Espaços Vetoriais

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Definição
Seja um conjunto V, não vazio.
i. Uma adição em V é uma operação que a cada par de elementos
(u, v) ∈ V × V associa um elemento u + v ∈ V.
ii. Uma multiplicação por um real em V é uma operação que a cada
α ∈ R e a cada u ∈ V, associa um elemento αu ∈ V. Esta operação
também é denominada multiplicação por escalar.
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Definição
O conjunto V, não vazio, munido com uma adição e uma multiplicação
por escalar (real) é denominado espaço vetorial real (ou espaço vetorial
sobre R) se forem verificadas as seguintes propriedades:
5. ∀α ∈ R, ∀u ∈ V
1.∀u, v ∈ V
α(βu) = (αβ)u;
u + v = v + u;
6. ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V
2. ∀u, v, w, ∈ V,
α(u + v) = αu + αv;
u + (v + w) = (u + v) + w;
7. ∀α, β ∈ R, ∀u ∈ V
3. ∃0 ∈ V tal que ∀u ∈ V,
(α + β)u = αu + βu;
0 + u = u;
8.
∀u
∈V
4. ∀u ∈ V, ∃ − u ∈ V t.q.
1u = u.
u + (−u) = 0;
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Exemplo
Dado n ∈ N, o conjunto Rn = {(x1 , . . . , xn ) ; xi ∈ R, i = 1, . . . , n} com as
operações usuais de adição e multiplicação por real é um espaço vetorial
real.
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Espaços Vetoriais
Exemplo
Dado n ∈ N, o conjunto Rn = {(x1 , . . . , xn ) ; xi ∈ R, i = 1, . . . , n} com as
operações usuais de adição e multiplicação por real é um espaço vetorial
real.
Exemplo
Dados m, n ∈ N, o conjunto das matrizes m × n com entradas reais, com
as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por real é um
espaço vetorial real.
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Espaços Vetoriais
Exemplo
Dado n ∈ N, o conjunto Rn = {(x1 , . . . , xn ) ; xi ∈ R, i = 1, . . . , n} com as
operações usuais de adição e multiplicação por real é um espaço vetorial
real.
Exemplo
Dados m, n ∈ N, o conjunto das matrizes m × n com entradas reais, com
as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por real é um
espaço vetorial real.
Exemplo
O conjunto V = {f : R → R} munido das operações usuais de adição de
funções e da multiplicação por real é um espaço vetorial real.
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Espaços Vetoriais
Exemplo
O conjunto P = {a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ; ai ∈ R} dos polinômios
em x munido das operações usuais é um espaço vetorial real.
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Espaços Vetoriais
Exemplo
O conjunto P = {a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ; ai ∈ R} dos polinômios
em x munido das operações usuais é um espaço vetorial real.
Exemplo
Dado n ∈ N, o conjunto Pn dos polinômios reais de grau 6 n, mais o
polinômio nulo, com as operações usuais é um espaço vetorial.
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Exemplo: Exp
O conjunto V = {(x, y) ∈ R2 ; x, y > 0} com as operações
(x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 ) = (x1 x2 , y1 y2 )
e
α (x, y) = (xα , y α )
é um espaço vetorial,
cujo vetor nulo é 0 = (1, 1) e o simétrico de v =
1 1
(x, y) é −v = x , y .
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Exemplo: Exp
O conjunto V = {(x, y) ∈ R2 ; x, y > 0} com as operações
(x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 ) = (x1 x2 , y1 y2 )
e
α (x, y) = (xα , y α )
é um espaço vetorial,
cujo vetor nulo é 0 = (1, 1) e o simétrico de v =
1 1
(x, y) é −v = x , y .
Exemplo
O conjunto R2 com as operações definidas por
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
e
α(x, y) = (αx, y)
não é um espaço vetorial.
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Espaços Vetoriais
Exemplo
O conjunto R2 com as operações definidas por
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
e
α(x, y) = (0, 0)
não é um espaço vetorial.
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Propriedades dos Espaços Vetoriais
Propriedades
Seja V um espaço vetorial. São satisfeitas as seguintes propriedades:
1
Qualquer que seja v ∈ V tem-se 0v = 0.
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Propriedades dos Espaços Vetoriais
Propriedades
Seja V um espaço vetorial. São satisfeitas as seguintes propriedades:
1
Qualquer que seja v ∈ V tem-se 0v = 0.
2
Qualquer que seja λ ∈ R tem-se λ0 = 0 ∈ V.
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Propriedades dos Espaços Vetoriais
Propriedades
Seja V um espaço vetorial. São satisfeitas as seguintes propriedades:
1
Qualquer que seja v ∈ V tem-se 0v = 0.
2
Qualquer que seja λ ∈ R tem-se λ0 = 0 ∈ V.
3
Se λv = 0, então λ = 0 ou v = 0.
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Propriedades dos Espaços Vetoriais
Propriedades
Seja V um espaço vetorial. São satisfeitas as seguintes propriedades:
1
Qualquer que seja v ∈ V tem-se 0v = 0.
2
Qualquer que seja λ ∈ R tem-se λ0 = 0 ∈ V.
3
Se λv = 0, então λ = 0 ou v = 0.
4
Qualquer que seja v ∈ V tem-se (−1)v = −v.
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Subespaços Vetoriais
Dado um espaço vetorial V, muitas vezes estamos mais interessados em
certos subconjuntos de V dos que no espaço em si. Os subconjuntos
não vazios que nos interessam aqui são S ⊂ V que são eles próprios
subespaços vetoriais (com as operações de V). Estes conjuntos são denominados subespaços vetoriais.
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Subespaços Vetoriais
Dado um espaço vetorial V, muitas vezes estamos mais interessados em
certos subconjuntos de V dos que no espaço em si. Os subconjuntos
não vazios que nos interessam aqui são S ⊂ V que são eles próprios
subespaços vetoriais (com as operações de V). Estes conjuntos são denominados subespaços vetoriais.
Definição
Um subconjunto S, não vazio, de um espaço vetorial V é denominado
um subespaço vetorial quando satisfaz:
1
Para todos u, v ∈ S tem-se u + v ∈ S.
2
Para todo u ∈ S e todo α ∈ R tem-se αu ∈ S.
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Subespaços Vetoriais
Propriedade
Um subespaço vetorial S do espaço vetorial V, com as operações herdadas
de V, é, ele pŕoprio, um espaço vetorial.
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Subespaços Vetoriais
Propriedade
Um subespaço vetorial S do espaço vetorial V, com as operações herdadas
de V, é, ele pŕoprio, um espaço vetorial.
Propriedade
Seja S um subespaço vetorial de V. Então, o vetor nulo 0 pertence a S.
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Subespaços Vetoriais
Propriedade
Um subespaço vetorial S do espaço vetorial V, com as operações herdadas
de V, é, ele pŕoprio, um espaço vetorial.
Propriedade
Seja S um subespaço vetorial de V. Então, o vetor nulo 0 pertence a S.
Exemplo
O conjunto S = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0} é um subespaço vetorial de R3 .
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Subespaços Vetoriais
Exemplo
O conjunto M das matrizes simétricas 3 × 3 é um subespaço vetorial do
espaço vetorial V das matrizes 3 × 3.
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Subespaços Vetoriais
Exemplo
O conjunto M das matrizes simétricas 3 × 3 é um subespaço vetorial do
espaço vetorial V das matrizes 3 × 3.
Exemplo
O conjunto F = {f : R → R ; f (0) = 0} é um subespaço vetorial de
V = {f : R → R}.
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Subespaços Vetoriais
Exemplo
O conjunto M das matrizes simétricas 3 × 3 é um subespaço vetorial do
espaço vetorial V das matrizes 3 × 3.
Exemplo
O conjunto F = {f : R → R ; f (0) = 0} é um subespaço vetorial de
V = {f : R → R}.
Exemplo
Sejam a1 , . . . , an números reais. O conjunto W = {(x1 , . . . , xn ) ; a1 x1 +
. . . + an xn = 0} é um subespaço vetorial de Rn .
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Subespaços Vetoriais
Exemplo
O conjunto A = {(x, x2 ) ∈ R2 ; x ∈ R} não é um subespaço vetorial de
R2 .
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Subespaços Vetoriais
Exemplo
O conjunto A = {(x, x2 ) ∈ R2 ; x ∈ R} não é um subespaço vetorial de
R2 .
Exemplo
O conjunto A = {(x, y) ∈ R2 ; y + x = 1} não é um subespaço de R2 .
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Subespaços Vetoriais
Exemplo
O conjunto A = {(x, x2 ) ∈ R2 ; x ∈ R} não é um subespaço vetorial de
R2 .
Exemplo
O conjunto A = {(x, y) ∈ R2 ; y + x = 1} não é um subespaço de R2 .
Exemplo
Seja V = {(x, y) ∈ R2 ; x, y > 0} com as operações
(x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 ) = (x1 x2 , y1 y2 )
α (x, y) = (xα , y α ).
O conjunto W = {(1, y) ; y > 0} é um subespaço vetorial de V.
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Interseção de Subespaços
Propriedade
Sejam W1 e W2 dois subespaços vetoriais de V. A interseção W1 ∩ W2
é um subespaço vetorial de V.
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Interseção de Subespaços
Propriedade
Sejam W1 e W2 dois subespaços vetoriais de V. A interseção W1 ∩ W2
é um subespaço vetorial de V.
Exemplo
O conjunto solução do sistema linear homogêneo

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0



a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = 0
...



am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = 0
é um subespaço de Rn
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Soma de Subespaços
Propriedade
Sejam W1 e W2 subespaços de V. O conjunto
W1 + W2 = {w1 + w2 ; wi ∈ Wi , i = 1, 2}
é um espaço vetorial de V.
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Soma de Subespaços
Propriedade
Sejam W1 e W2 subespaços de V. O conjunto
W1 + W2 = {w1 + w2 ; wi ∈ Wi , i = 1, 2}
é um espaço vetorial de V.
Exemplo
Se W1 = {(x, y, 0) ; x, y ∈ R} e W2 = {(0, 0, z) ; z ∈ R} então
W1 + W2 = R3 .
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Soma de Subespaços
Exemplo
Se W1 = {(x, y, 0) ; x, y ∈ R} e W2 = {(0, y, z) ; y, z ∈ R}, então
W1 + W2 = R3 .
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Soma de Subespaços
Exemplo
Se W1 = {(x, y, 0) ; x, y ∈ R} e W2 = {(0, y, z) ; y, z ∈ R}, então
W1 + W2 = R3 .
Exemplo
Seja V o espaço das matrizes reais n × n. Sejam U e L os subespaços de
V constituidos das matrizes triangulares superiores e inferiores, respectivamente. Então,
V = L + U.
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Soma Direta
Definição
Sejam W1 e W2 dois subespaços de V. Dizemos que V é soma direta de
W1 e W2 se V = W1 + W2 e W1 ∩ W2 = {0}.
Tal fato é denotado por
V = W1 ⊕ W2 .
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Soma Direta
Definição
Sejam W1 e W2 dois subespaços de V. Dizemos que V é soma direta de
W1 e W2 se V = W1 + W2 e W1 ∩ W2 = {0}.
Tal fato é denotado por
V = W1 ⊕ W2 .
Exemplo
Nos três exemplos anteriores, somente o primeiro é soma direta.
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Soma Direta
Propriedade
Sejam W1 e W2 subespaços de V. Então, V = W1 ⊕ W2 se, e somente
se, qualquer vetor v ∈ V é escrito de forma única como uma soma
v = w1 + w2 ,
onde w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2 .
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