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Lista 2 de CF368 - Eletromagnetismo I
Fabio Iareke <[email protected]>
12 de setembro de 2013
Exercı́cios propostos pelo prof. Ricardo Luiz Viana <[email protected]>, retirados de [1].
Capı́tulo 3
3-1 Duas cascas condutoras esféricas de raios ra e rb estão dispostas concentricamente e carregadas
de tal forma que possuem potenciais ϕa e ϕb , respectivamente. Se rb > ra , determine o
potencial nos pontos entre as cascas e nos pontos r > rb .
3-2 Duas cascas cilı́ndricas longas de raios ra e rb estão dispostas coaxialmente e estão carregadas
de tal forma que possuem potenciais ϕa e ϕb , respectivamente. Determine o potencial nos
pontos entre as cascas cilı́ndricas.
3-4 Suponha que ϕ satisfaça a equação de Laplace em toda a região V0 . Prove que o valor de ϕ
em qualquer ponto O é a média de seus valores numa superfı́cie de qualquer esfera centrada
em O que se situa inteiramente em V0 :
I
1
ϕ da
ϕ(O) =
4πR2
onde R é o raio da esfera. [Sugestão: Seja ψ = 1/r na Eq. (1-57).] Demonstre que ϕ,
conseqüentemente, não tem nenhum máximo ou mı́nimo no interior de V0 .
Z
Eq. (1-57):
ψ∇2 ϕ − ϕ∇2 ψ dv =
V
I
(ψ∇ϕ − ϕ∇ψ) · n̂ da
S
3-5 Expanda a função
F (u) = (1 − 2xu + u2 )−1/2
em série de Taylor até o termo em u3 . Observe que os coeficientes são os quatro primeiros
polinômios de Legendre Pn (x). Na realidade, F (u) é uma função geradora para todos os
polinômios de Legendre:
∞
X
F (u) =
Pn (x)un
n=0
3-6 Demonstre que metade dos harmônicos zonais são gerados através da derivação sucessiva de
r−1 em relação à coordenada retangular z(z = r cos θ).
3-7 Obtenha ∇2 ϕ em coordenadas cilı́ndricas:
1 ∂
∂ϕ
1 ∂2ϕ ∂2ϕ
∇2 ϕ ≡
ρ
+ 2 2 +
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂θ
∂z 2
a partir da forma retangular:
∇2 ϕ ≡
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
por substituição direta: x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ).
1
3-9 Suponha que um dipolo puntual esteja localizado no centro de uma casca esférica condutora
conectada à terra. Determine o potencial no interior da casca. (Sugestão: Use harmônicos
zonais que sejam regulares na origem para satisfazer as condições de contorno na casca.)
3-10 Demonstre que, para uma esfera condutora não carregada, situada num campo elétrico inicialmente uniforme, o potencial devido à esfera é o de um dipolo puntual e determine o momento
de dipolo induzido.
3-11 Uma esfera condutora de raio a, possuindo uma carga total Q, está situada num campo elétrico
inicialmente uniforme, E0 . Determine o potencial em todos os pontos exteriores à esfera.
3-17 Uma carga puntual q se localiza a uma distância d de um plano condutor de extensão infinita,
conectado à terra. Obtenha a carga total induzida no plano por integração direta da densidade
superficial de carga.
3-19 Determine a força entre uma carga puntual q e uma esfera condutora não carregada de raio
a. A carga puntual se localiza a uma distância r do centro da esfera, onde r > a. Encontre
uma expressão aproximada válida para r a.
3-20 Uma carga puntual q está localizada a uma distância r do centro de uma casca esférica condutora, no interior desta. O raio interno da casca é a. Demonstre que se pode solucionar
este problema por meio da técnica das imagens e determine a densidade de carga a induzida
na superfı́cie interna da camada. (O potencial da casca esférica não pode ser especificado
completamente em termos de q e sua imagem porque cargas exteriores fixas podem também
contribuir. Todavia, estas cargas exteriores adicionarão apenas um termo constante ao potencial.) Determine a carga total induzida na superfı́cie interna da camada (a) mediante
argumentos fı́sicos e (b) mediante a integração de o sobre a superfı́cie.
3-21 Um longo cilindro condutor, que possui uma carga λ por unidade de comprimento, está orientado paralelamente a um plano condutor de extensão infinita, conectado à terra. O eixo do
cilindro está a uma distância x0 do plano e o raio do cilindro é a. Localize a imagem linear e
determine também a constante M (que determina o potencial do cilindro) em função de a e
x0 .
Referências
[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford, Robert W. Christy Fundamentos da Teoria Eletromagnética 3a edição, Editora Campus Ltda. Rio de Janeiro
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