Funções de Várias Variáveis

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3° Período
Funções de Várias Variáveis
Função de duas variáveis: Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par
ordenado de números reais (x, y) de um conjunto D um único valor real denotado por f(x, y). O
conjunto D é o domínio de f, e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de f, ou seja,
f ( x, y) /( x, y)  D.
Freqüentemente escrevemos z  f ( x, y ) para tornar explícitos os valores tomados por f num
ponto genérico.
As variáveis x e y são variáveis independentes, e z a variável dependente;
Uma função de duas variáveis é uma função cujo domínio é um subconjunto de  2 e cuja
imagem é um subconjunto de  .
Uma maneira de visualizar tal função é pelo diagrama de flechas, onde o domínio D é
representado como um subconjunto do plano x y.
Se a função f é dada por sua fórmula e seu domínio não é especificado, fica entendido como
domínio de f o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a expressão dada fornece um
número real bem definido.
Exemplos:
1) Determine os domínios das seguintes funções e calcule f(3,2).
x  y 1
a) f ( x, y ) 
x 1
b) f ( x, y)  x ln( y 2  x)
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2) Determine o domínio e a imagem de g ( x, y )  9  x 2  y 2 .
Gráficos: Se f é uma função de duas variáveis com
domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os
pontos (x, y, z) em  3 tal que z  f ( x, y ) e (x, y)
pertençam a D..
Exemplos:
1) Esboce o gráfico da função f ( x, y)  6  3x  2 y .
2) Desenhe o gráfico de g ( x, y )  9  x 2  y 2 .
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3) Determine o domínio e a imagem de h( x, y)  4 x 2  y 2 .
A figura abaixo mostra uma série de gráficos de diversas funções, gerados por computador.
f ( x, y)  ( x 2  3 y 2 )e x
2
 y2
f ( x, y )  sen x  sen y
f ( x, y ) 
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sen x sen y
xy
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Funções com três variáveis:
Uma função com três variáveis, f, é uma regra que associa a cada tripla ordenada (x, y, z) em um
domínio D  3 um único número real denotado por f ( x, y, z ) .
É muito difícil visualizar uma função de três variáveis por seu gráfico, uma vez que teríamos de
estar em um espaço de quatro dimensões. Entretanto ganhamos algum conhecimento de f
desenhando suas curvas de nível, que são as superfícies com equação f ( x, y, z )  k onde k é uma
constante. Se um ponto (x, y, z) se move ao longo de uma superfície de nível, o valor de
f ( x, y, z ) permanece fixo.
Exemplo: Determine o domínio de f ( x, y, z )  ln( z  y )  xy sen z .
Curvas de nível: As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as curvas com
equação f ( x, y )  k , onde k é uma constante (no domínio de f).
Uma curva de nível f ( x, y )  k é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais o
valor de f é k. Em outras palavras, mostra onde o gráfico f tem altura k.
Na figura abaixo você pode ver a relação entre curvas de nível e os traços horizontais. As curvas
de nível f ( x, y )  k são apenas traços do gráfico de f no plano horizontal z  k projetado sobre
o plano x y. Se você traçar as curvas de nível da função e visualizá-las elevadas para a superfície
na altura indicada, poderá imaginar o gráfico da função colocando as duas informações juntas. A
superfície será mais inclinada onde as curvas de nível estiverem mais próximas uma das outras.
Ela é mais ou menos plana onde as curvas de nível estão distantes uma das outras.
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Exemplos:
1) Esboce o gráfico das curvas de nível da função f ( x, y)  6  3x  2 y para os valores
k  6,0,6,12.
2) Esboce o gráfico das curvas de nível da função
g ( x, y )  9  x 2  y 2 .
3) Esboce
algumas
h( x, y)  4 x 2  y 2 .
curvas
de
nível
da
função
A figura abaixo mostra algumas curvas de nível geradas por computador juntamente com os
gráficos correspondentes.
f ( x, y)   xye x
2
 y2
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f ( x, y ) 
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 3y
x  y2  1
2
As curvas de nível são utilizadas para a elaboração de MAPAS TOPOGRÁFICOS e
MAPAS DE CONTORNO. Por exemplo, suponhamos que f ( x, y ) represente a elevação (em
metros) em um ponto x, y  de latitude x e longitude y. Na colina da figura esboçamos (em três
dimensões) correspondentes às elevações de 0, 100, 200, 300 e 400 metros. Podemos encarar
essas curvas como tendo sido obtidas cortando-se a colina em fatias paralelas à base. Uma pessoa
caminhando ao longo de uma dessas curvas permaneceria sempre na mesma elevação. Já a outra
figura exibe as curvas de nível (bidimensionais) correspondentes às mesmas elevações. Elas
representam a visão que teríamos olhando para a colina de um avião acima dela.
Mapa análogo é utilizado para indicar a profundidade
da água em um lago. Um exemplo é o da figura abaixo, em que
f ( x, y ) é a profundidade da água no ponto x, y  . Esse mapa
informa as partes do lago que devem ser evitadas por
esquiadores aquáticos.
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Como outra ilustração das curvas de nível, a
figura a seguir exibe um mapa meteorológico dos
Estados Unidos, em que f ( x, y ) denota a temperatura
elevada em x, y  durante certo dia. Ao longo das
curvas e do nível, chamadas curvas isotérmicas, a
temperatura é constante. Em outro mapa
meteorológico f ( x, y ) representaria a pressão
barométrica em x, y  ; as curvas de nível neste caso
seriam chamadas isobáricas.
Se f é uma função de três variáveis x, y e z, então, por
definição, as superfícies de nível de f são os gráficos de
f ( x, y, z )  k para valores convenientes de k. Fazendo
k  w0 , w1 , w2 , os gráficos resultantes serão superfícies
S 0 , S1 , S 2 , ilustradas na figura. A função f ( x, y, z ) não se
altera quando um ponto ( x, y, z ) se move ao longo de uma
dessas superfícies. Se f ( x, y, z ) é a temperatura em ( x, y, z ) ,
as superfícies de nível são superfícies isotérmicas, e a
temperatura é constante em cada superfície. Se f ( x, y, z )
representa o potencial elétrico, as superfícies de nível são
superfícies equipotenciais, e a voltagem não se altera se
( x, y, z ) permanece em uma dessas superfícies.
Exemplo: Determine as curvas de
superfície da função
f ( x, y, z )  x 2  y 2  z 2 .
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Derivadas Parciais
Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções f x e f y
definidas por
f ( x  h, y )  f ( x, y )
h 0
h
f ( x, y  h )  f ( x , y ) .
f y ( x, y )  lim
h 0
h
f x ( x, y )  lim
Notações para Derivadas Parciais: Se z  f ( x, y ) , escrevemos:
f

z

f ( x, y ) 
 f1  D1 f  Dx f
x x
x
.
f

z
f y ( x, y )  f y 

f ( x, y ) 
 f 2  D2 f  Dy f
y y
y
f x ( x, y )  f x 
Regra para determinar a derivada parcial de z  f ( x, y ) :
1) Para achar f x , olhe y como uma constante e diferencie f ( x, y ) com relação a x.
2) Para achar f y , olhe x como uma constante e diferencie f ( x, y ) com relação a y.
Exemplo: Se f ( x, y)  x3  x 2 y 3  2 y 2 , determine f x (2,1) e f y (2,1) .
Para dar uma interpretação geométrica para as derivadas parciais, lembremos que a
equação z  f ( x, y ) representa a superfície S (o gráfico de f). Se f (a, b)  c , então o ponto
P(a, b, c) pertence a S. Fixando y  b , restringimos a nossa atenção à curva C1 na qual o plano
vertical y  b intercepta S. Da mesma forma, o plano vertical x  a intercepta S na curva C2 . As
curvas C1 e C2 passam pelo ponto P.
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As derivadas parciais f x (a, b) e f y (a, b) podem ser interpretadas geometricamente como
as inclinações das retas tangentes em P(a, b, c) aos traços C1 e C2 de S nos planos y  b e x  a .
z
Se z  f ( x, y ) , então
representa a taxa de variação de z com relação a x quando y é
x
z
mantido fixo. Da mesma forma,
representa a taxa de variação de z em relação a y quando
y
x é mantido fixo.
Exemplos:
1) Se f ( x, y)  4  x 2  2 y 2 , ache f x (1,1) e f y (1,1) e interprete esses números como
inclinações.
 x 
f
f
 , calcule
2) Se f ( x, y)  sen 
e
.
x
y
1  y 
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3) Determine
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z
z
e
se z é definido implicitamente como uma função de x e y pela
x y
equação x3  y 3  z 3  6 xyz  1 .
Função de mais do que duas variáveis:
Derivadas parciais podem ser definidas para funções de três ou mais variáveis.
f ( x  h, y, z )  f ( x, y, z )
h 0
h
f ( x, y  h, z )  f ( x, y, z )
f y ( x, y, z )  lim
.
h 0
h
f ( x, y , z  h )  f ( x, y , z )
f z ( x, y, z )  lim
h 0
h
f x ( x, y, z )  lim
Se u é uma função de n variáveis, u  ( x1 , x2 ,.., xn ) , sua derivada parcial em relação a sua
u
f x1 ,..., xi 1 , xi  h, xi 1 ,..., xn   f ( x1 ,..., xi ,..., xn )
 lim
i-ésima variável é:
e podemos escrever
h

0
xi
h
u f

 f xi  f i  Di f .
xi xi
Exemplo: Determine f x , f y , f z se f ( x, y, z )  e xy ln z .
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Derivadas de maior ordem: Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais f x e
f y são funções de duas variáveis, de modo que podemos considerar novamente suas derivadas
parciais
 f x x ,  f x y ,  f y x ,  f y y ,
chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f. Se
z  f ( x, y ) temos as seguintes notações:
  f   2 f  2 z

 
x  x  x 2 x 2
  f   2 f
2 z
 f xy  f12    

y  x  yx yx
 f x x 
 f x y
f 
y x
f 
f xx  f11 
 f yx  f 21 
y y
  f   2 f
2 z
  

x  y  xy xy
  f   2 f  2 z
 f yy  f 22     2  2
y  y  y
y
2 f
) significa que primeiro derivamos com relação a x e depois em
yx
relação a y, ao passo que no cálculo de f yx ordem é invertida.
Portanto a notação f xy (ou
Exemplo: Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f x, y   x3  x 2 y 3  2 y 2 .
As derivadas parciais mistas f xy , f yx são iguais para a maioria das funções que encontramos na
prática. (Teorema de Clairaut: se as funções f xy , f yx forem ambas contínuas em D, então
f xy  f yx ).
As derivadas parciais de ordem três ou maior também podem ser definidas. Por exemplo,
   2 f  3 f

e usando o Teorema de Clairaut podemos mostrar que
f xyy ( f xy ) y  
y  yx  y 2x
f xyy  f yxy  f yyx se essas funções forem contínuas.
Exemplo: Calcule f xxyz se f ( x, y, z )  sen( 3x  yz ) .
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Equações Diferenciais Parciais:
Derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem algumas leis físicas.
 2u  2u
Por exemplo, a equação diferencial parcial

 0 é chamada equação de Laplace em
x 2 y 2
homenagem a Pierre Laplace. Soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são
muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico.
Exemplo: Mostre que a função u ( x, y)  e x sen y é solução da equação de Laplace.
2
 2u
2  u

a
descreve o movimento de uma onda, que pode ser uma onda
t 2
x 2
domar, uma onda de som, uma onda luminosa ou uma onda se movendo numa corda vibrante.
Por exemplo, se u ( x, t ) representa o deslocamento da corda de violino no instante t e a distância
x de um dos términos da corda vibrante, então u ( x, t ) satisfaz a equação da onda. A constante a
depende da densidade da corda e da tensão aplicada na corda.
A equação da onda
Exemplo: Verifique que a função u ( x, t )  sen( x  at ) satisfaz a equação da onda.
Regra da Cadeia
1º caso: Suponha que z  f ( x, y ) seja uma função diferenciável de x e y, onde x  g (t ) e
y  h(t ) são funções diferenciáveis em t. Então z é uma função diferenciável de t e
dz z dx z dy


.
dt x dt y dt
Exemplos:
dz
1) Se z  x 2 y  3xy4 , onde x  sen 2t e y  cos t , determine
quando t = 0.
dt
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2) A pressão P (em quilopascals), o volume V (em litros) e a temperatura T (em Kelvins) de
um mol de um gás ideal estão relacionados por meio da fórmula PV  8,31T . Determine
a taxa de variação da pressão quando a temperatura é de 300 K e está aumentando com
taxa de variação de 0,1K/s e o volume é de 100 l e está aumentando com a taxa de 0,2 l/s.
2° caso: Suponha que z  f ( x, y ) seja uma função diferenciável de x e y, onde x  g ( s, t ) e
y  h( s, t ) são funções diferenciáveis em t. Então z é uma função diferenciável de s e de t. Então.
z z x z y


s x s y s
.
z z x z y


t x t y t
z z
, .
Exemplo: Se z  e x sen y , onde x  st 2 y  s 2t , determine
s t
Versão Geral: Suponha que u seja uma função diferenciável de n variáveis x. 1 , x 2 ,.., x n , onde
xj
cada
é
uma
função
diferenciável
de
m
variáveis
e
t1 , t2 ,..., tm
u u x1 u x2
u xn


 ... 
para cada i = 1, 2,..., m.
ti x1 ti x2 ti
xn ti
Exemplos:
1) Escreva
a
regra
da
cadeia
para
w  f ( x, y, z, t ), x  x(u, v), y  y (u, v), z  z (u, v), t  t (u, v) .
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o
caso
onde
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2) Se u  x 4 y  y 2 z 3 , onde x  rse t , y  rs 2et , z  r 2 s sen t , determine o valor de
u
s
quando r = 2, s = 1, t = 0.
3) Se z=f(x, y) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e x  r 2  s 2 , y  2rs
determine:
z
a)
r
b)
2z
r2
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Diferenciação Implícita
Teorema da Função Implícita:
F
dy
F
  x   x
F
dx
Fy
y
Exemplo: Determine y’ se x3  y 3  6 xy .
Teorema da Função Implícita:
F
F
z
  x e z   y
F
F
x
y
z
z
Exemplo: Determine
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z z
;
se x3  y 3  z 3  6 xyz  1 .
x y
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3° Período
Lista de Exercícios – Funções de Várias Variáveis
1) Determine e faça o esboço do domínio da função.
a ) f ( x, y )  x  y
b) f ( x, y )  ln( 9  x 2  9 y 2 )
3x  5 y
c ) f ( x, y )  2
x  y2  4
d ) f ( x, y )  xy x 2  y
e ) f ( x, y , z )  1  x 2  y 2  z 2
f ) f ( x, y )  ln( 1  x 2  y 2 )
1
g ) f ( x, y ) 
x  y2
h) f ( x, y )  xe
y2
i ) f ( x, y, z )  25  x 2  y 2  z 2
2) Seja f ( x, y)  x  3 xy . Determine:
a ) f (t , t 2 )
b) f ( 2 y 2 ,4 y )
c ) f ( x, x 2 )
3) Determine F ( g ( x), h( x)) se F ( x, y)  xexy , g ( x)  x3 , h( x)  3 y  1 .
4) Sejam g ( x, y )  ye 3 x , x(t )  ln( t 2  1), y (t )  t . Determine g ( x(t ), y (t )) .
5) Determine g (u ( x, y, z ), v( x, y, z ), w( x, y, z )) se
g ( x, y, z )  zsenxy, u ( x, y, z )  x 2 z 3 , vx, y, z    x y z , w( x, y, z ) 
xy
.
z
Lista de Exercícios – Derivadas Parciais
1) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
1. f ( x, y)  3x  2 y 4
2. f ( x, y)  x5  3x3 y 2  3xy4
3. z  xe3 y
4. z  y ln x
x y
5. f ( x, y ) 
x y
6. f ( x, y)  x y
7. w  sen  cos 
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st 2
s2  t 2
t
9. f ( x, t )  esen x
3° Período
8. f ( s, t ) 

10. z  ln x  x 2  y 2

11. f ( x, y, z )  xy2 z 3  3 yz
12. f ( x, y, z )  x 2e y z
13. w  ln( x  2 y  3z )
14. u  xet sen 
x y
15. f ( x, y, z, t ) 
z t
2) Determine as derivadas parciais indicadas.
a) f ( x, y )  x 2  y 2 ; f x (3,4)
x
; f z (3,2,1)
b) f ( x, y, z ) 
yz
3) Use a definição de derivadas parciais como limites para achar f x ( x, y ); f y ( x, y ) .
a) f ( x, y)  x 2  xy  2 y 2
b) f ( x, y)  3x  y
4) Use diferenciação implícita para determinar
a)
b)
c)
d)
z z
, .
x y
xy  yz  xz
xyz  cos( x  y  z )
x 2  y 2  z 2  2 x( y  z )
xy2 z 3  x3 y 2 z  x  y  z
5) Determine as derivadas parciais de segunda ordem:
a) f ( x, y)  x 4  3x 2 y 3
x
b) z 
x y
c) f ( x, y )  ln( 3x  5 y )
d) u  e  s sen t
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3° Período
6) Verifique se as conclusões do Teorema de Clairaut são verdadeiras, isto é, se u xy  u yx .
a) u  x5 y 4  3x 2 y 3  2 x 2
b) u  ln x 2  y 2
7) Determine as derivadas parciais indicadas:
a) f ( x, y )  x 2 y 3  2 x 4 y; f xxx
b) f ( x, y, z )  x 5  x 4 y 4 z 3  yz 2 ; f xyz
c) z  x sen y;
3 z
y 2x
d )u  ln( x  2 y 2  3z 3 );
e) z  ln sen( x  y );
 3u
xyz
3 z
yx 2
8) Verifique se a função u  e 
ut   2u xx .
que
a
k 2t
sen kx é solução da equação de condução do calor
u  1 / x 2  y 2  z 2 é solução da equação de Laplace
9) Verifique se a função
u xx  u yy  u zz  0 .
10) Mostre
2
função
z  xey  ye x
é
uma
solução
da
equação
 z  z
 z
 z
 3 x
y 2
3
2
x
y
xy
x y
11) A resistência total R produzida por três condutores com resistência R1 , R2 R3 conectados em
1 1
1
1
R


paralelo num circuito elétrico é dada pela fórmula 
. Determine
.
R R1 R2 R3
R1
12) A lei dos gases para uma massa m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e
P V T
.
.
 1
volume V é PV=mRT, onde R é a constante do gás. Mostre que
V T P
1
13) A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é K  mv 2 . Mostre que
2
2
K  K
.
K.
m v 2
14) A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal é dada por
T ( x, y)  60 /(1  x 2  y 2 ) , onde T é medido em °C e x, y em metros. Determine a taxa de
variação da temperatura com relação à distância no ponto (2,1) em
a) a direção do eixo x;
b) a direção do eixo y.
3
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