Exercícios de Mecânica Quântica I

Exercícios de Mecânica Quântica I
Ano lectivo 2008/2009, semestre ímpar
Docente: Prof. Alfred Stadler
Série de exercícios No. 10, a preparar para 9/12/2008
28. Considere o espaço vectorial tri-dimensional gerado pela base ortonormada
Os kets
|αi
e
|βi
|αi = i|1i − 2|2i − i|3i ,
(a) Determine
(b) Calcule
|1i, |2i, |3i.
são
hα|
hα|βi
e
e
hβ|
|βi = i|1i + 2|3i .
h1|, h2|, h3|).
(em termos da base dual
hβ|αi,
hβ|αi = hα|βi∗ .
e conrme que
(c) Determine, na mesma base, os nove elementos de matriz do operador
e construa a matriz
A.
A
A matriz
 ≡ |αihβ|,
é hermítica?
29. Utilize a equação
d
i
hQi = h[H, Q]i +
dt
h̄
∂Q
∂t
para mostrar que
dV
d
hxpi = 2 hT i − x
,
dt
dx
onde
T
é a energia cinética (H
= T + V ).
Num estado estacionário o lado esquerdo da
equação é zero. Porquê? Com isso
2 hT i =
dV
x
dx
.
Esta relação é chamada o teorema do virial. Utilize-o para provar que
hT i = hV i para
estados estacionários do oscilador harmónico.
30. Considere uma partícula com massa
V (x, y, z) =
0,
∞,
m
num poço innito
para
x, y , z
cúbico
(numa caixa):
todos entre 0 e
a
para os outros casos
Resolve a equação de Schrödinger através da separação em coordenadas
cartesianas.
(a) Determine os estados estacionários e as energias correspondentes.
(b) Chame
E1 , E2 , E3 , . . . às energias distintas, em ordem crescente.
E1 , . . ., E6 e as suas degenerescências respectivas (i.e., o
as energias
Determine
número de
estados diferentes com a mesma energia).
(c) Qual é a degenerescência de
E14 ,
e por que é este um caso interessante?