Limites - PET Engenharias

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2
Limites
Danielly Guabiraba - Engenharia Civil
Carlos Eduardo - Engenharia Civil
Estimando Limites
• No cálculo diferencial, integral e vetorial não
usamos métodos NUMÉRICOS, usamos métodos
ANALITICOS.
• Portanto a forma usada para estimar valores para
os limites podem nos conduzir a erros e dificultar
o nosso trabalho.
• O motivo desses métodos nos levarem a erros é o
que veremos a seguir.
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Estimando os Limites
Exemplo:
Estime, numericamente, o seguinte
𝑥 2 +9 −3
lim
𝑥²
𝑥→0
Tabela Auxiliar para cálculo do limite de f em x = 0
Pela Tabela,
𝑥 2 +9 −3
lim
𝑥²
𝑥→0
=
1
6
Estimando os Limites
Tabela Auxiliar para cálculo do limite de f em x = 0
Pela tabela,
𝑥2 + 9 − 3
lim
=0
𝑥→0
𝑥²
O problema é da calculadora! Independentemente da
precisão dela, uma hora, para um valor suficientemente
pequeno de x obtém o resultado nulo.
Isso acontece, pois, 𝑥 2 + 9 torna-se muito próxima de 3
quando x se aproxima de zero.
Estimando os Limites
Gráfico da função na calculadora
(a) [-5, 5] x [-0.1, 0.3]
Estimando os Limites
Gráfico da função na calculadora (zoom 50x)
(b) [-0.1] x [-0.1, 0.3]
Estimando os Limites
Gráfico da função na calculadora (zoom 50000x)
(c) [−10−6 , −10−6 ] x [-0.1, 0.3]
7/67
Estimando os Limites
Gráfico da função na calculadora (zoom 5000000x)
(d) [−10−7 , −10−7 ] x [-0.1, 0.3]
8/67
Estimando os Limites
Exemplo -> Estime um valor para o seguinte limite:
lim 𝑠𝑒𝑛
𝑥→0
F(1) = 𝑠𝑒𝑛 π = 0
F(1/3) = 𝑠𝑒𝑛 3π = 0
F(0,1) = 𝑠𝑒𝑛 10π = 0
π
𝑥
F(1/2) = 𝑠𝑒𝑛 2π = 0
F(1/4) = 𝑠𝑒𝑛 4π = 0
F(0,01) = 𝑠𝑒𝑛 100π = 0
Essa estimativa, nos faz crer que o limite nesse caso é
igual a 0, o que não é verdade. Reparem no gráfico.
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Continuidade de uma Função
Uma função é dita contínua num ponto se existe um intervalo aberto
]a,b[, envolvendo este ponto, para o qual a função é definida para
todos os pontos deste intervalo e quando a construção do gráfico
desta função pode ser feita “sem tirar a caneta do papel”.
Função Contínua
Funções Descontínuas
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Tipos de Descontinuidades
Uma descontinuidade em C é chamada removível se f pode tornar-se
contínua por uma definição (ou redefinição) apropriada de f (c).
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Definição Informal de Limite
O limite de uma função descontínua num dado ponto de
descontinuidade, não removível, não existe. Neste caso, existem
limites laterais, quando se aproxima do ponto em pauta por um lado
ou por outro do intervalo.
Limite pela esquerda: Significa que x se aproxima de c por valores
menores que c.
Limite pela direita: Significa que x se aproxima de c por valores
menores que c.
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Análise Gráfica de limites
𝑎) lim− 𝑓(𝑥) = 3
𝑥→ 2
d) 𝑓 2 = 3
𝑏) lim+ 𝑓(𝑥) = 1
𝑥→2
𝑒) lim 𝑓(𝑥) = 4
𝑥→4
𝑐) lim 𝑓(𝑥) = ∄
𝑥→2
f) 𝑓 4 = ∄
Limites Infinitos
1
lim
=
𝑥→0 𝑥²
À medida que x se aproxima de 0, x² também se aproxima de o,
logo:
Limites Infinitos
A função f(x) = 1/x² pode se tornar arbitrariamente grande
para valores de x suficientemente próximos de 0.
Podendo crescer ilimitadamente, os valores de f(x) NÃO
tendem a um número fixo.
Logo, NÃO existe f(x) = 1/x².
Limites Infinitos
Para indicar esse tipo de comportamento, adota-se a
notação:
1
lim
→ ∞=
𝑥→0 𝑥²
Limites Infinitos
DEFINIÇÃO:
Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto
possivelmente em a. Então,
Significa que podemos fazer os valores de f (x) ficaremos
arbitrariamente grande
(tão grande quanto quisermos)
tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a.
Limites Infinitos
DEFINIÇÃO:
Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto
possivelmente em a. Então,
Significa que os valores de f (x) podem ficar arbitrariamente
grande, porém negativos, tomando x suficientemente próximo
de a, mas não igual a a.
Aplicações
Para a função R cujo gráfico é mostrado a seguir, diga quem são:
b)lim 𝑅(𝑥)
𝑎)lim 𝑅(𝑥)
𝑥→2
𝑥→5
𝑑)lim 𝑅(𝑥)
𝑥→−3+
𝑐)lim 𝑅(𝑥)
𝑥→−3−
e) As equações das assíntotas verticais
y
-3
0
2
5
x
Aplicações
2𝑥
𝑎) lim
=
𝑥−
3
−
𝑥→ 3
2𝑥
𝑏) lim
=
𝑥−
3
+
𝑥→3
a) −∞
b) +∞ ou ∞
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Obrigado pela atenção!
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