Lista 3 - Alex Farah Pereira

Lista 3 - Álgebra Linear
1 - Classifique se os seguintes conjuntos de R2 são LI ou LD:
(a) {(2, −1), (3, 5)}
(b) {(1, 0), (−1, 1), (3, 5)}.
2 - Classifique se os seguintes conjuntos de R3 são LI ou LD:
(a) {(2, −1, 0), (−1, 3, 0), (3, 5, 0)}
(b) {(1, 2, −1), (1, 0, 0), (0, 1, 2), (3, −1, 2)}.
3 - Classifique se os seguintes vetores de P2 (R) são LI ou LD:
(a) p1 (t) = 2 + t − t2 , p2 (t) = −4 − t − 4t2 , p3 (t) = t + 2t2
(b) p1 (t) = 1 + 3t + t2 , p2 (t) = 2 − t − t2 , p3 (t) = 1 + 2t − 3t2 , p4 (t) = −2 + t + 3t2
4- Verifique se 
os seguintes
 vetores A,B, C em
 M2×3 (R) são
 LI ou LD, onde
−1 2 1
0 −1 2
−1 0 5
, B = 
, C = 
.
A=
3 −2 4
−2 1 0
−1 0 3
5 - Sendo v1 = (1, 2) ∈ R2 , determine v2 ∈ R2 tal que {v1 , v2 } seja uma base de R2 .
6 - Para que valores de k, o conjunto B = {(1, k), (k, 4)} é uma base de R2 ?
7 - Quais dos seguintes conjuntos formam uma base de R3 ? Justifique!
(a) {(1, 1, −1), (2, −1, 0), (3, 2, 0)} (b) {(2, 1, −1), (−1, 0, 1), (0, 0, 1)} (c) {(1, 2, 3), (4, 1, 2)}
8 - Mostre que o conjunto formado pelos vetores

 
 
 

2 3
1 −1
−3 −2
3 −7

,
,
,
,
−1 0
0 −2
1 −1
−2 5
é uma base de M2 (R).
9 - Mostre que o conjunto formado pelos vetores (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 3) e
(0, 0, 0, 5) formam uma base de R4 .
1
10 - Determine uma base do subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1, −1, 0, 0),
v2 = (−2, 2, 2, 1), v3 = (−1, 1, 2, 1) e v4 = (0, 0, 4, 2).
11 - Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
(a) {(x, y, z) ∈ R3 ; y = 3x}.
(b) {(x, y) ∈ R2 ; x + y = 0}.
(c) {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x − y + 3z = 0}.




 a b


∈ M2 (R) ; b = a + c , d = c
(d)

 c d



 a b

 ∈ M2 (R) ; c = a − 3b , d = 0
(e) 
 c d

12 - Encontre uma base e a dimensão do espaço solução dos sistemas lineares homogêneos:



x + 2y − 2z − t = 0


(a)
2x + 4y + z + t = 0



 x + 2y + 3z + 2t = 0




x − 2y − z = 0

 x + y − 2z + t = 0

(c)
(b)
2x + y + 3z = 0
 2x + 2y − 4z − 2t = 0



 x + 3y + 4z = 0
13 - Determine as coordenadas de v = (6, 2) ∈ R2 em relação às seguintes bases ordenadas:
B1 = {(3, 0), (0, 2)} B2 = {(1, 2), (2, 1)} B3 = {(1, 0), (0, 1)} B4 = {(0, 1), (1, 0)}
14 - Considere a base ordenada B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, −1, 1)} de R3 . Determine as
coordenadas de v ∈ R3 em relação à base B onde
(a) v = (2, −3, 4) (b) v = (3, 5, 6) (c) v = (1, −1, 1)
15 - Encontre as coordenadas do vetor p(t) = −2 − 9t − 13t2 em relação à base ordenada
B de P2 (R) formada pelos vetores p0 (t) = 1+2t−3t2 , p1 (t) = 1−3t+2t2 e p2 (t) = 2−t−5t2 .
2
GABARITO:
1. (a) LI (b) LD 2. (a) LD (b) LD 3. (a) LD (b) LD 4. LI 5. v2 6= kv1 , ∀k ∈ R
6. k 6=+
− 2 7. (a) Sim (b) Sim (c) Não 10. Uma base {v1 , v2 }
11. (a) dim= 2 (b) dim= 1 (c) dim= 2 (d) dim= 2 (e) dim= 2
12. (a) dim= 2 uma base {(1, 0, 3, −5), (0, 1, 6, −10)} (b) dim= 1 uma base {(1, 1, −1)}
(c) dim= 3 uma base {(−1, 0, 0, 1), (−1, 1, 0, 0), (2, 0, 1, 0)}
 

 

 
2
6
−2/3
2
 [v]B3 =   [v]B4 =  
13. [v]B1 =   [v]B2 = 
6
2
10/3
1
 




0
−3
−2
 




 




14. (a) [v]B =  1  (b) [v]B =  11  (c) [v]B =  0 
 




1
6
4


−9




15. [p]B =  −5 


6
3