universidade federal de ouro preto - ICEB-UFOP

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS
Departamento de Matemática
a
4 Lista de Exercı́cios de Int. a Alg. Linear
OBS: Sempre considere operações usuais nos exercı́cios em que a operação não está definida.
1. Verifique quais conjuntos abaixo são espaços vetoriais com as operaçõse de adição e multiplicação por escalar nele definidas:
(a) R3 , com as operações (x1 , y1 , z1 )+(x2 , y2 , z2 ) = (x1 +x2 , y1 +y2 , z1 +z2 ) e k⊙(x, y, z) =
(0, 0, 0)
(b) V = {(x, 2x, 3x); x ∈ R} com as operações usuais;
(c) V = {(x, x2 ) : x ∈ R} com as seguintes operações
(x1 , x21 ) ⊕ (x2 , x22 ) = (x1 + x2 , (x1 + x2 )2 ) e α ⊙ (x, x2 ) = (αx, α2 x2 )
(d) {(x, y) : x, y > 0} com as operações
(x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 ) = (x1 x2 , y1 y2 ) e α ⊙ (x, y) = (xα , y α )
Resp.: a) Não é espaço vetorial, falha o quarto axioma da multiplicação por escalar.
b) é espaço vetorial. c) é espaço vetorial. d) é espaço vetorial.
2. (a) No R2 considere os vetores u = (1, 1), v = (3, −2) e (3, −2). Resolva a equação
x+u v+x
+
=w
2
3
na variável x
(b) Resolva o sistema de equações vetoriais

 x+y+z = u
2x − y + z = w

x + y − 2z = w
nas incógnitas x, y, z ∈ R2 .
Resp.: x = (16/9, −1), (−1/9, 1), z = (−2/3, 1).
3. Verifique se W = {(x, y); x ≥ 0} é um subespaço de R2 . Resp.: Não.
{(
)
}
a b
4. Verifique se W =
;c = a + b
e
d = 0 é um subespaço de M2 (R).
c d
Resp.: É subespaço.
5. Verifique que o conjunto solução de um sistema homogêneo AX = 0, em que A é uma
matriz m × n, X é uma matriz n × 1 e 0 é a matriz nula de ordem m × 1 é subespaço
vetorial de Rn . Este é dito subespaço solução do sistema.
6. Seja Mn (R) o espaço das matrizes quadradas n × n com entradas reais e S = {A ∈
Mn (R)|A = At } (conjunto das matrizes simétricas). S é um subespaço de Mn (R)?
7. Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são sub-espaços de R3 ?
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3 ;
x é um número inteiro}
1
(b) W = {(x, y, z) ∈ R3 ;
Resp.: (a) não é (b) é.
ax + by + cz = 0, com a, b, c ∈ R}
8. Seja V um espaço vetorial e W1 , W2 ⊂ V dois subespaços.
(a) Mostre que W1 ∩ W2 é um subespaço vetorial de V
(b) W1 ∪ W2 é um subespaço vetorial de V ?
(c) Seja V um espaço vetorial e U, W ⊂ V dois subespaços vetoriais de V . Mostre que o
conjunto U + W = {u + w : u ∈ U e w ∈ W } é um subespaço vetorial de V .
9. (a) Considere o espaço vetorial V = {(x, x2 ) : x ∈ R} com as operações
(x1 , x21 ) ⊕ (x2 , x22 ) = (x1 + x2 , (x1 + x2 )2 ) e α ⊙ (x, x2 ) = (αx, α2 x2 )
Verifique se W = {(x, x2 ) : x ≥ 0} é um subespaço de V .
(b) V = {(x, y) : x, y > 0} com as operações
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 x2 , y1 y2 ) e α(x, y) = (xα , y α ).
Verifique se W = {(x, x) : x > 0} é um subespaço de V .
10. No espaço

1

0
A=
0
M
se existem
3×2 (R) verifique


 t1 e t2reias tais que A = t1 B + t2 C, em que
1
0 1
1 2




0 ,B =
2 1 ,C =
1 0 
0
1 1
0 −1
11. No espaço vetorial P3 (R) sejam dados os vetores f (t) = t3 −1, g(t) = t2 +t−1 e h(t) = t+2.
(a) Existe k ∈ R de maneira que f (t) + kg(t) = h(t)?
(b) Existem k1 , k2 ∈ R tais que f (t) = k1 g(t) + h2 h(t)?
12. Considere no espaço P2 os vetores p1 = t2 − 2t + 1, p2 = t + 2, p3 = 2t2 − t. Escreva
p = 5t2 − 5t + 7 como combinação linear de p1 , p2 , p3 .
13. Determine os subespações de R3 gerados pelos seguintes conjuntos
(a) A = {2, −1, 3}
(b) A = {(−1, 3, 2), (2, −2, 1)}
(c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)}
(d) A = {(1, 2, −1), (−1, 1, 0), (0, 0, 2), (−2, 1, 0)}
Resp.: a) {(x, y, z) : x = −2y, z = −3y} b) {(x, y, z) : 7x + 5y − 4z = 0} c) {(x, y, z) :
x + y − z = 0} d) R3
14. Dê um conjunto de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços de R3 :
(a) U = {(x, y, z) : x − 2y = 0};
(b) V = {(x, y, z) : x + z = 0 e x − 2y = 0};
(c) W = U ∩ V
(d) Z = {(x, y, z); x + 2y − 3z = 0}
Resp.: (a) {(2, 1, 0), (0, 0, 1)} (b) {(2, 1, −2)} (c) {(2, 1, −2)}
2
15. Considere os vetores de R3 : (−1, 0, 1) e (3, 4, −2). Determinar um sistema de equações
homogêneas para o qual o espaço solução seja exatamente o sub-espaço gerado por esses
vetores.
16. Verifique se os conjuntos de vetores abaixo são L.I. ou L.D.:
(a) Em R2 o conjunto S = {(1, 2)}. R.: L.I.
(b) Em R2 o conjunto S = {(1, 2), (−2, 4)} R.: L.I.
(c) Em R2 o conjunto S = {(1, 3), (8, 24)}R.: L.D.
(d) Em R3 o conjunto S = {(2, 1, 3), (0, 0, 0), (1, 5, 2)} R.: L.D.
(e) Em R3 o conjunto S = {(1, −2, 3), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (3, −1, 2)} R.: L.D.
(f) Em P2 (R) o conjunto S = {1 − x + 2x2 , 2 − x − x2 , 1 + 2x − 3x2 }
(g) Em R4 o conjunto S = {(2, 1, 0, 0), (1, 0, 2, 1), (−1, 2, 0, −1)}
(h) Em M2×3 (R) o conjunto S = {A, B, C}, em que
(
) (
)
(
)
−1 2 1
0 −1 2
−1 0 5
,
,C =
A=
3 −2 4
−2 1 0
−1 0 3
17. Determine o valor de k para que seja L.I. o conjunto:
{(−1, 0, 2), (1, 1, 1), (k, −2, 0)}
RESP.: k ̸= −3
18. Verifique que o conjunto {(1, −1), (2, 1), (−1, 0)} é L.D. Escreva cada elemento desse conjunto como combinação linear dos outros dois.
19. Mostre que se u, v são vetores L.I. então u + v, u − v também é L.I.
20. Mostre que se u, v e w são L.I., então u + v, u + w e v + w também são L.I.
21. Escreva um vetor genérico (x, y) ∈ R2 como combinação linear de v1 = (2, −1) e v2 =
(−3, 2).
22. Determinar m e n (números reais) para que os conjuntos de vetores do R3 dados abaixo
sejam L.D.
(a) {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1, m, 2)}. Resp.: m = 0
(b) {(6, 2, n), (3, m + n, m − 1)}. Resp.: m = −1 e n = 2.
(c) {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1, 2, m)}. Resp.: não existe m.
3