MATRIZES.

 
 Sendo A  aik m p , B  bkj
MATRIZES
pn
e
C  cij mn ,
temos:
1. DEFINIÇÃO:
 É uma tabela de números formada por m linhas e
n colunas. Dizemos que essa matriz tem ordem
m n , sendo m  1 e n  1 .
 a11 a12
a
 21 a 22
 ... ...

a m1 a m 2
... a1n 
... a 2 n 
... ... 

... a mn 
m : linhas
onde  
n : colunas
C  A  B  cij  ai1 .b1 j  ai 2 .b2 j  ...  aip .b pj
OBSERVAÇÃO:
 Para multiplicarmos duas matrizes: multiplicamos
as linhas da primeira pelas colunas da
Segunda.
A
m  p

B
p  n
2. CLASSIFICAÇÃO:
m  1  matriz linha
n  1  matriz coluna
 
I n  aij
nn
5. MATRIZ INVERSA
m  n  matriz quadrada
m  n  matriz re tan gular

C
m  n
A  :
1
A  A 1  A 1  A  I n
OBS:
 matriz identidade
A e I n são matrizes de mesma ordem.
aij  1 se i  j
onde : 
aij  0 se i  j
Exercícios
 
t
Matriz Transposta A : Troca-se a linha pela coluna
e vice-versa.
Matriz Simétrica: Quando a matriz é igual a sua
transposta.
A  A 
t
3. IGUALDADE DE MATRIZES:
 Sendo as matrizes A  aij
 
teremos
AB
e
mn
 
B  bij
m  p, n  q
quando
p q
,
e
a ij  bij .
4. OPERAÇÕES:
4. 1 ADIÇÃO:
 Sendo A  aij
 
mn

e
 
B  bij
A  B  aij  bij
mn
, temos:

mn
Pr opriedade Comutativa : A  B  B  A
Pr opriedade Associativ a : A  B  C    A  B   C
Elemento Simétrico : A   A  0
Elemento Neutro : A  0  A
4. 2 SUBTRAÇÃO:
A  B  A   B
1. (FRANCO) A é uma matriz 3 pôr 2, definida pela
lei
1, se i  j
. Então A se escreve:
aij   2
i , se i  j
1 1


1 4 9 
1 1 9 


a) 
b)  4 1 
c) 
1
4
9
1 1 9 


9 9


1 1


d)  1 4 
9 9


1 1


e)  4 1 
 6 6


 1 7 
 3  1
 e B  

2. (FRANCO) Sendo A  
  2 4
4 0 
X  A X  2B

, então a matriz X, tal que:
, é
2
3
igual a:
 1

3
9
d) 
10
a)
 7 9 


 0  8
  7  8

e) 
 9 12 
4

7 
17 

12 
b)
c)
 1 2 


 4 9
4. 3 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR
UMA MATRIZ:
 Para calcular o produto de um número real k por
uma matriz A, multiplicamos cada elemento da
matriz A por esse número real k.
3. (FRANCO) O valor de x, para que o produto das
4. 4 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZ POR MATRIZ:
a) –1
matrizes:
 2 x
 1  1
 e B  
 seja
A  
3
1
0
1




uma matriz simétrica, é:
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3
1 1
 e
A  
 0 0
4. (FRANCO) Dadas as matrizes
0 1 
 , para
B  
 0  1
0 1

a) 
b)
0 0
0

0
0
d) 
0
0 1 

c) 
0
1


5.
A.B
(FRANCO)
O
produto
1
 
M  1 pela matriz
1
 
a)
b)
c)
d)
e)
x = -7 e y = -5
x = -5 e y = -7
x = -7 e y = 5
x = 7 e y = -5
temos:
0

0 
10. (FRANCO) Se A e B são matrizes tais que:
1
 
1
e)
 2
 
A  1 e
 x
 
2

0 
1
 
B   2  , então a
1
 
matriz
Y  A t  B será nula para:
M N
da matriz
N  1 1 1
b) x = – 1
d) x = - 3
a) x = 0
c) x = –2
e) x = - 4
11. (FRANCO) A inversa da matriz
Não se define.
É a matriz identidade de ordem 3.
É uma matriz de uma linha e uma coluna.
É uma matriz quadrada de ordem 3.
Não é uma matriz quadrada.
6. (FRANCO) O valor de
b)
c)
d)
e)
1 
1
3
 1
1 

 1  3

c) 
 1 4 
a)  4
x  y na equação matricial
 1
4
 1

b) 
1 
3
 1 
 4 3

 é:
 1 1
 4
d) 
 1
3

1 
e) inexistente
 1 6  x   1 
 4 2. y   22 é:

   
a) 2
b) 3
c) 5
d) 6
7. (FRANCO) Dadas as matrizes

2
B

3
e) 7
 2 0
 e
A  
 1 3
1 

2  , então a matriz  2.( A B)
1 
 8  2


14 7 
 8 2

d) 
14 7 
a) 6
  8  2
  8  2

 c) 

 14 7 
  14  7 
 8 2 

e) 
  14  7 
a  b é igual a:
b) 5
9. (FRANCO) Se
y
é igual a:
a) x = 5 e y = -7
33
, é igual a:
 3 2  a 1  5 7

.
  
 ,
 2 4   2 b   5 9
c) 7
d) 9
então
e) 10
  2 1   x  9

.     , então x e
 1  2  y   3
b) 4
c) - 2
d) - 4
e) - 6
 4 1
3  2
 e Q  
 , a
P  
  2 3
5 4 
matriz transposta de P  2.Q é:
13. (FRANCO) Se
b)
8. (FRANCO) Se
a) 3
 
é
igual a:
a)
12. (FRANCO) Se A é uma matriz quadrada, definese traço de A como a soma dos elementos da
diagonal principal de
A. Nestas condições, o
traço da matriz A  aij
, onde a ij  3.i  2. j
a)
 10 8 


  3 11
c)
 1  7


 1 1 
b)
  2  12 


 5 
 5
d)
e)
  2 8


  5 5
1 2
 e
M  
0 1
então M  N  N  M é:
 2 0
 ,
N  
1 1
14. (FRANCO) Se
a)
 2  2


 0  2
b)
 10 11


3 8 
0 0


0 0
e)
  1 2


  1 0
c)
1 0


0 1
d)
A  aij 47 , definida pôr
 4 2


1 1
B  bij 79 ,, definida pôr
a) 2 elementos
c) 5 elementos
16. (FRANCO)
b) 3 elementos
d) 6 elementos
e) n. d. a
O elemento c 6,3 é igual a:
A  aij 34 tal que
Seja a matriz
a ij  j  2.i . O elemento da Segunda linha e da
b) 0
 1 5 4

A  
 2  3 4
1 2 3 
 ,
B  
 4 3  4
c 21  c 22  c 23 vale:
pode-se
c) 4
e
afirmar
que
1
 2

0 
1 
 2
1

0
 2

c)  1

b)
a)
m  n  10
e) não existe
 2 m

A  
1
4


c)
m.n  48
mn  8
m
3
d)
n
b)
22. (FRANCO) Considere
d) 22
 4 2


1 0
e) n. d. a
 2
e)   1


 1

0
2

 2 1

0
 2

d)  1

19. (FRANCO) Obtenha as matrizes X e Y tais que
2 X  3Y  A  B
, sabendo que

 X  2Y  A  2 B
6 3 
1 0

 .
A  
B  
e
 4  2
0 1
 2  3
1 3 
 e Y  

X  
  4 10 
 4  7
 1 3
2 3 
 e Y  

b) X  
  4 7
 4 10 
2 6 
8 6 
 e Y  

c) X  
 8 14 
8  8
d) X  0 e Y  0
20. (FRANCO) Considere as matrizes:
P a matriz inversa da
. A
soma dos
elementos da diagonal principal da matriz P é:
1
9
 1  1

23. (FRANCO) São dadas as matrizes A  
3 2 
 1 0
 . Se a matriz X, de ordem 2, é
e B  
  1 2
solução da equação A  X  B , então a soma
a)
9
4
b)
4
9
c) 4
d)
5
9
e)
dos elementos de X é igual a:
a)
4
5
b)
2
5
c)
1
5
d)
 2 4

Y  
  8 2
então a
a) 2
25.
é
b) - 2
, com
1
5
e)
4
5
 a  1
 e
X  
2 a 
24. (FRANCO) Sejam as matrizes
a)
e) n. d. a
,
m n  144
e)
 1 0

M  3
 1 1
 7

matriz
1 2 
 1 0 
 e B  

18. (FRANCO) Sendo A  
1 3 
 0 1
, a matriz tal que 2. X  A  3.B  0 é:
a)  2
b) – 18
d) 112
n
 4
B    e
C   
, e sabendo que
1
0
A  B  C , podemos concluir que:
e) n. d. a
C  c ij  é a matriz soma das
matrizes
b) 0
d) – 2
c) 2
17. (FRANCO) Se
a) 6
a) – 112
c) – 9
21. (FRANCO) Dadas as matrizes
Quarta coluna vale:
a) – 1
bij  i
C  cij , C  A  B
15. (FRANCO) Uma matriz do tipo 2x3 tem:
a ij  i  j ;
a  R . Se
X 2 Y ,
igual a :
c)
1
2
d) -
1
2
e) n. d. a
(FRANCO) Seja a matriz quadrada de ordem 3
definida pôr:
Logi, se i  j
. A soma do elemento
a ij   j
2 , se i  j
da primeira linha e da terceira coluna com o
elemento da Segunda linha e da primeira coluna é:
a) 2
c)
b) 4
8  Log
2
d)
e)
4  Log
2  Log
3
GABARITO
1. B
6. D
11. C
16. B
21. C
2. D
7. E
12. A
17. A
22. C
3. C
8. B
13. B
18. C
23. A
4. B
9. B
14. A
19. A
24. B
5. D
10. E
15. D
20. E
25. A
3