Curso: Matemática Prof. Cristiano da Silva dos Anjos

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - Curso: Matemática
Prof. Cristiano da Silva dos Anjos ([email protected]) - Data: 25/10/2016
LISTA 3 - DERIVADAS PARCIAIS E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
(Apostila - STEWART, vol 2, 7ª Edição, pág. 812- 817)
Entregar no dia 02/11 somente os exercícios: 4, 7 (a, b, c, d, e, f) , 8(a) , 9 (a) , 10 (a), 11 e 12.
1. Esboce e identifique no plano a curva parametrizada γ(t) = (𝑡 2 − 2𝑡, 𝑡 + 1). Pág. 576 (apostila).
Lembre-se: adotamos as curvas parametrizadas para verificar a não existência do limite por meio de
caminhos diferentes (Lista 02).
2. Sejam 𝑣 = (2,0,0) e 𝑃0 = (−2,0,2) um vetor e um ponto quaisquer do espaço, respectivamente.
Determine a reta r que possui a direção de 𝑣 e contém o ponto 𝑃0 . (ver resolução em 736 Stewart, vol
2, Ed. 7: Equação da reta).
3. Determine as equações paramétricas (e a equação vetorial) da reta que passa pelos pontos
𝐴(2,4, −3), 𝐵(3, −1, 1). (ver resolução em 736 Stewart, vol 2, Ed. 7: Equação da reta).
4. Para melhor compreensão do exercício 4, revise o exemplo 2 da apostila (pág. 814) e os estudos em aula do dia
21/10 (interpretação geométrica das derivadas parciais):
Dada 𝑓(𝑥, 𝑦) = 16 − 4𝑥 2 − 𝑦 2 . (a) Esboce o gráfico de 𝑓;
(b) Determine 𝑓𝑥 (1,2) e 𝑓𝑦 (1,2) e interprete esses números como a inclinação
das respectivas retas tangente ao ponto (1, 2, 𝑓(1,2));
(c) Determine as equações paramétricas (e equação vetorial) dessas retas (com
inclinações 𝑓𝑥 (1,2) e 𝑓𝑦 (1,2)) que tangenciam o ponto (1, 2, 𝑓(1,2)).
(d) Represente geometricamente a reta no gráfico de f e destaque qual é a curva
C (e sua respectiva equação) que está abaixo dela (conforme mostra figura).
5. Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥 2 − 4𝑦 2 . Esboce o gráfico de f, determine 𝑓𝑥 (1,0) e 𝑓𝑦 (1,0) e interprete esses
números como inclinações da mesma forma do item anterior.
6. O elipsoide 4𝑥 2 + 2𝑦 2 + 𝑧 2 = 16 intercepta o plano 𝑦 = 2 em uma elipse. Determine as equações
paramétricas da reta tangente a essa elipse no ponto (1, 2, 2).
7. Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
e)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 5 − 3𝑥𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 (−𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝜋 𝑥)
𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 3𝑦)10
𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 ln 𝑡
𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥+𝑦)2
g)
h)
i)
j)
𝑤 = ln(𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧)
𝑧
ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑥 2 𝑦 cos (𝑡 )
𝑧 = 𝑡𝑔 (𝑥𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥 + √𝑥 2 + 𝑦 2 ) ;
𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦); 𝑓𝑥 (3, 2);
z
z
(1,2); (1,2).
x
y
8. Use a definição de derivadas parciais como limites para encontrar 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) e 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦).
𝑥 2 +𝑦 2
f) 𝑧 = ∫𝑥
𝑒 𝑡 𝑑𝑡 ; 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒
𝑥
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 2 − 𝑥 3 𝑦
9. Use a derivada implícita para encontrar
a) 𝑥 2 + 2𝑦 2 + 3𝑧 2 = 1
b) 𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2𝑧 = 4
z
z
e
:
 x y
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥+𝑦 2
c) 𝑒 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧
10. Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem:
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 5 + 2𝑥 4 𝑦
𝑏) 𝑤 = √𝑢2 + 𝑣 2
2
11. A temperatura em qualquer ponto de uma placa plana é T grau e 𝑇(𝑥, 𝑦) = 54 − 3 𝑥 2 − 4𝑦 2 . Se a
distância for medida em centímetros, ache a taxa de variação da temperatura em relação à distância
movida ao longo da placa nas direções dos eixos positivos x e y respectivamente no ponto (3,1).
12. Na figura abaixo encontram-se os gráficos de três funções de duas variáveis, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 3 ,
𝑓𝑥 𝑒 𝑓𝑦 . No item (a) está o gráfico de 𝑓, indique qual é o gráfico de 𝑓𝑥 𝑒 𝑓𝑦 . Justifique sua escolha!
13. O volume V de um cilindro circular reto é dado pela fórmula 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ onde r é o raio e h é a altura.
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a r se r varia e h
permanece constante.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a h se h varia e r
permanece constante.
(c) Suponha que h tem um valor constante de 4 pol, mas r varia. Determine a taxa de variação de V
em relação a r no ponto onde r= 6 pol.
(d) Suponha que r tem um valor constante de 8 pol, mas h varia. Determine a taxa de variação de V
em relação a h no ponto onde h= 10 pol.
14.Desafio: Quando um poluente tal como o óxido nítrico é emitido por uma chaminé de h metros de
altura, a concentração C(𝑥, 𝑦) (em /m3 ) do poluente em um ponto a x quilômetros da chaminé e
a altura de y metros (ver figura) pode ser representada por:
C(𝑥, 𝑦) =
𝑎
𝑥
(𝑒
2
−𝑏(𝑦−ℎ)2
𝑥2
+ 𝑒
−𝑏(𝑦+ℎ)2
𝑥2
)
em que a e b são constantes positivas que dependem das condições
atmosféricas e da taxa de emissão do poluente. Supondo a = 200,
C C
b = 0,02 e h = 10 metros, calcule e interprete
e
no ponto
y
x
(2, 5).