Solução

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O movimento de um corpo sobre o eixo-x obedece a seguinte equação
 1

x = 4 cos  π t + π 
2


unidades no S.I. Determinar:
a) A amplitude, a pulsação e a fase inicial;
b) O período e a freqüência do movimento;
c) A equação da velocidade;
d) A equação da aceleração;
e) O módulo da velocidade máxima e da aceleração máxima;
f) Representar num mesmo gráfico a elongação, a velocidade e a aceleração em função do
tempo.
Solução
A equação dada é do tipo
(
x = A cos ω t + ϕ 0
a) Da equação temos, para a amplitude
A=4m
para a pulsação
ω=
1
π rad/s
2
e para a fase inicial
ϕ 0 = π rad
b) Da pulsação temos que o período vale
2π
T
2π
T =
ω
2π
T =
1
π
2
T = 2. 2
ω=
T =4s
Para a freqüência escrevemos
1
T
1
f =
4
f =
1
)
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f = 0,25 Hz
c) A equação da velocidade é dada por
(
v = −ω A sen ω t + ϕ 0
)
1
 1

π . 4 sen  π t + π 
2
2

v =−
 1

v = −2 π sen  π t + π 
2


d) A equação da aceleração é dada por
(
a = −ω 2 A cos ω t + ϕ 0
)
2
 1 
 1

a = − π  . 4 cos  π t + π 
2
2




1 2

 1
a = − π . 4 cos  π t + π 
4

2

 1
a = − π 2 cos  π t + π 

2
 1

e) O módulo da velocidade máxima ocorre quando sen  π t + π  = 1 , portanto
2

v
má x
 1

= − 2 π sen  π t + π 
2
144
42444
3
1
v
v
má x
= −2 π
má x
= 2 π m/s
 1

O módulo da aceleração máxima ocorre quando cos  π t + π  = 1, portanto
2


a
má x

 1
= − π 2 cos  π t + π 
2
1442443
1
a
a
má x
má x
= −π
2
= π 2 m/s 2
f) Construindo-se uma tabela usando a expressão para a elongação dada no problema,
teremos
2
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t

 1
x = 4 cos  π t + π 
2


x
0

 1
4 cos  π . 0 + π 

2
-4
1
1

4 cos  π.1 + π 
2


0
2
 1

4 cos  π . 2 + π 
2


4
3
 1

4 cos  π . 3 + π 
2


0
4

1
4 cos  π. 4 + π 
2


-4
Colocando os pontos encontrados num gráfico de x em função de t, x = f ( t ) , e
ligando os pontos, obtemos o gráfico de uma senóide, mostrado na figura 1
figura 1
Construindo-se uma tabela usando a expressão para a velocidade obtida no item (c),
teremos
t
 1

v = −2 π sen  π t + π 
 2

v
0
 1

− 2 π sen  π . 0 + π 
2


0
1
 1

− 2 π sen  π . 1 + π 
2


2π
2
 1

− 2 π sen  π . 2 + π 
2


0
3

 1
− 2 π sen  π . 3 + π 

 2
-2 π
4

 1
− 2 π sen  π . 4 + π 

 2
0
Colocando os pontos encontrados num gráfico de v em função de t, v = f ( t ) , e
ligando os pontos, obtemos o gráfico de uma senóide, mostrado na figura 2
3
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figura 2
Construindo-se uma tabela usando a expressão para a aceleração obtida no item (d),
teremos
t

1
a = −π 2 cos  π t + π 

2
a
0

1
− π 2 cos  π . 0 + π 
2


π
1
1

− π 2 cos  π.1 + π 
2


0
2
1

− π 2 cos  π . 2 + π 
2


-π
3
1

− π 2 cos  π . 3 + π 
2


0
4
 1

− π 2 cos  π . 4 + π 
2

π
2
2
2
Colocando os pontos encontrados num gráfico de a em função de t, a = f ( t ) , e ligando
os pontos, obtemos finalmente o gráfico de uma senóide, mostrado na figura 3
figura 3
4