Lista 4

MAT-27 — Lista-04 — Agosto/2011
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1. Sejam u = (x1 , x2 ) e v = (y1 , y2 ) vetores genéricos do R2 . Para que valores de t ∈ R a função
< u, v >= x1 y1 + tx2 y2 é um produto interno sobre o R2 ?
2. Mostrar que se < u, v >= 0, para todo vetor v, então u = o.
3. No espaço V = P3 (R) consideremos o produto interno < f (t), g(t) >=
R1
0
f (t)g(t)dt.
Calcular < f (t), g(t) >, ||f (t)||, ||g(t)|| e ||f (t) + g(t)|| quando f (t) = t3 − 1 − 1 e g(t) = t2 + 1.
Repita o exercı́cio com f (t) = 2 e g(t) = t3 + t + 1
4. Sejam f (t) = a0 + a1 t + ... + an tn e g(t) = b0 + b1 t + ... + bn tn polinômios quaisquer de Pn (R). A
função (f (t), g(t)) → a0 b0 + a1 b1 + ... + an bn ∈ R é um produto interno no espaço Pn (R)?
5. Seja V um espaço vetorial euclideano. Dada uma base {e1 , ..., en } de V definamos A = (aij ) ∈ Mn (R)
por aij =< ei , ej > (i, j = 1, ..., n).
(a) Provar que A é uma matriz simétrica.
P
P
(b) Mostar que se u = ni=1 xi ei e v = ni=1 yi ei , então o produto escalar em V pode ser expresso
na forma matricial seguinte: < u, v >= (x1 x2 ... xn )A(y1 y2 ... yn )t .
6. Seja V um espaço euclideano com produto interno < u, v >. Para que valores de α ∈ R a aplicação :
(u, v) → α < u, v >
também é um produto inerno sbre V ?
7. Chama-se traço de uma matriz A = (aij ) quadrada de ordem n a soma dos termos da sua diagonal
principal (tr(A) = a11 + a22 + ... + ann ). Sendo V = Mm×n (R), mostre que < A, B >= tr(AB t ) define
um produto interno sobre V .
8. Sejam u e v dois vetores não nulos de um sepaço vetorial euclideano. Sendo θ o ângulo de u e v,
mostrar que ||u + v|| = ||u||2 + ||v||2 + 2||u||||v|| cos θ. (Esta igualdade é conhecida como lei dos
cossenos na geometria elementar.)
9. Seja u = (x1 , y1 ) e v = (x2 , y2 ) vetores genéricos do R2 e
M=
a11 a12
a21 a22
∈ M2 (R)
Definamos < u, v >= a11 x1 y1 + a12 x1 y2 + a21 x1 y1 + a22 x2 y2 .
(a) Mostar que o produto assim definido satisfaz as duas primeiras condições da definição de produto
interno: < u + v, w >=< u, w > + < v, w > e < αu, v >= α < u, v >.
(b) Mostar que a condição < u, v >=< v, u >, ∀u, v ∈ R2 é válida se, e seomente se, M é uma
matriz simétrica.
(c) Qual matriz M que leva ao produto interno usual do R2 ?
(d) Quais das seguintes matrizes define produtos internos do R2 segundo a definição de < u, v >
que foi dada acima:
2 1
1 1
−1 0
1 1
,
,
.
1 0
1 1
1
10. Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz no espaço euclideano R3 (produto interno usual) para mostar
que, dados os números reais estritamente positivos a1 , a2 ea3 , vale a desigualdade:
(a1 + a2 + a3 )
1
1
1
+
+
a1 a2 a3
≥9
11. Sendo a, b e c números reiais estritamente positivos tais que a + b + c = 1, utilize a desigualdade de
Cauchy-Schwarz no R3 para provar que:
1
1
1
−1
−1
−1 ≥8
a
b
c
12. Encontrar a distância de u a v e o cosseno do ângulo entre u e v nos seguintes casos:
(a) u = (1, 1, 1, 1) e v = (0, 0, 1, 1) com o produto interno usual do R4 ;
R1
(b) u = 1 + t − t2 e v = 3t2 com o produto interno < f (t), g(t) >= 0 f (t)g(t)dt;
1 1
0 1
(c) A =
e
com o produto interno < A, B >= tr(AB t )
0 0
1 0
13. Sejam u e v vetores de um espaço vetorial euclideano. Prove que < u, v >= 0, se, e somente se,
||u + αv|| ≥ ||u||, ∀α ∈ R.
14. Considere no R2 o produto interno dado por < u, v >= x1 y1 + 2x2 y2 − x1 y2 − x2 y1 para todos os
vetores u = (x1 , y1 ) e v = (x2 , y2 ) de R2 .
(a) Determinar m a fim de que os vetores (1 + m, 2) e (3, m − 1) sejam ortogonais.
(b) Determinar todos os vetores do R2 ortogonais a (2, 1).
(c) Determinar todos os vetores (m, m − 1) de norma igual a 1.
15. Determinar todos os vetores do R2 de normas iguais a 2 que sejam ortogonais simultaneamente a
(2, 1, 2) e (−1, 3, 4).
16. Determinar uma base ortonormal de cada um dos seguintes sub-espaços do R4 utilizando o porcesso
de Grahm-Schmidt:
(a) W = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 3, 4)]
(b) W = [(2, 0, 0, 0), (1, 3, 3, 0), (3, −3, −3, 0)]
17. Determinar uma base ortonormal do sub-espaço W de R3 dado por W = {(x, y, z) ∈ R3 | x − y = 0}.
18. Seja {g1 , ..., gP
de um espaço euclideano V cujos vetores são ortogonais dois a dois.
n } um subconjunto
Pn
n
2
Prove que || i=1 gi || = i=1 ||gi ||2 (teorema de Pitágoras generalizado).
R1
19. Em P2 (R) com produto interno definido por: < f (t), g(t) >= 0 f (t)g(t)dt
(a) Ortonomalize a base {1, 1 + t, 2t2 };
(b) Achar o complemento ortogonal do sub-espaço W = [5, 1 + t].
20. Determinar um vetor unitário fo R3 que seja ortogonal a todos os vetores do sub-espaço W =
[(1, 2, −1), (−1, 0, 2)].
21. Determinar a projeção ortogonal do vetor (1, 1, 0, 1) ∈ R4 sobre o sub-espaço W = {(x, y, z, t) ∈
R4 | x − y − z = 0 e z − 2t = 0}.
2
22. Sejam u e v vetores linearmente independentes do R3 . Mostrar que existem dois, e apenas dois,
vetores de norma igual a 1 que são ortogonais simultaneamente a u e v.
23. Seja f : R → R∗+ uma função contı́nua e periódica. Mostre que, para todo α real, vale a desigualdade:
Z
0
T
f (x)
dx ≥ T,
f (x + α)
onde T é o peróodo da função.
3
Respostas
1. t > 9.
2.
3. < f, g >=
− 53 ;
||f (t)|| =
q
331
;
210
||g(t)|| =
q
28
;
15
||f (t) + g(t)|| =
q
23
210
4. Sim.
5.
6. α > 0
7.
8.
9. (a)
(b)
1 0
0 1
2 1
1 1
(c)
(d)
10.
11.
√
12. (a) d(u, v) = 2; cos(u, v) =
(b)
√
(c) d(u, v) = 2; cos(u, v) =
(d)
√
2
2
1
2
13.
14. (a) m = 1 ou m = 6.
(b) (0, x), x ∈ R.
(c) (1, 0)
15.
16. (a)
17.
(b)
n
n
o
2
2
1
; − √118 , √118 , √418 , 0 ; √153
, − √153
, √153
, √12
,
153
√1 , √1 , 0, 0
2
2
√1 , √1 , 0
2
2
; (0, 0, 1)
o
18.
√
√ √
19. (a) {1, 2 3t − 3, 5(6t2 − 6t + 1)}
(b) − 6b t2 + bt − b; b ∈ R .
20.
21.
6 9
, , − 27 , − 17
7 7
22.
23.
4