Espaços Vetoriais com Produto Interno - Imecc

MA 327 Álgebra Linear
Petronio Pulino
DMA/IMECC/UNICAMP
e-mail: [email protected]
www.ime.unicamp.br/∼pulino/MA327/
Exercı́cios Selecionados
Espaços Vetoriais com Produto Interno
Exercı́cio 1. Considere o espaço vetorial real C01 ([0, 1]), isto é,
C01 ([0, 1]) = { f ∈ C 1 ([0, 1]) / f (1) = 0 } .
Verifique se cada uma das aplicações
∫ 1
(a) ⟨ f , g ⟩ =
f ′ (x)g(x)dx
∫
(b) ⟨ f , g ⟩ =
0
1
f ′ (x)g ′ (x)dx
0
define um produto interno no espaço vetorial C01 ([0, 1]). Justifique sua resposta.
Exercı́cio 2. Sejam V um espaço vetorial real munido do produto interno ⟨ · , · ⟩ e ∥ · ∥2 a
norma Euclidiana.
(a) Mostre que se θ é o ângulo entre os elementos u, v ∈ V , não nulos, então
∥ u ± v ∥22 = ∥ u ∥22 + ∥ v ∥22 ± 2 ∥ u ∥2 ∥ v ∥2 cos(θ) .
(b) Mostre que se β = { q1 , · · · , qn } é um conjunto ortonormal em V , então β é um conjunto
linearmente independente em V .
Exercı́cio 3. Considere o espaço vetorial real P2 (IR) munido do produto interno
∫
⟨p, q⟩ =
1
x2 p(x)q(x)dx
;
−1
∀ p, q ∈ P2 (IR) .
Determine uma base para o complemento ortogonal do subespaço S = [1 + x] em P2 (IR) com
relação ao produto interno ⟨ · , · ⟩ definido acima.
Exercı́cio 4. Considere o espaço vetorial real P2 (IR) com o produto interno
∫
⟨p, q⟩ =
1
p(x)q(x)dx
;
∀ p, q ∈ P2 (IR) .
0
Determine a melhor aproximação do polinômio q(x) = 1 − x2 no subespaço P1 (IR).
Exercı́cio 5. Considere o espaço vetorial real IR3 com o produto interno usual ⟨ · , · ⟩ e S
o subespaço definido por:
S = { (x, y, z) ∈ IR3 / x + y + z = 0 } .
Determine um operador linear T : IR3 −→ IR3 tal que Im(T ) = S e Ker(T ) = S ⊥ .
Exercı́cio 6. Considere o espaço vetorial real IR3 munido do produto interno usual ⟨ · , · ⟩ .
Dados os elementos u = (1, 1, 1) e v = (3, 2, 1). Pede–se:
(a) Determine os elementos w1 e w2 tais que v = w1 + w2 , de modo que w1 seja ortogonal
ao elemento u e que o conjunto { w2 , u } seja linearmente dependente.
(b) Decompor o elemento w = (1, −1, 2) como a soma de um elemento que está no subespaço
S = [u, w1 ] e de outro elemento que está no subespaço S ⊥ .
Exercı́cio 7. Considere o espaço vetorial real IR4 munido do produto interno usual. Seja U
o subespaço gerado pelos elementos u1 = (1, 1, 1, 1) e u2 = (−1, 1, −1, 1). Pede–se:
(a) Determine a melhor aproximação do elemento v = (2, 1, 3, 1) no subespaço U .
(b) Determine um subespaço W de modo que IR4 = U ⊕ W . Justifique sua resposta.
Exercı́cio 8. Considere o espaço vetorial real P2 (IR) com o produto interno
∫
⟨p, q⟩ =
1
p(x)q(x)dx
−1
;
∀ p, q ∈ P2 (IR) .
Determine uma base para o complemento ortogonal do subespaço S = [1 + x, 1 − x2 ] em
P2 (IR) com relação ao produto interno ⟨ · , · ⟩ definido acima.
Exercı́cio 9. Seja V um espaço vetorial real munido do produto interno
automorfismo de V . Mostre que a aplicação
f (·, ·) : V × V
(u, v)
⟨ · , · ⟩ e T um
−→ IR
−→ f (u, v) = ⟨ T (u) , T (v) ⟩
define um produto interno em V . Dê um exemplo considerando V = IR3 munido do produto
interno usual.
Exercı́cio 10. Seja V um espaço vetorial real munido do produto interno ⟨ · , · ⟩ e ∥ · ∥2
a norma Euclidiana. Considerando os elementos u, v ∈ V , com v ̸= 0V , determine o elemento
w∗ do conjunto S = { w ∈ V / w = u − tv , t ∈ IR } que possui a menor norma
Euclidiana. Dê uma interpretação geométrica para o elemento w∗ .
Exercı́cio 11. Considere o espaço vetorial IR4 munido do produto interno usual. Seja U o
subespaço gerado pelos elementos u1 = (1, −1, 1, 1) e u2 = (1, 2, 0, 1).
(a) Determine uma base para o subespaço U ⊥ .
(b) Calcule a projeção ortogonal do elemento u = (2, 1, 1, −1) no subespaço U .
(c) Considere o operador linear P : IR4 −→ IR4 que representa a projeção ortogonal sobre o
subespaço U . Mostre que Ker(I − P ) = U .
Exercı́cio 12. Considere o espaço vetorial P2 (IR) munido do produto interno
∫
⟨p, q⟩ =
1
t2 p(t)q(t)dt .
−1
A partir da base canônica β = { 1, t, t2 } do espaço vetorial P2 (IR), construir uma base
ortogonal γ = { P1 , P2 , P3 } para o espaço P2 (IR).
Exercı́cio 13.
√ √
√ √
b reais positivos e os elementos u = ( a, b), v = ( b, a) ∈ IR2 .
a+b
Utilize a desigualdade de Cauchy–Schwarz para comparar a média aritmética
com
2
√
a média geométrica a b.
(a) Sejam a
e
(b) Seja V um espaço vetorial real munido do produto interno ⟨ · , · ⟩ e ∥ · ∥2 a norma
Euclidiana. Mostre que os elementos (u − v), (u + v) ∈ V são ortogonais se, e somente
se, ∥ u ∥2 = ∥ v ∥2 .
Exercı́cio 14. Mostre que a aplicação ⟨ · , · ⟩ : P2 (IR) × P2 (IR) −→ IR dada por:
⟨ p , q ⟩ = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1)
define um produto interno no espaço vetorial P2 (IR). Determine uma base para o complemento
ortogonal do subespaço U = [2 − x] em P2 (IR) com relação ao produto interno ⟨ · , · ⟩ definido
acima.
Exercı́cio 15. Considere o espaço vetorial real C([−1, 1]) munido do produto interno usual.
Determine o polinômio p(x) = a + bx, a, b ∈ IR, mais próximo da função
f (x) = sin(πx)
,
x ∈ [−1, 1] ,
com relação à norma Euclidiana. Dê uma interpretação geométrica para o polinômio p(x).
Exercı́cio 16. Sejam V um espaço vetorial real munido do produto interno ⟨ · , · ⟩ e T um
operador linear sobre V . Mostre que se ⟨ T (u) , T (v) ⟩ = ⟨ u , v ⟩ para todo u, v ∈ V , então T
é um operador injetor.
Exercı́cio 17. Sejam a1 , · · · , an números reais estritamente positivos. Mostre que
(
( a1 + · · · + an )
1
1
+ ··· +
a1
an
)
≥ n2 ,
aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, em dois elementos u, v ∈ IRn escolhidos adequadamente.
Exercı́cio 18. Sejam V e W espaços vetoriais reais e ⟨ · , · ⟩ um produto interno em W .
Mostre que se T : V −→ W é uma transformação linear injetora, então a aplicação f (·, ·) dada
por:
f (u, v) = ⟨ T (u) , T (v) ⟩
para todo
u, v ∈ V
define um produto interno em V .
Exercı́cio 19. Seja W o subespaço de IR4 definido por:
W = { (a + c, b + c, −b, −a) ∈ IR4 /
a, b, c ∈ R } .
(a) Encontre uma base ortonormal para o subespaço W ⊥ com relação ao produto interno usual
do espaço vetorial real IR4 .
(b) Encontre uma base ortonormal para o subespaço W com relação ao produto interno usual
do espaço vetorial real IR4 .
Exercı́cio 20. Considere o espaço vetorial real IM2 (IR) munido do produto interno usual,
isto é, ⟨ A , B ⟩ = tr(B t A). Seja S o subespaço de IM2 (IR) gerado pelo elemento
]
[
1 0
A =
.
2 1
(a) Dada a matriz
[
B =
]
2
3
,
0 −1
determine sua projeção ortogonal sobre o subespaço S.
(b) Determine uma matriz C ∈ IM2 (IR) tal que ⟨ A , C ⟩ = 0.
Exercı́cio 21. Sejam V um espaço vetorial complexo de dimensão finita munido do produto
interno ⟨ · , · ⟩ e β = { v1 , · · · , vn } uma base ordenada para V . Mostre que a matriz do
produto interno em relação à base ordenada β é uma matriz Hermitiana.
Exercı́cio 22. Considere o espaço vetorial real P2 (IR) munido do produto interno
∫
⟨p, q⟩ =
1
x2 p(x)q(x)dx
;
−1
∀ p, q ∈ P2 (IR) .
Determine a matriz do produto interno ⟨ · , · ⟩ com relação à base ordenada
β = { p1 (x) = 1 , p2 (x) = x , p3 (x) = x2 } .
Exercı́cio 23. Considere o espaço vetorial real P2 (IR) e a aplicação
⟨ · , · ⟩ : P2 (IR) × P2 (IR) −→ IR
definida da seguinte forma:
⟨ p , q ⟩ = 2p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + 4p(1)q(1) .
(a) Mostre que a aplicação ⟨ · , · ⟩ define um produto interno em P2 (IR).
(b) Considerando a base canônica para o espaço vetorial real P2 (IR), isto é,
β = { p1 (x) = 1 , p2 (x) = x , p3 (x) = x2 } ,
determine a matriz do produto interno ⟨ · , · ⟩ com relação à base ordenada β.
(c) Determine uma base para o complemento ortogonal do subespaço U = [1 − x] em P2 (IR)
com relação ao produto interno ⟨ · , · ⟩.
(d) Determine uma base ortogonal para P2 (IR) com relação ao produto interno ⟨ · , · ⟩.
Exercı́cio 24. Considere o espaço vetorial real IR3 munido com o seguinte produto interno
⟨ u , v ⟩ = 2x1 x2 + 3y1 y2 + 4z1 z2 ,
onde u = (x1 , y1 , z1 ) e v = (x2 , y2 , z2 ). Dados os elementos
w1 = (1, 0, 1)
e
w2 = (1, 1, 1) ,
determine dois elementos v1 , v2 ∈ IR3 de modo que
w2 = v1 + v2 ,
com { v1 , w1 } um conjunto linearmente dependente e { v2 , w1 } um conjunto ortogonal com
relação ao produto interno definido acima.
Exercı́cio 25. Seja W o subespaço de IR4 dado por:
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x + y = 0 e 2x − y + z = 0 } .
Determine uma base ortogonal para cada um dos subespaços W e W ⊥ , com relação ao produto
interno usual de IR4 .
Exercı́cio 26. Dada a matriz A ∈ IM3×4 (IR)


0
1 0 1
A =  1 −1 1 0  .
−1
1 2 1
Determine uma base para os subespaços R(At ) e N (A).
Exercı́cio 27. Dada a matriz A ∈ IM4×3 (IR)

1
 1
A = 
 0
3
1
0
1
2

3
2 
.
1 
8
Determine uma base para os subespaços R(A) e N (At ).
Exercı́cio 28. Sejam A ∈ IMm×n (IR) e o espaço vetorial IRm com o produto interno usual
⟨ · , · ⟩. Mostre o subespaço R(A) e o subespaço N (At ) são subespaços ortogonais em IRm .
Exercı́cio 29. Sejam A ∈ IMm×n (IR) e o espaço vetorial IRn com o produto interno usual
⟨ · , · ⟩. Mostre o subespaço R(At ) e o subespaço N (A) são subespaços ortogonais em IRm .
Exercı́cio 30. Sejam A ∈ IMm×n (IR) e o espaço vetorial real IRm munido do produto
interno usual ⟨ · , · ⟩. Mostre N (At ) = R(A)⊥ .
Exercı́cio 31. Sejam A ∈ IMm×n (IR) e o espaço vetorial real IRn munido do produto
interno usual ⟨ · , · ⟩. Mostre N (A) = R(At )⊥ .
Exercı́cio 32. Sejam A ∈ IMm×n (IR) , x ∈ IRn e b, y ∈ IRm . Mostre que se
Ax = b
At y = 0IRn ,
e
então ⟨ b , y ⟩ = 0. Faça uma interpretação geométrica.
Exercı́cio 33. Sejam A ∈ IMm×n (IR) , y ∈ IRm e x, b ∈ IRn . Mostre que se
Ax = 0IRm
e
At y = b ,
então ⟨ b , x ⟩ = 0. Faça uma interpretação geométrica.
Exercı́cio 34. Sejam A ∈ IMm×n (IR) e b ∈ IRm . Mostre que apenas um dos sistemas
lineares abaixo possui solução
Ax
= b
At y = 0IRn
com ⟨ b , y ⟩ ̸= 0
Faça uma interpretação geométrica.
Exercı́cio 35. Seja A ∈ IMm×n (IR) tal que o sistema linear homogêneo Ax = 0IRm possui
solução não trivial. Mostre que o sistema linear
At y = b
não possui solução para alguns elementos b ∈ IRn . Dê um exemplo considerando uma matriz
A ∈ IM4×3 (IR) e um elemento b ∈ IR3 .
Exercı́cio 36. Seja A ∈ IMm×n (IR), com m > n. Considere que a única solução do sistema
linear homogêneo Ax = 0IRm é a solução trivial x = 0IRn . Mostre que o sistema linear
At y = b
possui solução para todo b ∈ IRn .
Exercı́cio 37. Considere que a matriz A dada por:


4 1 0
A = 1 9 1
0 1 1
é a matriz de um produto interno ⟨ · , · ⟩ no espaço vetorial real IR3 com relação à base ordenada
Γ = { w1 = (−1, 1, 1) , w2 = (0, 1, −1) , w3 = (2, 1, 1) }
(a) determine uma base para o complemento ortogonal do subespaço S = [v = (5, 6, 2)] em
IR3 com relação ao produto interno definido pela matriz A.
(b) Determine a matriz do produto interno usual de IR3 com relação à base ordenada Γ.