Cálculo D- Lista 2 - MTM

Cálculo D- Lista 2
Prof. Luciano Bedin
1. Encontre as raı́zes a seguir e represente-as graficamente
a. (1 − i)1/6
b. (−i)1/5
√
c. (−1 + i 3)3/2
d. 161/4
R. :
−π/4+2kπ
−π/4+2kπ
a. zk = 21/12 cos
+ i sen
, k = 0, 1, . . . , 5
6
6
b. zk = cos
−π/2+2kπ
5
+ i sen
−π/2+2kπ
5
, k = 0, 1, . . . , 4
√
c. zk = 2 2(cos(kπ) + i sen(kπ)), k = 0, 1
d. zk = 2 cos kπ
+ i sen kπ
, k = 0, 1, 2, 3
2
2
2. Resolva as seguintes equações:
a. z + z = 1
b. z + zi = 2 + 2i
c. z 4 + 4 = 0
d. z 7 = −(1 + i)
e. z +
1
z
é real
f. z = z n−1 (n é um inteiro positivo diferente de 2).
R. :
a. z = 1/2 + yi, ∀y ∈ R
b. z = x + (2− x)i,
∀x ∈ R
c. zk = 41/4 cos π+2kπ
+ i sen π+2kπ
, k = 0, . . . , 3
4
4
−3π/4+2kπ
−3π/4+2kπ
d. zk = 21/14 cos
+
i
sen
, k = 0, . . . , 6
7
7
e. Todos os z ∈ C tais que |z| = 1 ou sobre o eixo x com z 6= 0
f. z = 0 ou z = cos(2kπ/n) + i sen(2kπ/n), k = 0, 1, . . . , (n − 1) ,ver
http://mtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/videos_complexa/Numeros_complexos/ncomplex_1.mp4
3. Mostre que se w 6= 1 é uma raiz n-ésima da unidade, então 1+w+w2 +. . .+wn−1 = 0.
n+1
(Dica: use a fórmula 1 + w + w2 + . . . + wn−1 + wn = 1−w
.)
1−w
4. Sejam z1 , z2 e z3 números complexos, a notação ∆z1 z2 z3 é utilizada para denotar
um triângulo cujos vértices estão localizados em z1 , z2 e z3 , no sentido anti-horário
de z1 (passando por z2 ) a z3 . Prove que ∆z1 z2 z3 é equilátero se, e somente se,
z2 − z3
z1 − z2
z3 − z1
arg
= arg
= arg
.
z2 − z1
z1 − z3
z3 − z2
5. Encontre todos os vértices de um polı́gono regular de n lados se seu centro se encontra em z = 0 e um dos seus vértices é conhecido.
6. Mostre que:
a. ab k cd se e somente se
c−d
a−b
=
.
ā − b̄
c̄ − d¯
b. ab ⊥ cd se e somente se
a−b
c−d
=−
.
ā − b̄
c̄ − d¯
R. : ver
http://mtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/videos_complexa/Numeros_complexos/ncomplex_4.mp4
7. Seja ABCD um quadrilátero convexo para o qual AC = BD. Triângulos equiláteros
são construı́dos sobre os lados do quadrilátero. Sejam O1 , O2 , O3 e O4 os centros
dos triângulos construı́dos sobre AB, BC, CD e DA respectivamente. Prove que
as linhas O1 O3 e O2 O4 são perpendiculares.
R. : ver
http://mtm.ufsc.br/~luciano/Applets/N%fameros%20Complexos/exercicio_1.html
http://mtm.ufsc.br/~luciano/Applets/N%fameros%20Complexos/exercicio_2.html
8. Demonstre que se z1 + z2 + z3 = 0 e |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1, os pontos z1 , z2 e z3 são
vértices de um triângulo equilátero inscrito na circunferência unitária centrada em
(0, 0).
R. : ver
http://mtm.ufsc.br/~luciano/Applets/N%fameros%20Complexos/triangulo.html
9. Dois vértices consecutivos de um octógono regular convexo são (1, 2) e (3, −2).
Encontre o centro do octógono.
R. : ver
http://mtm.ufsc.br/~luciano/Applets/N%fameros%20Complexos/octogono.html
10. Encontre o erro:
−1 = i · i =
√
−1 ·
√
−1 =
p
(−1) · (−1) =
11. Dado um número complexo z define-se cos(z) =
eiz +e−iz
2
√
1 = 1.
e sen(z) =
eiz −e−iz
.
2i
a. Prove que cos2 (z) + sen2 (z) = 1.
b. Existe algum número complexo z que satisfaz sen(z) = 2?
12. Supondo que θ não é um múltiplo de 2π, obtenha a identidades de Lagrange:
1 + cos(θ) + cos(2θ) + . . . + cos(nθ) =
1 sen((n + 1/2)θ)
+
.
2
2 sen(θ/2)
13. Resolva a equação 1 + cos(θ) + cos(2θ) + cos(3θ) = 0.
R. : θ = kπ/2, θ = π/3 + 2kπ/3, k ∈ Z.