples máquinas de indução
eletrostática. Consiste de um prato metálico circular munido de
um cabo isolante que é aplicado sobre um material isolante (originalmente uma ”torta” resinosa)que foi previamente eletrizado
por atrito. A proximidade do disco metálico com o material isolante provoca uma separação de cargas e o mesmo é então colocado em contato com a terra, de forma a compensar o desequilibrio elétrico em sua superficie. Este contato é então interrompido,
7
Figura 1.1.3: Representação de espiras componentes
de um transformador atenuador.
Este foi o primeiro elemento galvânico: o músculo
Figura 1.1.4: Pilha de Volta
era tanto o eletrólito quanto o indicador de corrente. Galvani supôs, e não completamente erra-
de 2000 elementos, que serviu como fonte de luz
damente, que estas eram manifestações de eletricielétrica até que Thomas Alva Edison (1847-1931) indade animal, já conhecida dos peixes elétricos. Volta,
ventasse a lâmpada incandescente em 1880. Em
em 1796, eliminou completamente a necessidade de
1802, Sir Humphry Davy observou o efeito do arco
um elemento biológico para o fenômeno e estabede luz brilhante que se formava entre duas peças de
leceu que uma condição essencial para a circulação
carbono conectados em alta tensão quando estavam
elétrica num circuito condutor era que este fosse
muito próximas uma da outra. Embora ele nunca teconstituı́do de dois (ou mais) condutores de ”prinha usado este fenômeno como fonte de iluminação,
meira” classe e um de ”segunda” classe.
nos setenta anos seguintes, muito engenheiros usaEle criou estas idéias, bem como o conceito de corram o arco para criar lâmpadas elétricas.
rente elétrica estática, e sobre estas bases construiu,
em 1800, a pilha voltaica, a precursora das bate- Na Inglaterra, muitas lâmpadas apareceram durante
os anos de 1850 e de 1870. Entretanto, nenhuma
rias galvânicas, que nos anos seguintes se proliferam
lâmpada a arco produzida neste perı́odo poderia ser
abundantemente.
um sucesso econômico visto que as baterias então
A decomposição eletrolı́tica, agora vista como causa
disponı́veis para fonte de eletricidade eram muito
da produção da corrente galvânica, foi descrita em
caras.
1797, antes da pilha voltaica, por Alexander von
Humboldt (1769-1859), descoberta feita com uma Exceções aconteceram com as lâmpadas de Dubosq
célula constituı́da por eletrodos de zinco e de prata (1858) e de Serrin (1857), mostrada abaixo. Esta,
em particular, teve tão grande sucesso que, quando
e com água entre eles.
Em 1799, Johann Wilhelm Ritter (1776-1810) separou eletroliticamente o cobre de uma solução de sul-
iniciou-se a indústria da iluminação elétrica, as
lâmpadas produzidas estavam baseada na lâmpada
fato de cobre, sendo o primeiro a dizer que a reação
de Serrin.
quı́mica na célula galvânica era a causa da produção
da corrente. Em seguida, Humphry Davy (1778-
Também em 1811, Siméon Denis Poisson (17811849) fez progressos com a lei de Coulomb, traba-
1829), em 1807, com suas pesquisas em eletrólise lhando na teoria do potencial, que tinha sido inicidescobriu e separou os metais alcalinos. Em 1811, almente desenvolvida para a gravitação. Ele mosDavy construiu o arco carbônico com uma bateria trou que toda a eletrostática, não considerando a
presença dos dielétricos, pode ser explicada pela lei
tismo, é um tipo de circuito elétrico que possui diversas funções
voltadas, principalmente, à produção de campo magnético, eletricidade e energia mecânica. É componente dos geradores de energia elétrica, assim como dos motores elétricos, dos transformadores, indutores e de vários outros dispositivos.
de Coulomb ou, equivalentemente, pela equação diferencial de Laplace-Poisson.
No magnetismo, Hans Christian Oersted (17778
conceito de força eletromotriz, gradiente de potencial e de intensidade de corrente elétrica e derivou a
lei que leva seu nome e que estabelece a proporcionalidade entre a diferença de potencial em um condutor e a corrente elétrica produzida. O fator de proporcionalidade representa a resistência do material.
Provou também que a resistência de um fio é diretamente proporcional ao seu comprimento e inversamente proporcional a sua seção reta, criando assim
a base para o conceito de condutividade dos materiais.
George Green (1793-1841) publicou, em 1828 ”Um
ensaio sobre a aplicação de análise matemática às teorias da eletricidade e do magnetismo”, onde extendeu o trabalho de Poisson para obter um método de
solução geral para o potencial. A complementação
deste trabalho foi obra de Karl Friedrich Gauss (17771855), que publicou seu famoso trabalho em 1839.
Sua teoria tornou-se mais abrangente, pois serviu
de modelo para muitos outros campos da fı́sica-
Figura 1.1.5: Lâmpada de Serrin
matemática. A contribuição de Gauss deu-se não
apenas na definição de quantidade de eletricidade
1851), nascido numa pequena ilha do Báltico, em a partir da lei de Coulomb, como também forneceu
1820 publicou um panfleto de 4 páginas com suas a primeira medida absoluta do momento magnético
descobertas sobre a deflexão da agulha de uma de imãs e da intensidade do campo magnético terbússola por uma corrente elétrica. Além disso, des- restre, dando continuidade ao trabalho de Gilbert.
cobriu a correspondente força de um imã sobre Ele criou o primeiro sistema de unidades eletroum circuito elétrico girante. Concorrentemente, em magnéticas racional, no qual ”uma unidade de quan1820, Jean Baptiste Biot (1774-1862) e Félix Savart tidade de eletricidade é a quantidade que, a uma
(1791-1841) formularam, a partir de observações ex- distância de um centı́metro, repele uma quantidade
perimentais, a lei que leva seus nomes e que permite igual com uma força de uma dina”. Trabalhando com
o cálculo de campos magnéticos produzidos por cor- Gauss, Wilhelm Eduard Weber (1804-1891), fı́sico
rentes elétricas.
alemão, investigou o magnetismo terrestre em 1833.
O primeiro eletroimã foi descoberto em 1822 por Do- Uma de suas maiores contribuições foi o desenvolminique François Jean Arago (1786-1853) e por Jo- vimento do telégrafo eletromagnético. Joseph Henry
seph Louis Gay-Lussac (1778-1850) quando verifica- (1799-1878)foi o primeiro americano depois de Franram que uma barra de ferro fica magnetizada se en- klin a realizar experimentos cientı́ficos. Em 1830 ele
rolada por um fio conduzindo uma corrente elétrica. observou o fenômeno da indução eletromagnética,
Neste mesmo ano, André Marie Ampère (1775-1836), mas como não publicou seus resultados, não recesabendo das descobertas de Oersted, dedicou-se ao beu o mérito por isto. Entretanto, recebeu distinção
assunto e formulou a regra para indicar a direção do pela descoberta do fenômeno da autoindução. Em
campo magnético criado por um circuito elétrico.
1831 auxiliou a Samuel Finley Breese Morse (1791-
Além disso, descobriu que circuitos paralelos com 1872) a construir o telégrafo.
correntes na mesma direção se atraem, e se repelem Surge, então, aquele que se tornaria o maior fı́sico exquando as correntes são contrárias, e que solenóides perimental em eletricidade e magnetismo do século
atuam com imãs em barra. Os efeitos magnéticos XIX: Michael Faraday (1791-1867). Em 1831 Faraday
das correntes elétricas agora forneciam meios para enrolou duas espiras de fio em torno de um anel de
se medir suas intensidade. Em 1826, Goerg Simon ferro e observou que a corrente exercia uma ação
Ohm (1789-1854) usou estes fatos para separar os para trás que correspondia a sua ação magnética.
9
Quando ele criou uma corrente elétrica na primeira
espira, um pulso de corrente surgiu na segunda espira no instante em que o circuito foi fechado, e novamente quando o circuito foi aberto, porém no sentido contrário. Assim ele descobriu a indução. Alguns problemas com a direção da corrente induzida
foram esclarecidos em 1833 por Heinrich Friedrich
Emil Lenz (1804-1865), com sua conhecida lei (de
Lenz). Em 1837, Faraday descobriu a influência dos
dielétricos nos fenômenos eletrostáticos, e a partir
de 1846 dedicou-se a descrever a distribuição geral
das propriedades diamagnéticas em todos os materiais para os quais, em contraste, o paramagnetismo
aparece como uma exceção. Em 1845, com apenas 21
Figura 1.1.6: Balança de Torção de Coulomb
anos, Gustav Robert Kirchhof (1824-1887) enunciou
cebeu este nome em homenagem ao fı́sico francês
as leis que permitiam o cálculo de correntes, tensões
Charles Augustin de Coulomb. Mas o que é carga
e resistências para circuitos ramificados. Em 1846,
elétrica?
Weber criou um segundo sistema de unidades absoluto e consistente para a eletricidade independente
a carga elétrica é uma propriedade fı́sica da
da Lei de Coulomb. Os dois sistemas relacionam-se
por uma constante com dimensão de velocidade.
matéria
Weber, em 1852, calculou este valor chegando a um Tanto quanto a massa, a carga elétrica é uma propriresultado fantástico: era igual a da velocidade da edade intrı́nseca da matéria. E as observações expeluz, 3 x 1010 cm/s. Num trabalho de 1855-1856, Ja- rimentais permitiram a descoberta de importantes
mes Clerk Maxwell (1831-1879) forneceu a base matemática adequada para as linhas de força idealizadas por Faraday. Em 1862 ele adicionou a corrente
propriedades que a carga elétrica possui (em comum
com a massa):
• cargas elétricas criam e são sujeitas à forças
elétricas, o que facilmente se observa dos expe-
de deslocamento à corrente de condução na Lei de
Ampère, que ocorre em todos os dielétricos com
rimentos de eletrização;
campos elétricos variáveis, completanto o trabalho
de Ampère. Em 1873 publicou seu ”Tratado sobre
eletricidade e magnetismo” . Em 1865 mostrou que
as ondas eletromagnéticas possuem a velocidade da
luz, a qual ele recalculou com precisão, concordando
com o resultado de Weber. Em 1884, Heinrich Rudolf
Hertz (1857-1894) rederivou as equações de Maxwell
por um novo método, colocando-as na forma atual.
Além disso, foi o primeiro a emitir e receber ondas
de rádio.
• cargas elétricas não podem ser criadas nem destruı́das.
1.1.3 Princı́pio de conservação da carga
elétrica
Em relação a segunda das assertivas acima, quando
um corpo é eletrizado por fricção, por exemplo, o estado de eletrização final se deve à transferência de
cargas de um objeto para o outro. Não há criação
de cargas no processo. Portanto, se um dos obje-
1.1.2 Carga Elétrica
Um corpo está carregado eletricamente quando possui uma pequena quantidade de carga desequilibrada ou carga lı́quida. Objetos carregados eletrica-
tos cede uma certa carga negativa ao outro, ele ficará
carregado positivamente, com a mesma quantidade
de carga cedida ao outro.
Esta observação é coerente com a observação de
mente interagem exercendo forças, de atração ou re- que a matéria neutra, isto é, sem excesso de cargas,
pulsão, uns sobre os outros. A unidade de medida da contém o mesmo número de cargas positivas (núcleo
grandeza carga elétrica no Sistema Internacional de
Unidades é o coulomb, representado por C, que re-
atômico) e negativas (elétrons). Estabelecemos assim o princı́pio de conservação da carga elétrica.
10
Entre partı́culas elétricas existem forças gravitaci-
O processo de indução eletrostática ocorre quando
onais de atração devido às suas massas e forças
um corpo eletrizado redistribui cargas de um condu-
elétricas devido às suas cargas elétricas. Nesse caso,
as forças gravitacionais podem ser desprezadas, visto
tor neutro. O corpo eletrizado, o indutor, é colocado
próximo ao corpo neutro, o induzido, e isso permite
que a massa de uma carga elétrica é ı́nfima. A força
gravitacional só é perceptı́vel quando há a interação
as cargas do indutor atrair ou repelir as cargas negativas do corpo neutro, devido a Lei de Atração e Re-
entre corpo de massas de grandes proporções.
pulsão entre as cargas elétricas.
−31
A massa do elétron é me = 9,109 ×10
A distribuição de cargas no corpo induzido mantêmse apenas na presença do corpo indutor. Para ele-
kg
A massa do próton é mp = 1,673 ×10−27 kg
A massa do nêutron é mn = 1,675 ×10−31 kg
Os elétrons apresentam uma carga elétrica muito
trizar o induzido deve-se colocá-lo em contato com
outro corpo neutro e de dimensões maiores, antes de
pequena e seu movimento gera corrente elétrica. afastá-lo do indutor.
Visto que os elétrons das camadas mais externas de Deste modo, podemos sintetizar o seguinte; os
um átomo definem as atrações com outros átomos, métodos de eletrização mais conhecidos e utilizaestas partı́culas possuem um papel importante na dos são os de eletrização por condução (ou por
quı́mica.
−
O elétron tem uma carga elétrica negativa de e =
−1,6 × 10−19 C e o próton tem um valor de carga
simétrico 1,6 × 10−19 C . A eletricidade estática não é
um fluxo de elétrons. É mais correto denominá-la de
”carga estática”. Esta carga é causada por um corpo
”fricção”) e eletrização por indução. A eletrização
por condução se dá quando friccionamos entre si
dois materiais isolantes (ou condutores isolados) inicialmente descarregados, ou quando tocamos um
material isolante (ou condutor isolado) inicialmente
descarregado com outro carregado.
cujos átomos apresentam mais ou menos elétrons Durante o contato, ocorre uma transferência de
que o necessário para equilibrar as cargas positivas elétrons entre os dois objetos. Suponhamos que cardos núcleos dos seus átomos. Quando existe um ex- reguemos desta forma um bastão de borracha atricesso de elétrons, diz-se que o corpo está carregado tado com pele de animal e uma barra de vidro atrinegativamente. Quando existem menos elétrons que
prótons, o corpo está carregado positivamente. Se o
tada com seda. Se suspendermos o bastão de borracha por um fio isolante e dele aproximarmos outro
número total de prótons e elétrons é equivalente, o
corpo está num estado eletricamente neutro.
bastão de borracha carregado da mesma maneira, os
bastões repelir-se-ão. O mesmo acontece para dois
Robert Millikan (1868-1953) descobriu que que a
bastões de vidro, nesta situação. Por outro lado, se
aproximarmos a barra de vidro ao bastão de borra-
carga elétrica era constituı́da por um múltiplo inteiro
de uma carga fundamental e, ou seja a carga Q de um
certo objeto pode ser escrita como
Q = ne
cha, ocorrerá uma atração entre eles. Evidentemente
constatamos que a borracha e o vidro têm estados de
eletrização diferentes, e pela experiência concluı́mos
que;
−
• cargas iguais se repelem;
assim, sabendo o número de elétron livres, ou em
falta, podemos determinar a carga de um corpo.
1.2
• cargas diferentes se atraem.
Franklin convencionou que a carga da barra de vidro é positiva e a do bastão de borracha é nega-
Eletrização
Eletrização por atrito é o processo bem simples de
tiva. Assim, todo o corpo que for atraı́do pelo bastão
de borracha (ou repelido pelo bastão de vidro) deve
geração de cargas eletrostáticas, ele pode ocorrer
sempre que dois corpos de materiais diferentes são
ter carga positiva. Da mesma forma, todo o corpo
que for repelido pelo bastão de borracha (ou atraı́do
esfregados um no outro. A eletrização por atrito não
acontece entre metais porque eles são bons condu-
pela barra de vidro) deve ter carga negativa. No processo de eletrização por indução não há contato en-
tores e a descarga é muito rápida, não conseguindo
mantê-los eletrificado.
tre os objetos. Através da indução podemos carregar os materiais condutores mais facilmente. Veja-
11
mos como isto é possı́vel. Suponhamos que aproximemos o bastão de borracha (carga negativa) de uma
barra metálica isolada e inicialmente neutra.
As cargas negativas (elétrons) da barra metálica serão
repelidas para regiões mais afastadas e a região mais
próxima ao bastão ficará com um excesso de cargas
positivas. Se agora ligarmos um fio condutor entre a barra metálica e a terra (o que chamamos de
aterramento), os elétrons repelidos pelo bastão escaparão por este fio, deixando a barra carregada positivamente tão logo o fio seja removido. Se, por outro lado, fosse a barra de vidro (carga positiva) aproximada da barra metálica, esta última ficaria carregada negativamente, pois pelo fio condutor aterrado
seriam atraı́dos elétrons da terra.
Observe que, em ambos os processos, os bastões
carregados (indutores) não perderam carga alguma.
Situação parecida ocorre quando aproximamos objetos carregados dos isolantes. Novamente as cargas serão separadas no material isolante e, uma vez
afastado o bastão indutor, as cargas não retornam
às suas posições iniciais devido à pouca mobilidade
que possuem no isolante. Dizemos então que o isolante ficou polarizado.
Figura 1.2.1: Eletrização por atrito
Figura 1.2.2: Eletrização por contato
Figura 1.2.3: Eletrização por indução
12
Capı́tulo 2
Lei de Coulomb
Como vimos, a lei de força para cargas elétricas foi
A permissividade é uma constante fı́sica que des-
pensada como sendo semelhante a lei de Newton da creve como um campo elétrico afeta, e é afetado
gravitação. Vimos também que Coulomb através de por um meio. A permissividade do vácuo (ε0 ) vale
seu experimento com uma balança de torção, ob- 8,8541878176 × 10−12 F/m.
servou que essa força era efetivamente de mesma Vetorialmente, a lei de Coulomb pode ser escrita da
natureza: diminuı́a com o inverso do quadrado da seguinte forma:
distância.
k0 Q1 Q2
Forças são grandezas vetoriais, representadas por F~ ,
F~1,2 =
u~r
r2
ou F . O módulo
ou
intensidade
dessas
grandezas
é
indicado por F~ ou simplesmente F.
onde u~r é o versor radial, na direção dos centros de
A intensidade da força gravitacional é dada por:
carga.
F1,2 =
Se a carga 1 estiver na posição r~1 e a carga 2 no ponto
~r ambos com origem no ponto (0,0,0) de um sistema
GM1 M2
r2
de coordenadas cartesianas (x,y,z) a lei de Coulomb
toma a forma:
onde:
M1 ≡massa do corpo 1;
M2 ≡massa do corpo 2;
F1,2 ≡intensidade da força que o corpo 1 exerce sobre
o corpo 2;
F~1,2 =
r≡distância entre os centros dos corpos 1 e 2;
G ≡constante da gravitação universal, cujo valor é
1
Q1 Q2
(~rj − ~ri )
4πε0 |~rj − ~ri |3/2
6,67×10−11 N.m2 /kg2 .
No caso da lei de Coulomb:
F1,2 =
k0 Q1 Q2
r2
onde:
Q1 ≡carga do corpo 1;
Q2 ≡carga do corpo 2;
F1,2 ≡intensidade da força que o corpo 1 exerce sobre
o corpo 2;
r≡distância entre os centros dos corpos 1 e 2;
k0 ≡constante eletrostática,
8,988×109 N.m2 /C2 .
cujo
valor
é
Essa constante é definida em termos de outra constante, a permissividade elétrica do vácuo (ε0 ), da se-
Figura 2.0.1: Lei de Coulomb utilizando um sistema
de coordenadas cartesiano
Para a lei de Coulomb, vale o princı́pio da
superposição de forças: dada uma distribuição
discreta de cargas, a força resultante sobre uma carga
i de um sistema de cargas com ı́ndices 1,2,3,..., j é:
guinte maneira:
F~i =
1
k0 =
4πε0
13
Qj
Qi X
(~rj − ~ri )
F~ji =
3/2
4πε0
rj − ~ri |
j6=i |~
j6=i
X
2.1
Exercı́cios
fera, após elas serem separadas, caso os raios sejam
diferentes.
2.1.1 Exercı́cios resolvidos Halliday & Q23.2 Uma barra carregada atrai fragmentos de
cortiça que, assim que a tocam, são violentamente
Resnick
repelidos. Explique a causa disto.
Q23.1 - Sendo dadas duas esferas de metal monta-
Resposta:
das em suporte portátil de material isolante, invente Como os dois corpos atraem-se inicialmente, deduum modo de carregá-las com quantidades de cargas zimos que eles possuem quantidades de cargas com
iguais e de sinais opostos. Você pode usar uma barra sinais diferentes. Ao tocarem-se a quantidade de carde vidro ativada com seda, mas ela não pode tocar as gas menor é equilibrada pelas cargas de sinal oposto.
esferas. É necessário que as esferas sejam do mesmo Como a carga que sobra reparte-se entre os dois cortamanho, para o método funcionar?
pos, estes passam a repelir-se por possuı́rem, então,
Resposta:
cargas de mesmo sinal.
Um método simples é usar indução eletrostática: ao Note que afirmar existir repulsão após os corpos
aproximarmos a barra de vidro de qualquer uma das tocarem-se equivale a afirmar ser diferente a quantiesferas quando ambas estiverem em contato iremos dade de cargas existente inicialmente em cada corpo.
induzir
Q23.6 Um isolante carregado pode ser descarregado
(i) na esfera mais próxima, uma mesma carga igual e
oposta à carga da barra e,
passando-o logo acima de uma chama. Explique por
(ii) na esfera mais afastada, uma carga igual e de
mesmo sinal que a da barra. Se separarmos então
Resposta:
as duas esferas, cada uma delas ir´a ficar com cargas de mesma magnitude por´em com sinais opos-
tornando-o condutor, permitindo o fluxo de cargas.
tos. Este processo não depende do raio das esferas.
Note, entretanto, que a densidade de cargas sobre
a superfı́cie de cada esfera após a separação obviamente depende do raio das esferas.
Q23.2 Na questão anterior, descubra um modo de
quê?
É que a alta temperatura acima da chama ioniza o ar,
2.1.2 Exercı́cios propostos
I - Duas cargas puntiformes encontram-se no vácuo
a uma distância de 10,0 cm uma da outra. As cargas
valem Q1 = 3,0 × 10−8 C e Q2 = 3,0 × 10−9 C. Determine
carregar as esferas com quantidades de carga iguais
e de mesmo sinal. Novamente, ´e necess´ario que as
a intensidade da força de interação entre elas.
esferas tenham o mesmo tamanho para o método a
ser usado?
µC está em x = -3,0 m, q2 = +4,0 µC está na origem
e q3 =- 6,0µC está em x = +3,0 m. Determine a força
Resposta:
elétrica em q1 .
II - Três cargas puntiformes estão no eixo x: q1 = - 6,0
O enunciado do problema anterior não permite Halliday & Resnick
que toquemos com o bastão nas esferas. Por- 23.12 Duas esferas condutoras idênticas, mantitanto, repetimos a indução eletrostática descrita no
exercı́cio anterior. Porém, mantendo sempre a barra
próxima de uma das esferas, removemos a outra, tra-
das fixas, atraem-se com uma força eletrostática de
módulo igual a 0,108 N quando separadas por uma
distância de 50 cm. As esferas são então ligadas por
tando de neutralizar a carga sobre ela (por exemplo, um fio condutor fino. Quando o fio é removido, as
aterrando-a). Se afastarmos o bastão da esfera e a co- esferas se repelem com uma força eletrostática de
locarmos novamente em contato com a esfera cuja
carga foi neutralizada, iremos permitir que a carga
possa redistribuir-se homogeneamente sobre ambas
módulo igual a 0,036 N. Quais eram as cargas iniciais das esferas?
23.27 Duas pequenas gotas esféricas de água posas esferas. Deste modo garantimos que o sinal das suem cargas idênticas de - 1,0 ×10−16 C, e estão secargas em ambas esferas é o mesmo. Para que a mag- paradas, centro a centro, de1,0 cm.
nitude das cargas seja também idêntica é necessário
que as esferas tenham o mesmo raio. É que a densi-
(a) Qual é o módulo da força eletrostática que atua
entre elas?
dade superficial comum às duas esferas quando em (b) Quantos elétrons em excesso existem em cada
contato ir´a sofrer alterações¸ diferentes em cada es- gota?
14
23.34
Na
estrutura
cristalina
do
CℓCe(cloreto de césio), os ı́ons Cs
+
composto
por estas cargas puntiformes em uma quarta carga
formam os puntiforme q4 = + 3,0 µC , que está no quarto vértice.
−
vértices de um cubo e um ı́on de Cl está no centro
do cubo . O comprimento das arestas do cubo é de
31- Uma carga puntiforme de 5,00 µC está no eixo y,
em y = 3,00 cm , e uma segunda carga puntiforme de
0,40 nm. Em cada ı́on Cs+ falta um elétron (e assim
cada um tem uma carga de +e), e o ı́on Cl− tem um
-5,00 µC está no eixo y, em y = -3,00 cm. Determine
a força elétrica em uma carga puntiforme de 2,00 µC
elétron em excesso (e assim uma carga−e ).
que está no eixo x, em x = 8,00 cm.
(a) Qual é o módulo da força eletrostática lı́quida
exercida sobre o ı́on Cl− pelos oito ı́ons Cs+ nos
vértices do cubo?
2.2
Pintura Eletrostática
(b) Quando está faltando um dos ı́ons Cs+ , dizemos Extraı́do de “Fı́sica para cientistas e engenheiros”,
que o cristal apresenta um defeito; neste caso, qual Paul A. Tipler & Gene Mosca; Vol.2, 6ª Edição, LTC,
ser´a a força eletrostática lı́quida exercida sobre o ı́on página 25.
Cl− pelos sete ı́ons Cs+ remanescentes?
Pintura Estática a Pó - Industrial
Tipler, Volume 2 Sexta Edição
Crianças em qualquer lugar do mundo aproveitam
Página 29 : Exercı́cios 21 à 25
as propriedades triboelétricas1 . A companhia Ohio
Art introduziu um brinquedo baseado nestas pro-
21-Um bastão plástico é esfregado contra uma blusa
de lã, adquirindo uma carga de -0,80µC . Quantos elétrons são transferidos do blusão de lã para o
priedades por volta de 1960. Bolinhas de estireno,
quando sacudidas fornecem carga para um pó de
bastão de plástico?
alumı́nio muito fino. O pó carregado eletricamente
22-Uma carga igual á carga do número de Avogadro é atraı́do para a tela translúcida do brinquedo. Uma
de prótons (NA = 6,02 x 1023 ) é denominada um fara- pequena ponteira é, então, usada para desenhar linhas no pó. O brinquedo baseia-se no fato de que o
23-Qual é a carga total de todos os prótons de 1,00 kg alumı́nio e a tela se atraem com cargas opostas. Embora um pó carregado eletricamente possa ser usado
de carbono?
24- Considere que um cubo de alumı́nio com aresta em um brinquedo, ele representa um assunto sério
day. Calcule o número de coulombs em um faraday.
de 1,00 cm acumule uma carga resultante de 2,50 pC. para muitas indústrias. Metais desprotegidos ten(a) Que porcentagem dos elétrons originalmente dem a sofrer corrosão e para prevenir a corrosão, parpresente no cubo foi removida?
25- Durante o processo descrito pelo efeito fotoelétrico , luz ultra violeta pode ser usada para carregar eletricamente um pedaço de metal.
(a) Se esta luz incide em uma barra de material condutor e elétrons são ejetados com energia suficiente para escapar da superfı́cie do material, quanto
tempo depois o metal terá uma carga resultante de
+1,50 nC se 1,00 x 106 elétrons são ejetados por segundo?
tes metálicas de automóveis, utensı́lios e outros objetos metálicos, são recobertas.
No passado, o recobrimento incluı́a tintas, laqueaduras, vernizes e esmaltes que eram aplicados como
lı́quidos e, depois, secos. Estes lı́quidos apresentam
desvantagens. Os solventes levam muito tempo para
secar ou liberam componentes voláteis indesejados.
Superfı́cies com ângulos diferentes podem ser rebertas de maneira não-homogênea.
Lı́quidos pulverizados geram desperdı́cio e não po-
dem ser reciclados de forma simples. O recobri(b) Se 1,30 eV é necessário para ejetar um elétron da
mento com pó eletrostático reduz muito destes prosuperfı́cie , qual é a potência do feixe de luz? ( Consiblemas. Este processo de recobrimento foi introdudere que o processo seja 100 por cento eficiente.)
zido pela primeira vez na década de 1950 e, atualPágina 29:
mente, é popular dentre os fabricantes que aderiExercı́cios 30 e 31:
30-Três cargas puntiformes , cada uma com magnitude igual a 3,00 nC , estão em 3 dos vértices de um
quadrado de aresta igual a 5,00 cm. As duas cargas
puntiformes nos vértices opostos são positivas e a
terceira carga é negativa. Determine a força exercida
1 A série triboelétrica é nada mais que uma lista de materiais,
que mostra quais são aqueles que têm uma maior tendência de
se tornarem positivamente eletrizados (+) e quais os que apresentam maior tendência de se tornarem negativamente eletrizados (-). Essa lista torna-se, assim, uma ferramenta indispensável
para se determinar que combinação de materiais (que pares de
substâncias devem ser atritadas) podemos usar para um eficiente
processo de eletrização por atrito.
15
ram à regulamentação: proteção do meio ambiente
2.3
Série triboelétrica
através da redução do uso de voláteis quı́micos.
A série triboelétrica é apresentada como uma única
A pintura a pó é aplicada fornecendo carga elétrica lista que goza das seguintes propriedades:
ao item a ser recoberto. Para fazer isso de forma 1) Qualquer material atritado com qualquer ouconfiável, é melhor que o objeto a ser recoberto seja
condutor. Neste caso, partı́culas muito pequenas (de
tro que o precede, fica eletrizado negativamente e,
quando atritado com qualquer outro que o segue,
1 µm a 100 µm) em um pó recebem cargas com si- fica eletrizado positivamente.
nal oposto ao do objeto. As partı́culas da cobertura 2) Quanto mais afastados estiverem na lista, maior
são fortemente atraı́das para o objeto a ser recoberto. será a eficiência na eletrização.
Partı́culas soltas podem ser recicladas e utilizadas
novamente. Quando as partı́culas estão no objeto,
o recobrimento passa, então, pelo processo de cura
através do aumento da temperatura ou por luz ultravioleta. O processo de cura fixa as moléculas do recobrimento umas as outras, e as partı́culas e o objeto
perdem suas cargas.
As partı́culas do recobrimento recebem carga por
descarga corona ou por carregamento triboelétrico.
Na descarga corona, as partı́culas passam através de
um plasma de elétrons, recebendo carga negativa.
No carregamento triboelétrico, as partı́culas passam
Figura 2.3.1: Série Triboelétrica
através de um tubo feito de um material que está na
extremidade oposta do espectro triboelétrico, geral-
Vários pares de materiais quando colocados em contato (o ato de friccionar é uma boa técnica para se
mente Teflon.
conseguir isso) e a seguir são separados, ficam eletrizados, isto é, exibem fenômenos relativos aos corpos
As partı́culas do recobrimento recebem uma carga
dotados de carga elétrica positiva (falta de elétrons)
positiva neste rápido contato. O item a ser recoberto
ou negativa (excesso de elétrons).
recebe uma carga que depende do método de recoA série triboelétrica é uma lista de materiais que
brimento usado. Dependendo da cobertura e dos
mostra a tendência relativa de ceder ou receber
aditivos, as cargas do recobrimento variam de 500
elétrons nesse processo de eletrização. Esta lista
a 1000 µC /kg. O processo de cura difere de acordo
pode ser usada para determinar quais combinações
com os materiais de recobrimento e dos itens a sede materiais são as mais eficientes para gerar a denorem recobertos. O de tempo de cura pode variar de 1
minada (impropriamente) “eletricidade estática”.
a 30 minutos. Apesar de o recobrimento com pó ser
econômico e ambientalmente correto, ele apresenta
suas dificuldades.
A capacidade das partı́culas do recobrimento de
manterem sua carga pode variar com a umidade, a
qual deve ser precisamente controlada. Se o campo
elétrico da descarga corona for muito intenso, o pó
pulveriza muito rapidamente em direção ao item
a ser recoberto, deixando um ponto descoberto no
centro de um anel, o que conduz a um acabamento
irregular do tipo ”casca de laranja”. Pós eletrostáticos
podem ser brinquedo de criança, mas o recobrimento com pó eletrostático é um processo complexo, útil e em desenvolvimento.
16
Capı́tulo 3
Campo Elétrico
3.1
Distribuição discreta de carga
sados em qi pela carga Qj . Desta forma, dizemos que
o campo elétrico é dado pela força sentida pela carga
Ao contrário do que se pensava até fins do século XIX, qi por unidade de carga. Ou seja:
as cargas elétricas são quantizadas. Não assumem
valores discretos, mas sim são múltiplos inteiros de
uma carga elementar. A primeira prova experimen-
~
~i = Fi
E
qi
tal de tal carga foi feita por Helmholtz em 1881 utilizando as leis da eletrólise de Faraday, que diz que
para um sistema discreto de cargas, é fácil ver que
a passagem de uma certa quantidade de eletricidade (basta substituir F~i pela expressão da lei de Couatravés de um eletrólito sempre causa o depósito, no lomb):
eletrodo, de uma quantidade estritamente definida
X Qj
~i = 1
r̂ji
E
4π 0
(rji )2
j6=i
de um dado elemento. Mais tarde, Millikan (191016) fez o famoso experimento da gota de óleo num
campo elétrico. Em 1912 Ioffe, na Rússia, fez um
experimento semelhante ao de Millikan, porém utilizando a irradiação de partı́culas de metal em pó
(suspensas no ar) por luz ultravioleta. Todos os ex-
A unidade de campo elétrico é o N/C (newton/coulomb) que é equivalente ao V/m
(volt/metro). O que aprendemos em Fı́sica IV é
o campo eletrostático (invariável no tempo) no
espaço livre (vácuo). Um campo eletrostático é
perimentos chegaram a mesma conclusão, de que a
carga é um múltiplo inteiro de uma carga elemen- gerado por uma distribuição de cargas estáticas, por
tar, e seu valor foi determinado com maior ou me- exemplo o campo encontrado no interior de tubos
nor precisão em cada um deles. O valor aceito atu-
de raios catódicos.1
almente desta carga elementar é 1, 6 × 10−19 C. Este é
o valor da carga do elétron (negativo) e da carga do
Definido desta forma, o campo será determinado
próton (positivo) como já vimos.
inequivocamente, seja em escala macroscópica ou
microscópica. Naturalmente, se uma carga de prova
Existem cargas menores como a dos quarks, porém
os quarks não ”sobrevivem” isoladamente por muito
for introduzida no espaço, uma nova configuração de
cargas surgirá e será necessário recalcular o valor do
tempo. Logo eles se combinam com outros quarks campo. Não há outra maneira... Contudo, em nosso
formando prótons e nêutrons, ou formam pares de curso não iremos nos deter diante disso, pois iremos
quark-antiquark que são chamados mésons. Prótons estudar apenas casos em que envolvam cargas fixas
e nêutrons são formados de 3 quarks cada. O próton
é formado por 2 quarks tipo u e um quark tipo d ( uud
) . E o nêutron por 2 quarks tipo d e um quark tipo u
( udd ) . A carga do quark tipo u vale 2/3 e a do quark
tipo d - 1/3e .
Para estudarmos portanto o campo elétrico gerado
por uma carga Qj qualquer utilizaremos uma segunda carga q i muito menor que a primeira. Uma
carga elementar. Assim estudaremos os efeitos cau-
1 Os raios catódicos são radiações onde os elétrons emergem
do polo negativo de um eletrodo, chamado ânodo, e se propagam na forma de um feixe de partı́culas negativas ou feixe de
elétrons acelerados. Isto ocorre devido à diferença de potencial
elevada entre os polos no interior de um tubo contendo gás rarefeito e também devido ao efeito termiônico, ocasionado pelo
aquecimento do metal que constitui o catodo. O dispositivo destinado para a produção de raios catódicos chama-se tubo de Crookes. Quando a pressão interna no tubo chega a um décimo da
pressão ambiente, o gás que existe entre os eletrodos passa a emitir uma luminosidade. Quando a pressão diminui ainda mais (100
mil vezes menor que a pressão ambiente) a luminosidade desaparece, restando uma ”mancha” luminosa atrás do polo positivo.
17
ou casos onde as cargas sejam muito maiores do que
de linhas por unidade de área de uma superfı́cie per-
a carga elementar e. Uma última questão se refere
pendicular às linhas.
à necessidade de se definir o campo. Uma primeira
“vantagem” é que se conhecemos o campo em um
Na figura 3.1.2 estão representadas as linhas as linhas de campo de uma carga puntiforme positiva e
certo ponto e em suas redondezas iremos conhecer o
comportamento de qualquer carga que seja colocada
de uma carga puntiforme negativa e negativa.
nessa região, independente de seu valor ou sinal. Se
o campo é conhecido em todo o espaço, o comportamento de qualquer carga será conhecido em todo
o espaço também. Para isso basta multiplicar o valor
da carga em questão pelo valor do campo e teremos
a força - e portanto a equação de movimento – e o es-
Figura 3.1.2: Linhas de campo de uma carga puntitado fı́sico do sistema será conhecido. A introdução
forme
do campo serve também para se evitar o conceito da
ação à distância. O formalismo apresentado pela lei As linhas do campo de um dipolo estão representade Coulomb contempla apenas a interação entre as das na figura 3.1.3.
cargas e apenas nos pontos onde elas se localizam.
Ademais não contempla a importante questão de
como a informação é transmitida, pressupondo inclusive que a troca de informação é realizada instantaneamente. Ora, sabemos que, ao contrário disso,
qualquer informação é transmitida com velocidade
finita e a troca de informações entre as cargas se dá a
velocidade da luz. Assim, se uma carga se move bruscamente, o efeito desse movimento em outras cargas
Figura 3.1.3: Linhas de campo de um dipolo
não é sentido instantaneamente, mas sim só se dará
depois de decorridos alguns instantes, ou seja, após
o tempo em que essa informação é transmitida e recebida por outras cargas. O agente que realiza essa
tarefa é o campo elétrico.
3.1.1 Linhas de campo elétrico
Uma visualização qualitativa do campo elétrico pode
ser feita introduzindo-se as chamadas linhas de
campo. Na figura 3.1.1 foram desenhadas algumas
destas linhas, possuindo as seguintes propriedades:
Figura 3.1.4:
elétrico
Outras representações de campo
Essas linhas de Campo Elétrico fornecem uma forma
de visualização da direção e da intensidade de campos elétricos. O vetor campo elétrico em qualquer
ponto é tangente a uma linha de campo que passa
por esse ponto. A densidade de linhas de campo
em qualquer região é proporcional à intensidade do
campo elétrico nessa região. Linhas de campo se originam em cargas positivas e terminam em cargas negativas.
Figura 3.1.1: Linhas de campo Elétrico
• As linhas são tangentes, em cada ponto, à direção
do campo elétrico neste ponto.
• A intensidade do campo é proporcional ao número
3.1.2 Exercı́cios resolvidos Halliday &
Resnick
Q 24.2 As linhas de força de um campo elétrico nunca
se cruzam. Por quê?
18
Resposta: Se as linhas de força pudessem se cruzar,
40 - O campo elétrico na vizinhança da superfı́cie da
nos pontos de cruzamento terı́amos duas tangentes terra aponta para baixo e tem o módulo de 150 N /C.
diferentes, uma para cada linha que se cruza. Em ou- (a) Compare a magnitude da força elétrica para cima
tras palavras, em tal ponto do espaço terı́amos dois de um elétron com a magnitude da força gravitaciovalores diferentes do campo elétrico.
nal no elétron.
Q24.5 Uma carga puntiforme q de massa m é colocada em repouso num campo não uniforme. Será
(b) Que carga deveria ser colocada em uma bola de
pingue-pongue de massa 2,70 g para que a força
que ela seguirá, necessariamente, a linha de força
que passa pelo ponto em que foi abandonada?
elétrica equilibrasse o peso da bola próximo a superfı́cie da Terra?
Resposta: Não. A força elétrica sempre coincidirá
com a direção tangente à linha de força. A força
elétrica, em cada ponto onde se encontra a carga,
~
~ é o vetor campo elétrico no
é dada por , q Eonde
E
3.2
Distribuição
contı́nua
de
carga
ponto onde se encontra a carga. Como a carga parte
do repouso, a direção de sua aceleração inicial é dada O campo elétrico devido a uma distribuição contı́nua
pela direção do campo elétrico no ponto inicial. Se o de cargas é determinado tratando elementos de
campo elétrico for uniforme (ou radial), a trajetória
da carga deve coincidir com a direção da linha de
carga como cargas pontuais e depois somando, por
meio de integração, os vetores de campo elétrico pro-
força. Entretanto, para um campo elétrico não uniforme (nem radial), a trajetória da carga não precisa
duzidos por todos os elementos de carga.
coincidir necessariamente com a direção da linha de
força. Sempre coincidirá, porém, com a direção o
tangente à linha de força.
O campo elétrico para uma distribuição contı́nua de
cargas é também determinado a partir do princı́pio
de superposição. Suponha que Q seja a carga de um
objeto e que dq seja a carga contida no interior de
um volume infinitesimal dV localizado no interior
deste objeto. O campo elétrico produzido por este
3.1.3 Exercı́cios campo elétrico discreto
elemento de carga em um ponto P, localizado a uma
distância r do elemento, será:
Tipler, Volume 2 Sexta Edição
Página 30 : Exercı́cios : 38 , 39 e 40
~ =
dE
1 dq
~ur
4πε0 r2
38- Duas cargas puntiformes, cada uma com +4.0 µC,
estão no eixo x; uma das cargas está na origem e a Desta forma, o campo produzido pela carga total Q
outra está em x = 8,0 m. Determine o campo elétrico será a soma (integral) vetorial destes campos infinino eixo x em
tesimais, isto é:
(a) x = -2,0 m;
~ =
E
(b) x = 2,0 m;
(c) x = 6,0 m ;
(d) x = 10 m.
Z
~ =
dE
1
4πε0
Z
dq
~ur
r2
3.2.1 Campo de um anel carregado
(e) Em que ponto o eixo x o campo elétrico e nulo?
(f) Esboce um gráfico de E , versus x para -3,0 < x
<11 m.
39 - Quando uma carga de puntiforme de 2,0 nC é colocada na origem, ela experimenta uma força elétrica
de 8,0 x 10−4 na direção de + y .
(a) Qual é o campo elétrico na origem?
(b)Qual seria a carga elétrica de uma carga puntiforme -4,0 nC colocada na origem?
(c)Se esta força é devida a um campo elétrico de uma
carga puntiforme no eixo y, y = 3,0 cm , qual é o valor
desta carga?
19
Figura 3.2.1: Anel carregado
1. Colocamos z em evidência no denominador:
Considere um condutor na forma de um anel, com
raio a e que possui uma carga Q, distribuı́da unifor-
~ =
E
memente ao longo dele (veja a figura 3.2.1). Vamos
determinar o campo elétrico num ponto no eixo de
simetria do anel, que escolhemos por comodidade
ser o eixo z (poderia ser, o x ou o y) observe que o
~ resultante no eixo
diferencial de campo elétrico dE,
1
zQ
~k
4πε0 z 2 1 + a2 23
z2
n
2. Sabendo que (ab) = an bn , no denominador fica
~ =
E
z, pode ser escrito como
1
zQ
4πε0 (z 2 ) 23 1 +
~ = dE
~ k + dE
~⊥
dE
m
3. Como (an )
onde dEk é a componente paralela ao eixo z no ponto
P e, dE⊥ é a componente perpendicular do campo no
= anm , então z 2
Portanto
ponto P.
~ =
E
É fácil perceber que a componente perpendicular se
anula, pois simetricamente a dq existe um dq’ que irá
a2
z2
~
23 k
3/2
=z
2×3
2
= z 3.
zQ
1
~k
4πε0 z 3 1 + a2 32
z2
4. Simplificando z
produzir uma componente perpendicular simétrica
a componente produzida por dq. Desta forma, a
~ =
E
componente paralela a z, pode ser escrita como
~ k = dE
~ cos (θ) ~k
dE
Q
1
~k
4πε0 z 2 1 + a2 32
z2
5. Se z >> a, então a fração
obtemos
~ =
E
Tomando o módulo e, por simplificação, escrevendo
dEk = dEz temos:
a
→ 0 e finalmente
z
1 Q~
k
4πε0 z 2
que é o campo de uma carga puntiforme.
1 dq
cos (θ)
dEz =
4πε0 r2
z
e a equação acima
da figura, cos (α) = rz = √
2
z + a2
fica
1
zdq
dEz =
4πε0 (z 2 + a2 ) 23
3.2.2 Campo de um disco uniformemente carregado
Integrando, e observando que o integral é em dq
R
dEz =
R
zdq
1
4πε0 (z 2 +a2 ) 23
Ez =
1
z
4πε0 (z 2 +a2 ) 32
Ez =
zQ
1
4πε0 (z 2 +a2 ) 32
R
dq
Portanto
~ = Ez~k =
E
zQ
1
~k
4πε0 (z 2 + a2 ) 32
Figura 3.2.2: Disco uniformemente carregado
Note que se z >> a, o campo deve tender ano campo
Consideremos um disco de raio R, uniformemente
de uma carga puntiforme. para verificar isso, procedemos da seguinte maneira:
carregado com uma densidade superficial de carga
σv C/m2 .O campo dE produzido por um anel de raio
20
a e de largura da, que contém uma carga dq é
σ=
dq
dA
O que acontece com o campo do disco se fizermos
a → ∞ ? Se o raio for a infinito, teremos um plano
⇔ dq = σdA
dA
da
A = πa2 →
infinito de carga. Vamos ver como fazemos esse procedimento matematicamente.
= 2πa ⇔ dA = 2πada
1. Passemos z para dentro da expressão:
dq = σ2πada
z
σ z
−√
Ez =
2ε0 z
z 2 + R2
portanto
dEz =
1
1 zσ2πada
zdq
3 =
4πε0 (z 2 + a2 ) 2
4πε0 (z 2 + a2 ) 32
2. simplificamos z na primeira fração dentro do
parenteses reto, e colocamos z em evidência
dentro do radical:
Integrando a = 0 até a = R
Ez =
ZR
0

z
σ 
1− q
Ez =
2ε0
z2 1 +
1 zσ2πada
4πε0 (z 2 + a2 ) 32
simplificando 2π com 4π, e tendo em conta que o in-
zσ
Ez =
2ε0
0
Ez =
ada
3
(z 2 + a2 ) 2
seguinte mudança de variável:
u=z +a
du = 2ada
2
Z
2ada
(z 2
3
+
a2 ) 2
1
=
2
Z
du
1
=
3/
2
u 2
3
u− /2 du
Z
Z
1
σ 
1− q
2ε0
1+
Ez =
então
1
2

R2
z2


∞2
z2


Portanto, para um plano infinito de carga, obtemos
que seu campo é independente da distância ao plano.
o integral fica então:
1
2

4. fazemos R → ∞ obtendo então:

σ 
1
lim Ez =
1− q
R→∞
2ε0
1+
Vamos calcular o integral em separado. Fazemos a
2
3. procedendo a simplificação chegamos a:
tegral é em a:
ZR
R2
z2

σ
2ε0
3.2.3 Campo de duas placas infinitas carregadas com cargas opostas
1
1
3
1 u− /2
1 −2 −1/
= ×
u 2 = −u− /2 +C
u− /2 du = 2 −1/
2 1
2
retomando a variável inicial e lembrando que nosso
integral é definido:
Ez =
Ez =
zσ
2ε0
R
zσ
−1
√
2ε0
z 2 + a2 0
1
−1
√
√
− −
z 2 + R2
z2
Figura 3.2.3: Duas placas infinitas carregadas com
cargas opostas
finalmente:
Ez =
zσ 1
1
−√
2
2ε0 z
z + R2
~ =
E
21


 0
σ
ε0


0
se
z>d
se
se
0<z<d
z<d
3.2.4 Exercı́cios
a gota está num vácuo,
(a) para que lado deve apontar o campo elétrico entre
1 - Dois anéis finos e concêntricos, de raios R1 = 5,0
as placas e
cm e R2 = 10 cm, estão uniformemente carregados
(b) qual seria o valor de σ?
com cargas Q1 = 4,0 nC e Q2 = -8,0 nC, respectivamente. Determine a intensidade do campo elétrico
resultante no eixo comum aos dois anéis, a uma
distância de 8,0 cm do plano que contém os anéis e a
3.3
intensidade da força elétrica que seria verificada sobre um próton colocado no ponto em questão.
Chama-se também para-raios, ou descarregador, o
Para-raios
2 - Um anel fino de raio r = 5,0 cm está carregado uni-
aparelho destinado a proteger instalações elétricas
contra o efeito de cargas excessivas (sobretensões) e
formemente com carga de 4,0 µC. Determine a intensidade do campo elétrico:
descarregá-las na terra. Os mais utilizados no Brasil
são o de Franklin e de Melsens, também conhecido
(a) No centro do anel;
como Gaiola de Faraday. Além deles há o modelo ra(b) No eixo do anel, a uma distância de 12 cm do seu dioativo, que tem seu uso proibido no paı́s devido à
centro.
radioatividade que emite.
Tipler, Volume 2 Sexta Edição, página 65
O para-raios foi inventado no século XVIII, por Ben3 - Duas lâminas carregadas, infinitas e não condu-
jamin Franklin, e é o equipamento mais indicado
toras, são paralelas entre si, estando a lâmina A no para proteger edificações das descargas elétricas vinplano x = - 2,0 m e a lâmina B no plano x = + 2,0 m. das da atmosfera - os raios. Ele é formado por três
Determine o campo elétrico na região x < - 2,0 m, na elementos principais: os captadores (uma haste de
região x > + 2,0 m, e entre as lâminas para as seguin- metal pontiaguda), um cabo de ligação preso a isotes situações.
(a) Quando cada lâmina tem uma densidade superficial uniforme de carga igual a + 3,0 μC/m2 e
(b) quando a lâmina A tem uma densidade super2
ladores e uma grande placa metálica enterrada no
solo. Os materiais mais utilizados em para-raios são
o cobre e o alumı́nio. Deve ser instalado no ponto
mais alto da área a ser protegida, já que este é o local mais atingido por raios. O equipamento funci-
ficial uniforme a de carga igual a + 3,0 μC/m e a
lâmina B tem uma densidade uniforme e igual a - 3,0 ona de acordo com um princı́pio fı́sico conhecido
μC/m2 .
como “o poder das pontas”, segundo o qual as pon(c) Esboce o padrão de linhas de campo elétrico para tas metálicas finas do para-raios atraem os raios para
cada caso.
si, já que nelas se concentram mais cargas elétricas.
4 - Uma carga de 2,75 μC é distribuı́da uniformemente em um anel do raio 8,5 cm. Determine a intensidade do campo elétrico no eixo a distâncias de
(a) de 1,2 cm;
A descarga elétrica é então conduzida pelo cabo de
ligação até o solo, onde um cabo aterrado dissipa a
energia capturada. Dizer que o para-raios atrai o raio
(b) 3,6 cm, e
é apenas uma expressão, na realidade, ele oferece ao
raio um caminho para chegar à terra com pouca re-
(c) 4,0 m do centro do anel.
sistividade.
(d) Determine a intensidade do campo a 4,0 m
usando a aproximação que o anel equivale a uma
Quando uma nuvem com carga negativa passa por
carga puntiforme na origem, e compare seus resultados com as alı́neas (c) e (d). O resultado de sua
aproximação é bom? Explique sua resposta.
Sears e Zemansky, Volume III 12ªEdição página 39
5 - Duas placas horizontais muito grandes estão a
uma distância de 4,25 cm uma da outra e possuem
cima da ponta do equipamento, partı́culas positivas
são induzidas ali, ionizando o ar atmosférico. Isso
transforma o ar em um bom condutor de eletricidade. A nuvem, então, se descarrega por meio de
uma faı́sca, liberando elétrons que serão dissipados
no solo por meio da placa aterrada.
A área protegida pelo para-raios tem o formato de
densidade de cargas iguais, porém contrárias, de um cone, sendo a ponta da antena o seu vértice. Sua
módulo σ. Você quer usar essas placas para manter altura vai da ponta da antena ao chão e seu raio no
fixa na área entre elas uma gota de óleo de massa 324 solo mede cerca do dobro da altura em que está a
µg que carrega 5 elétrons em excesso. Supondo que ponta do dispositivo. O ângulo entre o vértice e a ge22
ratriz do cone costuma ser de 55º. Para descobrir o
Com a mesma finalidade do para-raios de Franklin,
raio da área protegida pelo equipamento, usa-se a se-
o para-raios de Melsens adota o princı́pio da gaiola
guinte fórmula: R = Htg (A) , em que R é o raio, H a
altura em metros e A o ângulo em graus.
de Faraday3 . O edifı́cio é envolvido por uma armadura metálica, daı́ o nome gaiola. No telhado, é ins-
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) talada uma malha de fios metálicos com hastes de
tem uma norma especı́fica para a proteção de estru- cerca de 50 cm. Elas são as receptoras das descarturas contra descargas elétricas, a ABNT-NBR-5419. gas elétricas e devem ser conectadas a cada oito meSegundo ela, o cabo do para-raios, que vai da an- tros. A malha é divida em módulos, que devem ter
tena ao solo, deve ser isolado para não entrar em dimensão máxima de 10 x 15 m. Sua conexão com o
contato com as paredes da edificação. É indicado solo, onde a energia dos raios é dissipada pelas hastambém utilizar parafusos de alumı́nio ou aço inoxidável, para que não haja ferrugem.
tes de aterramento, é feita por um cabo de descida.
Esse cabo pode ser projetado usando a própria estrutura do edifı́cio. As ferragens de suas colunas podem estar conectadas à malha do telhado e funcionar
como ligação com o solo.
Os para-raios radioativos podem ser distinguidos dos
outros, pois seus captadores costumam ter o formato de discos sobrepostos em vez de hastes pontiagudas. O material radioativo mais utilizado para
sua fabricação é o radioisótopo Amerı́cio-2414 . Esses
para-raios tiveram sua fabricação autorizada no Brasil entre 1970 e 1989. Nessa época, acreditava-se que
os captadores radioativos eram mais eficientes do
que os outros modelos. Porém, estudos feitos no paı́s
e no exterior mostraram que os para-raios radioativos não tinham desempenho superior ao dos pararaios convencionais na proteção de edifı́cios, o que
não justificaria o uso de fontes radioativas para esta
Figura 3.3.1: Captor Franklin da empresa TERMOTECNICA. Para-raios de proteção atmosférica
função. Sendo assim, em 1989, a Comissão Nacional
de Energia Nuclear (CNEN), por meio da Resolução
Nº 4/89 suspendeu a produção e instalação desse
modelo de captador.
O princı́pio de para-raios de Franklin é o poder das O Brasil é o paı́s com maior incidência de raios no
pontas2 , sendo o modelo mais utilizado, composto mundo. De acordo com o Instituto Nacional de Pespor uma haste metálica onde ficam os captadores e quisas Espaciais (Inpe), cerca de 70 milhões de raios
um cabo de condução que vai até o solo e a energia atingem o paı́s todos os anos, uma média de duas
da descarga elétrica é dissipada por meio do aterramento. O cabo condutor, que vai da antena ao solo,
deve ser isolado para não entrar em contato com
as paredes da edificação. As chances de o raio ser
atraı́do por esse tipo de equipamento são de 90%.
2 Poder das pontas é a capacidade de os corpos eletrizados se
descarregarem pelas pontas. A carga elétrica em excesso num
corpo condutor distribui-se apenas pela superfı́cie exterior do
corpo e concentra-se nas zonas mais pontiagudas (ou de menor
raio), rarefazendo-se nas restantes. Na proximidade dos corpos
existem sempre no ar átomos e moléculas ionizadas. Havendo
grande concentração de cargas elétricas numa ponta (zona pontiaguda) dum corpo, haverá atração para a ponta dos iões de sinal
contrário às cargas na ponta e repulsão dos iões com o mesmo sinal. Os iões que são atraı́dos provocam a descarga da ponta. Por
sua vez, os movimentos de partı́culas junto da ponta originam novas ionizações no ar e o fenômeno de descarga da ponta aumenta.
3 Gaiola de Faraday foi um experimento conduzido por Michael
Faraday para demonstrar que uma superfı́cie condutora eletrizada
possui campo elétrico nulo em seu interior dado que as cargas
se distribuem de forma homogênea na parte mais externa da superfı́cie condutora (o que é fácil de provar com a Lei de Gauss),
como exemplo podemos citar o Gerador de Van de Graaf. No experimento de Faraday foi utilizada uma gaiola metálica, que era
eletrificada e um corpo dentro da gaiola poderia permanecer lá,
isolado e sem levar nenhuma descarga elétrica.
4 O americio ( nome dado em homenagem ao Continente Americano ) é um elemento quı́mico, sı́mbolo Am, número atômico 95
( 95 prótons e 95 elétrons ) com massa atômica [243] u, situado no
grupo dos actinı́deos na tabela periódica dos elementos. Todos os
seus isótopos são radioativos. À temperatura ambiente, o amerı́cio
encontra-se no estado sólido. Foi descoberto em 1944 por Glenn T.
Seaborg, Leon O.Morgan,Ralph A. James e Albert Ghiorso, sintetizado a partir do plutônio. O Am-241 é empregado em alguns tipos
detectores de fumaça, e como fonte de raios gama e nêutrons que
podem ser usados em radiografia.
23
ou três descargas elétricas por segundo. Além de
causar incêndios e grandes prejuı́zos econômicos,
esse fenômeno representa também uma ameaça à
população. Anualmente cerca 300 pessoas são atingidas por raios no Brasil, cerca de 100 acabam falecendo.
Isso representa 10% dos óbitos relacionados a descargas elétricas em todo o mundo. Entre os anos
2000 e 2010, ocorreram 1321 mortes relacionadas
ao fenômeno. Esses números não são exatos, já
que muitas mortes provocadas por raios são registradas como óbitos por parada cardı́aca, fazendo a estatı́stica parecer mais baixa.
Os raios são um fenômeno comum em regiões tropicais, e sendo o Brasil o maior dos paı́ses tropicais, é normal que ele seja o mais atingido. A região
centro-sul é a que apresenta maior incidência, principalmente o sul do Mato Grosso do Sul, onde ocorrem 20 raios por quilômetro quadrado ao ano. Entre 2005 e 2008, houve um aumento de 102,7% na incidência de raios no paı́s. Uma hipótese para o aumento constante desses números está sendo estudada pelos cientistas do Inpe em parceria com a Nasa
e Universidades norte-americanas. Segundo eles, o
aquecimento global pode estar contribuindo para o
fenômeno. Isso ocorreria porque, com mais raios,
mais florestas são incendiadas, aumentando o efeito
estufa.
Esses incêndios liberariam mais dióxido de carbono,
aumentando o número de raios e alimentando o ciclo. Os cientistas acreditam que, a cada grau de aquecimento da temperatura terrestre, a incidência de
raios aumente de 10% a 20%. No Brasil, a maior parte
dos acidentes com vı́timas ocorre em zonas rurais,
quando os raios atingem pessoas que estão em áreas
descampadas.
Outro local que costuma ser alvo de raios são os campos de futebol, mesmo em grandes cidades. Frequentemente, escutamos notı́cias de jogadores que
foram atingidos por descargas elétricas durante uma
partida. Por isso, em caso de tempestade, é recomendado procurar um abrigo seguro, já que no campo
seu corpo funciona como um para-raios, atraindo
para si as descargas elétricas vindas da atmosfera.
24
Capı́tulo 4
Fluxos e integrais de linha
4.1
Fluxo de um campo vetorial
Φ=
Suponha inicialmente uma superfı́cie plana de área
A dentro de um campo de velocidades ~v . Este campo
pode ser, por exemplo, um córrego, o fluxo de gás
dentro de uma tubulação, etc. De qualquer forma,
haverá nesse campo um fluido onde a cada ponto associaremos um vetor velocidade ~v .
v ∆t A
=vA
∆t
Suponha agora que a superfı́cie A esteja inclinada de
um ângulo θ, como mostra a figura 4.1.2. Observe
que a quantidade de fluido que atravessa A no tempo
Δt é a mesma que atravessa A’ (que é a projeção de
A em um plano perpendicular às linhas de campo) .
Assim ΦA = ΦA′ = v A’ .
Vamos supor inicialmente que o campo é uniforme
(ou seja, a velocidade é a mesma para todos os pontos desse espaço e a direção e sentido se mantem
constante) e que a superfı́cie esteja perpendicular ao
campo. Definimos então
Φ=
Quantidade de f luido que atravessa a superfı́cie A
tempo
Figura 4.1.2: Superfı́cie inclinada relativamente ao
fluxo
como A’ = Acos (θ), então ΦA = vAcos (θ)
~ onde A
~ = A~n e ~n um vetor unitário
⇒ΦA = ~v · A,
normal a superfı́cie.
Figura 4.1.1: Superfı́cie aberta perpendicular ao fluxo
4.1.1 Fluxo numa superfı́cie fechada
Podemos expressar esta definição em termos de v
Considere a figura a seguir:
e de A com a seguinte consideração: num tempo
Δt, cada partı́cula do fluido percorre uma distância
v Δt. Assim, se construirmos um paralelepı́pedo de
base A e comprimento v Δt, notaremos que toda a
partı́cula que estiver dentro desta ”caixa” atravessa a
superfı́cie A no tempo Δt. As partı́culas que estiverem fora não conseguirão, neste tempo, atravessar a
superfı́cie. Assim, a quantidade de fluido que atravessa a superfı́cie A no tempo Δ t será simplesmente
o volume dessa ”caixa” , ou seja v Δt A. O fluxo será
então:
Figura 4.1.3: Superfı́cie fechada
O fluxo através da superfı́cie é:
Φ = Φsai − Φentra
25
observando localmente a superfı́cie (figura 5.1.4), Se o caminho de integração é uma curva fechada
observamos que igualdade acima pode ser escrita como na figura 4.2.2, o integral torna-se um integral
de linha fechado, e simboliza-se por:
como:
Φ=
5
X
j=1
I
~j
~v · A
~ · d~l
A
L
~ em torno de L.
que é denominada a circulação de A
Figura 4.2.2: Integral de linha de um caminho fechado
Figura 4.1.4: Fluxos nas superfı́cies do sólido
Podemos generalizar esse resultado supondo um superfı́cie fechada composta de N superfı́cies planas
e inclusive super que o campo de velocidades não
é uniforme, mas assuma um valor constante na superfı́cie A~j :
Φsuperf.fechada =
N
X
j=1
4.2
~j
~vj · A
4.3
Integral de superfı́cie
~ contı́nuo em uma região
Dado um campo vetorial A,
contendo uma curva suave S, definimos o integral de
~ através de S como
superfı́cie, ou fluxo de A
Z
Integral de linha
~ · ~an dS =
A
S
Z
A cos (θ)dS
S
Vamos agora ver o caso em que o integrando envolve
um vetor. Linha será uma trajetória ao longo de uma
curva, no espaço.
Poe definição, a integral de linha
Z
~ · d~l
A
L
Figura 4.3.1: Fluxo de um campo vetorial através de
uma superfı́cie S
~ ao da
é a integral da componente tangencial de A
~ e uma ou simplesmente
curva L. assim, dado um campo vetorial A
curva L:
Φ=
Z
L
~ · d~l =
A
Zb
Z
~ · dS
~
A
S
A cos (θ)dl
a
Para uma superfı́cie fechada, definindo um volume,
a equação acima torna-se:
Φ=
I
~ · dS
~
A
S
~ que sai de S. Observe
que é o fluxo lı́quido de A
que o caminho fechado define uma superfı́cie aberta,
enquanto que uma superfı́cie fechada define um volume.
Figura 4.2.1: Integral de linha
Definimos o integral
26
Z
de tal forma que o campo elétrico seja constante soρV dV
bre a superfı́cie e que a superfı́cie contenha o ponto
onde deseja-se calcular o campo elétrico.
V
como o integral de volume do escalar ρV sobre o vo- 3. Escreva a Lei de Gauss e realize o produto escalar
~ A.
~
lume V.
E·d
O significado fı́sico de uma integral de linha, de 4. Uma vez que a magnitude de E
~ é constante sosuperfı́cie ou de volume depende das quantidades bre S, pode-se retirar |E|
~ de dentro do sı́mbolo de
~ ou ρV .
fı́sicas representadas por A
integração.
4.4
5. Determine o valor de Qint da figura e o insira na
equação da Lei de Gauss.
Lei de Gauss
~.
6. Resolva a equação para obter a intensidade de E
A lei de Gauss é a lei que estabelece a relação entre
o fluxo elétrico que passa através de uma superfı́cie
fechada e a quantidade de carga elétrica que existe
dentro do volume limitado por esta superfı́cie. A lei
de Gauss é uma das quatro Equações de Maxwell e
foi elaborada por Carl Friedrich Gauss no século XIX.
Matematicamente, expressamos o fluxo elétrico total Φatravés de qualquer superfı́cies fechada é igual a
carga total encerrada por essa superfı́cie por:
Φ=
I
S
Figura 4.4.1: Em condições eletrostáticas, qualquer
excesso de carga em um sólido condutor deve residir
inteiramente sobre sua superfı́cie externa.
~ · dS
~ = Qint
E
ε0
Foi através da análise das linhas de forças produzidas por diversos sistemas de cargas elétricas Faraday enunciou a primeira versão da lei de Gauss: “Se
considerarmos como positivo o número de linhas de
forças que saem de uma superfı́cie fechada e de negativo o número de linhas de forças que entram na
4.4.1 Exemplos de aplicação
- Campo de uma carga puntiforme
mesma superfı́cie, o número total de linhas de forças
(fluxo de linhas) que atravessam uma superfı́cie fechada é proporcional à carga elétrica contida no interior desta superfı́cie. “
A lei de Gauss representa um método alternativo
para calcular o campo eletrostático gerado por uma
distribuição de cargas, que é extremamente útil e
simplifica espantosamente os cálculos, sempre que
simetrias estejam envolvidas, como é, por exemplo o
caso do campo eletrostático gerado por uma esfera.
Para resolver problemas envolvendo a Lei de Gauss,
usa-se a seguinte “receita”:
Figura 4.4.2: Superfı́cie Gaussiana esférica ao redor
de uma carga positiva
1. Cuidadosamente desenhar: localização de todas
Aplicando a lei de Gauss:
as cargas e a direção e sentido das linhas de força do
I
~
campo elétrico E.
~ · dS
~ = Qint
E
2. Desenhe uma superfı́cie Gaussiana imaginária1 S
ε0
S
1 Uma
Superfı́cie de Gauss, também chamada de Superfı́cie
Gaussiana ou simplesmente Gaussiana neste contexto, é uma superfı́cie fechada tridimensional e imaginária utilizada em Eletromagnetismo para o cálculo do Campo Elétrico e Fluxo Elétrico.
Como o campo elétrico tem módulo constante, e,
~
sendo perpendicular a superfı́cie, o ângulo com dA
27
~ A
~ = EdA, e o integral:
é de zero graus, logo E·d
H
~ · dS
~=
E
Qint
ε0
H
~ · dS
~=
E
H
S
S
E4πr2 =
EdS =E
S
H
dS
Qint
Qint
⇔E=
ε0
4πε0 r2
- Campo de um fio infinito
Figura 4.4.4: Fio infinito. Análise das simetrias
do campo elétrico:
Figura 4.4.3: Superfı́cie Gaussiana coaxial cilı́ndrica
é usada para encontrar o campo elétrico a uma
distância r de um fio infinito eletricamente carregado.
E2πrL =
λ
λL
⇔E=
ε0
2πε0 r
Apenas por curiosidade, vamos calcular este mesmo
campo sem usar a lei de Gauss. Com isso consegui-
mos perceber o quanto a utilização dessa lei facilita
1 -A partir da simetria da distribuição de carga, de- os cálculos. Observe a figura a seguir
terminar a direção do campo elétrico. A direção do
campo é radial e perpendicular a linha carregada
2 -Escolher uma superfı́cie fechada apropriada para
calcular o fluxo. Tomamos como superfı́cie fechada,
um cilindro de raio r e comprimento L.
~
• Fluxo através das bases do cilindro: o campo E
e o vetor superfı́cie S1 ou S2 formam 90º, logo o
fluxo é zero.
Figura 4.4.5: Campo produzido em um ponto P distante R, de uma linha indefinida carregada com uma
densidade de carga de λ C/m
• Fluxo através da superfı́cie lateral do cilindro: o
~ é paralelo ao vetor superfı́cie dS.
~ O
campo E
~
campo elétrico E é constante em todos os pon- O campo produzido pelo elemento de carga dq, compreendido entre x e x + dx, tem a direção e o sentido
~ A
~ = EdA
tos da superfı́cie l: E·d
indicado na figura e seu módulo é:
H
~ · dS
~=
E
Qint
ε0
H
~ · dS
~=
E
H
S
S
S
EdS =E
dE =
H
dS = E2πrL
1 dq
4πε0 r2
Este campo tem dois componentes: um ao longo do
eixo vertical y, e outra ao longo do eixo horizontal x:
3 - Determinar a carga que há no interior da superfı́cie fechada:
dEy = dEcos (θ). A componente horizontal x não é
necessário calcular já que por simetria se anulam de
A carga que há no interior da superfı́cie fechada
duas em duas. O elemento de carga dq situado em
x, e o elemento de carga dq situado em –x produ-
vale q=λL, donde λé a carga por unidade de comprimento.
4 - Aplicar o teorema de Gauss e explicitar o módulo
zem campos cujos módulos são iguais, e cujas componentes horizontais são iguais e opostas. O campo
28
total é a soma das componentes verticais y
através da superfı́cie esférica?
Exercı́cio 30 - Medidas cuidadosas do campo elétrico
+∞
+∞
Z
Z
1 λdx
cos (θ)
E=
dEy =
4πε0 r2
−∞
−∞
+π/2
E=
na superfı́cie de uma caixa negra indica que o fluxo
elétrico resultante saindo da superfı́cie da caixa é
Z
−π/2
λ
E=
4πε0 R
6,0 kNm2 /C.
(a) Qual é o a carga resultante dentro da caixa?
(b) Se o fluxo elétrico resultante saindo da superfı́cie
da caixa fosse zero, você poderia concluir que não
Rdθ
1 λ cos
2θ
cos θ
4πε0 R 2
havia nenhuma carga no interior da caixa? Explique
sua resposta.
cos θ
+π/2
Z
−π/2
Exercı́cio 31 - Uma carga puntiforme (q = +2,00 μC)
está no centro de uma esfera imaginária de raio igual
λ
cos θdθ =
2πε0 R
a 0,500 m.
(a) Determine a área de superfı́cie da esfera.
como podemos observar, com a lei de Gauss é muito
mais simples!
(b) Encontre o valor do campo elétrico em todos os
pontos na superfı́cie da esfera.
(c) Que é o fluxo do campo elétrico através da superfı́cie da esfera?
(d) Sua resposta peça (c) mudaria se a carga punti-
4.4.2 Exercı́cios lei de Gauss
forme fosse deslocada de modo que estivesse dentro
Exercı́cio 27 - Um quadrado que aresta de 10 cm está da esfera, mas não em seu centro?
centrado no eixo x em a região onde existe um campo (e) Qual é o fluxo do campo elétrico através da superfı́cie de um cubo imaginário que tenha aresta de
elétrico uniforme dado por
Tipler, Volume 2 Sexta Edição Página 66
1,00 m de comprimento e que engloba a esfera?
~ = (2, 00kN/C)~i
E
(a) Qual é o fluxo elétrico deste campo elétrico
através da superfı́cie do quadrado se a normal à superfı́cie está no sentido de + x?
(b) Qual é o fluxo elétrico através da mesma superfı́cie quadrada se a normal à superfı́cie faz um
ângulo 60º com o eixo y e um ângulo de 90° com o
eixo z?
Exercı́cio 28 - Uma carga puntiforme isolada (q =
+2,00 μC) está fixa na origem. Uma superfı́cie esférica
imaginária do raio 3,00 m está centrada no eixo x em
x = 5,00 m.
(a) Esboce linhas de campo elétrico para este carga
(em duas dimensões) considerando que doze linhas
de campo igualmente espaçadas no plano xy saem
da posição da carga, com uma das linhas na direção
de + x. Alguma destas linhas entra na superfı́cie
esférica? Em caso afirmativo, quantas?
(b) Alguma destas linhas sai da superfı́cie esférica?
Em caso afirmativo, quantas?
(c) Contando as linhas que entram como negativas e as que saem como positivas, qual é o número
lı́quido de linhas de campo que penetram a superfı́cie esférica? (d) Qual é o fluxo elétrico resultante
29
30
Capı́tulo 5
Potencial elétrico
5.1
Definições
Para obter o potencial elétrico de um ponto, coloca-
Suponha que desejamos movimentar uma carga
se nele uma carga de prova q e mede-se a energia
potencial adquirida por ela. Essa energia potencial
pontual (ou puntiforme) q, de um ponto A para um
~ A força sobre a
ponto B, em um campo elétrico E.
~ e o trabalho realizado é:
carga é F~ = qE,
é proporcional ao valor de q. Portanto, o quociente
entre a energia potencial e a carga é constante. Esse
~ ~l
dW= - qE·d
o sinal negativo indica que o trabalho é feito por um
agente externo. Assim:
quociente chama-se potencial elétrico do ponto. A
unidade no S.I. é J/C = V (volt)
Nos problemas envolvendo cargas puntuais, é costume considerarmos um ponto no infinito como referência, isto é que o potencial no infinito é zero. Assim o potencial num ponto dado por um sistema de
N cargas é:
W = −q
ZA
~ · d~l
E
B
V =
N
1 X qi
4πε0 i |~r − ~ri |
Dividindo o trabalho pela carga, obtemos a energia
potencial elétrica por unidade de carga. Essa gran- A energia potencial associada a duas cargas separadeza, denominada por VAB , é a diferença de poten- das pela distância r é:
12
cial. Define-se diferença de potencial entre os pontos A e B como o trabalho realizado para transportar
uma carga q de B até A, dividido pelo valor da carga
U=
q:
1 q1 q2
4πεo r12
Linhas equipotenciais, são linhas de mesmo potencial elétrico. Quando uma carga puntiforme está iso-
VAB =
WBA
=−
q
ZA
lada no espaço, ela gera um campo elétrico em sua
volta. Qualquer ponto que estiver a uma mesma
~ · d~l
E
distância dessa carga possuirá o mesmo potencial
elétrico. Portanto, aparece ai uma superfı́cie equi-
B
VAB é calculado através de uma integral de linha,
cujo trabalho realizado independe da trajetória esco-
potencial esférica. Podemos também encontrar su-
lhida.
A escolha do ponto inicial B e não A, se deve ao fato
de que na notação de diferença de potencial, pela
convenção universal da notação de duplo ı́ndice, a
primeira letra deve designar o ponto de maior potencial.
31
Figura 5.1.1: Superfı́cie equipotencial esférica
perfı́cies equipotenciais no campo elétrico uniforme,
Resposta
onde as linhas de força são paralelas e equidistantes.
Sim. O potencial elétrico num ponto pode assuNesse caso, as superfı́cies equipotenciais localizam- mir qualquer valor. Somente a diferença de potense perpendicularmente às linhas de força (mesma cial é que possui significado fı́sico determinado. Por
distância do referencial). Nota-se que, percorrendo razões de comodidade, podemos admitir que o pouma linha de força no seu sentido, encontramos po- tencial da Terra (ou de qualquer outro referencial
tenciais elétricos cada vez menores. Vale ainda lem- equipotencial ) seja igual a zero. Qualquer outro vabrar que o vetor campo elétrico é sempre perpen- lor escolhido também serve, pois o que será fisicadicular à superfı́cie equipotencial, e consequente- mente relevante é a diferença de potencial.
mente a linha de força que o tangencia também.
E26.1 - A diferença de potencial elétrico entre pontos
As propriedades gerais de superfı́cies equipotenciais
de descarga durante uma determinada tempestade é
são:
de V = 1, 2 × 109 V. Qual é o módulo na variação da
1. As linhas de campo elétrico são sempre perpenenergia potencial de um elétron que se move entre
diculares as linhas equipotenciais e apontam do poesses pontos?
tencial maior para o potencial menor.
Resolução
2. Por simetria, as superfı́cies equipotenciais de
uma carga pontual formam uma famı́lia de esferas
∆U = e∆V
concêntricas e as superfı́cies equipotenciais de um
∆U = 1, 6 × 10−19 × 1, 2 × 109
plano infinito uma famı́lia de planos infinitos para∆U = 1, 92 × 10−10 J
lelos ao plano.
3.
A componente tangencial do campo elétrico P26.3 - Em um relâmpago tı́pico, a diferença de potencial entre pontos de descarga é cerca de 109 V e a
ao longo de uma superfı́cie equipotencial e sempre
nula. Caso contrario, teria de ser trabalho realizado
quantidade de carga transferida de cerca de 30 C.
para mover uma carga ao longo de uma superfı́cie.
(a) Quanta energia é liberada?
4. Nenhum trabalho e necessário para mover uma
carga ao longo de uma superfı́cie equipotencial.
(b) Se toda a carga que foi liberada pudesse ser usada
para acelerar um carro de 1000 kg a partir do repouso, qual seria a sua velocidade final?
(c) Que quantidade de gelo a 0ºC seria possı́vel derreter se toda a energia liberada pudesse ser usada para
este fim?
Dado: o calor de fusão do gelo é L = 3, 3 × 105 J/kg.
Resolução
(a)
U = qV = 30 × 109 = 3, 0 × 1010 J
(b) Igualando a energia encontrada no item (a) com
Figura 5.1.2: Linhas de campo elétrico e equipotenciais
5.1.1 Exercı́cios resolvidos
a energia cinética do carro, encontramos:
2U
1
⇔v=
U = mv 2 ⇔ v 2 =
2
m
r
2U
m
portanto
4ª edição do livro “Fundamentos de Fı́sica”, Halliday,
Resnick e Walker.
v=
s
2 × 3, 0 × 1010 ∼
= 7, 75 × 103 m/s
103
Q26.1 - Podemos considerar o potencial da Terra
igual a 100 Volts em vez de igual a zero? Que efeito (c) A energia U fornece o calor necessário para fundir
terá esta escolha nos valores medidos para: (a) potenciais e (b) diferenças de potencial?
uma certa massa M de gelo. Como Q = M L , e tendo
em conta que Q = U ,encontramos o seguinte valor
32
para a massa M :
Q = ML ⇔ M =
M=
Q
L
3,0×1010
3,3×105
M = 9, 10 × 104 kg
33