Aula 5

Espaços Vetoriais
Juliana Pimentel
[email protected]
http://hostel.ufabc.edu.br/∼juliana.pimentel
Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2
Espaços Vetoriais
I
I
I
I
Quantidades
Área, comprimento, massa, temperatura:
escalares
Velocidade, movimento, força, deslocamento:
vetoriais
Exemplos: N, R, R2 = {(x, y); x, y ∈ R},
R3 = {(x, y, z); x, y, z ∈ R}.
Espaços Vetoriais
Seja V um conjunto não-vazio e vamos chamar os
elementos de V por objetos.
Espaços Vetoriais
Seja V um conjunto não-vazio e vamos chamar os
elementos de V por objetos.
Queremos definir as operações de soma e
multiplicação por um escalar em V .
Espaços Vetoriais
Seja V um conjunto não-vazio e vamos chamar os
elementos de V por objetos.
Queremos definir as operações de soma e
multiplicação por um escalar em V .
Ou seja, se u e v são objetos em V , então a a
soma u + v é um objeto em V .
Espaços Vetoriais
Seja V um conjunto não-vazio e vamos chamar os
elementos de V por objetos.
Queremos definir as operações de soma e
multiplicação por um escalar em V .
Ou seja, se u e v são objetos em V , então a a
soma u + v é um objeto em V .
E se k ∈ R, então a multiplicação kv é um objeto
em V .
Espaços Vetoriais
Seja V um conjunto não-vazio e vamos chamar os
elementos de V por objetos.
Queremos definir as operações de soma e
multiplicação por um escalar em V .
Ou seja, se u e v são objetos em V , então a a
soma u + v é um objeto em V .
E se k ∈ R, então a multiplicação kv é um objeto
em V .
Dizemos que V é um espaço vetorial se os
seguintes axiomas são satisfeitos:
(1) u + v = v + u
(2) u + (v + w) = (u + v) + w
(3) Existe um objeto 0 em V , chamado um vetor
nulo de V , tal que 0 + u = u + 0 = u para cada u
em V.
(4) Para cada u em V , existe objeto −u, tal que
u + (−u) = (−u) + u = 0.
Espaços Vetoriais
(5) l(u + v) = lu + lv
(6) (k + l)v = kv + lv
(7) k(lu) = (kl)u
(8) 1u = u
para todos objetos u, v e w em V e quaisquer
escalares k, l ∈ R
Exemplo 1 - Rn
O conjunto V = Rn com as operações usuais de
adição e multiplicação por escalar usuais é um
espaço vetorial.
Exemplo 1 - Rn
O conjunto V = Rn com as operações usuais de
adição e multiplicação por escalar usuais é um
espaço vetorial.
Os três casos especiais mais importantes de Rn
são R (números reais), R2 (vetores do plano) e R3
(vetores do espaço tridimensional).
Exemplo 2 - Matrizes
O conjunto Mm×n (R) das matrizes m × n com
entradas reais é um espaço vetorial se a adição e
multiplicação por escalar são definidas como as
usuais.
Exemplo 3 - Funções Reais
Seja V o conjunto de todas as funções reais
definidas na reta real (−∞, +∞).
Exemplo 3 - Funções Reais
Seja V o conjunto de todas as funções reais
definidas na reta real (−∞, +∞).
Se f = f (x) e g = g(x) são duas tais funções e k
é um número real qualquer, defina a soma f + g e
o múltiplo por escalar kf respectivamente por:
(f + g)(x) = f (x) + g(x) e (kf )(x) = kf (x)
Exemplo 3 - Funções Reais
Seja V o conjunto de todas as funções reais
definidas na reta real (−∞, +∞).
Se f = f (x) e g = g(x) são duas tais funções e k
é um número real qualquer, defina a soma f + g e
o múltiplo por escalar kf respectivamente por:
(f + g)(x) = f (x) + g(x) e (kf )(x) = kf (x)
Desta forma, V é um espaço vetorial.
Exemplo 4 - Conjunto que não é Espaço
Vetorial
Seja V = {(a, 1)|a ∈ R} munido das operações
usuais de soma e multiplicação por escalar de R2 .
Exemplo 4 - Conjunto que não é Espaço
Vetorial
Seja V = {(a, 1)|a ∈ R} munido das operações
usuais de soma e multiplicação por escalar de R2 .
Os elementos (2, 1) e (5, 1) estão em V , mas a
soma não pertence a V.
Exemplo 5 - Conjunto que não é Espaço
Vetorial
Seja V = R2 e defina as operações de soma e
multiplicação por escalar como segue:
Exemplo 5 - Conjunto que não é Espaço
Vetorial
Seja V = R2 e defina as operações de soma e
multiplicação por escalar como segue:
sejam u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) e k é um número
real:
u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 ) e ku = (ku1 , 0)
Exemplo 5 - Conjunto que não é Espaço
Vetorial
Seja V = R2 e defina as operações de soma e
multiplicação por escalar como segue:
sejam u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) e k é um número
real:
u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 ) e ku = (ku1 , 0)
Pode-se verificar que existem vetores u para os
quais o Axioma (8) falha (por exemplo, se
u = (2, 1).
Propriedades de Espaços Vetoriais
Teorema
Sejam V um espaço vetorial, u e v elementos de
V e k um escalar. Então:
(a) 0u = 0
Propriedades de Espaços Vetoriais
Teorema
Sejam V um espaço vetorial, u e v elementos de
V e k um escalar. Então:
(a) 0u = 0
(b) k0 = 0
Propriedades de Espaços Vetoriais
Teorema
Sejam V um espaço vetorial, u e v elementos de
V e k um escalar. Então:
(a) 0u = 0
(b) k0 = 0
(c) x + y = 0 implica que y = −x (o inverso
aditivo de x é único).
Propriedades de Espaços Vetoriais
Teorema
Sejam V um espaço vetorial, u e v elementos de
V e k um escalar. Então:
(a) 0u = 0
(b) k0 = 0
(c) x + y = 0 implica que y = −x (o inverso
aditivo de x é único).
(d) (−1)u = −u
Propriedades de Espaços Vetoriais
Teorema
Sejam V um espaço vetorial, u e v elementos de
V e k um escalar. Então:
(a) 0u = 0
(b) k0 = 0
(c) x + y = 0 implica que y = −x (o inverso
aditivo de x é único).
(d) (−1)u = −u
(e) Se kv = 0 então k = 0 ou v = 0.
Demonstração
(a)
0u + 0u = (0 + 0)u = 0u [distributiva]
(0u + 0u) − 0u = 0u − 0u [somando − 0u]
0u + 0 = 0 [associativa]
0u = 0
(d)
u + (−1)u = (1)u + (−1)u [elto. neutro]
= (1 + (−1))u [distributiva]
= 0u
=0
Exercı́cio
Verifique se o conjunto R3 é um espaço vetorial
com as operações de adição e multiplicação por
escalar definidas abaixo:
(x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 ) = (x + x0 , y + y 0 , z + z 0 ),
k(x, y, z) = (0, 0, 0).
(Resposta. Não)
Exercı́cio
Verifique se o conjunto R2 é um espaço vetorial
com as operações de adição e multiplicação por
escalar definidas abaixo:
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ),
k(x, y) = (2kx, 2ky).
(Resposta. Não)
Exercı́cio
Verifique se o conjunto {(x, y) ∈ R2 : y = 0} é um
espaço vetorial com as operações de adição e
multiplicação por escalar usuais de R2 .
(Resposta. Sim)