complexos-forma-algebrica

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – PROF. JOÃO LAURO SOUSA
EXERCÍCIOS DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA
01. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações abaixo.
a) ( ) Todo número real é complexo.
b) ( ) Se √−1 = i , então √−121 = 11i.
c) ( ) Se i = √−1 , então 3x 2 + 12 = 0 para x = ±2i.
3
d) ( ) Se i = √−1 , então √−8 = −2𝑖.
e) ( ) O número complexo 𝑧 = 0 − 7𝑖 é um número imaginário puro.
4
f) ( ) √−1 = √−1 . √−1 = i . i = i2 = −1.
g) ( ) Se a − 3i = 10 + bi , então a + b = 13.
h) ( ) O conjugado do número complexo z = 2 + 5i é z̅ = −5 − 5i.
i) ( ) O inverso do número complexo − 1 + i é − 1 − i.
j) ( ) Se z é um número complexo tal que z = z̅ , então podemos afirmar que z é um número real.
02. Determine os valores reais de x para que o número complexo 𝐳 = (𝐱 𝟐 − 𝟗) + (𝐱 − 𝟑)𝐢 seja:
a) um número real.
b) um número imaginário.
c) um número imaginário puro.
03. Encontre os números reais x e y de modo que 𝐱 𝟐 + 𝟒𝐱 + (𝐱 − 𝐲)𝐢 = 𝟗 − 𝐲 𝟐 + 𝟑𝐢.
04. Considere os números complexos: 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟐𝒊 ; 𝒛𝟐 = 𝟕 − 𝟑𝒊 ; 𝒛𝟑 = −𝟓𝒊 𝑒 𝒛𝟒 = 𝟐. Calcule:
a) 3 z1 + 2 z2
f) (z1 )−1
b) 2 z2 − 5 z3 − 4 z1
𝑔)
z2
z1
h)
z1
z3
i)
z4
z2
c) 5 z̅1 − 3 (z2 − z3 ) + z4
d) z3 . z2
e) (z2 )2 − z1 . z3
05. Determine o valor real de k para que o número complexo
𝐳=
𝟐+ 𝐢
𝐤+ 𝐢
seja real.
06. Calcule o valor de cada uma das potências de 𝒊 .
a) i85
b) i76
c) i132
d) i279
e) i2014
f) i−1
g) i−25
07. Determine o menor número natural 𝑛 tal que 𝒊 𝒏+𝟑𝟏 = 𝟏.
08. Calcule o valor das potências:
a) (2i)5
b) (3i)3
c) (1 + i)16
d) (1 − i)20
e) (1 + 2i)−2
f) (2 − 𝑖)3
09. Calcule o valor da expressão:
(𝟑 + 𝟐𝐢)𝟒𝟓 . (𝟐 − 𝐢)𝟐𝟑
(−𝟑 − 𝟐𝐢)𝟒𝟒 . (𝐢 − 𝟐)𝟐𝟒
10. Mostre que 𝟐 + 𝟓𝐢 é uma das raízes quadradas de −𝟐𝟏 + 𝟐𝟎𝐢.
11. Calcule as raízes cúbicas de −𝟖𝐢.
12. Determine as raízes complexas da equação 𝐱 𝟐 − 𝟑𝐢𝐱 − 𝟐 = 𝟎 .
13. Determinar o número complexo 𝐳 tal que ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐳 + (𝟑 + 𝟐𝐢) = 𝟖𝐢 − 𝟐𝐳̅ .
14. Encontre o número complexo 𝐳 = 𝐚 + 𝐛𝐢 tal que 𝟐𝐳 + 𝐳̅ = 𝟐𝐳𝐢 − 𝟕 .
𝐳 + 𝐳̅
𝐢𝟑𝟒𝟐
15. Considere a matriz 𝐀 = (
) onde 𝐳 = 𝐚 + 𝐛𝐢 é um número complexo.
𝐳𝐳̅
Sabendo que
𝐳 − 𝐳̅
𝐝𝐞𝐭 𝐀 = 𝟐𝟕, calcule o valor de 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 .
16. Determine o número complexo z tal que 𝟐𝐳 + 𝐳̅ = 𝐳𝐢 − 𝟑 + 𝟓𝐢.
17. Resolva as equações 𝐳 . 𝐳̅ = 𝟒 e (𝐳̅)𝟐 = 𝐳 𝟐 , sendo z o número complexo 𝐳 = 𝐱 + 𝐲𝐢 𝐞 𝐳̅ = 𝐱 − 𝐲𝐢.