Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti

3. Qual é o trabalho necessário para formamos a configuração de três partı́culas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais partı́culas estão, de inı́cio, infinitamente afastadas?
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
VERSÃO: A
(a)
(b)
~ e = qE
~ ,
F
Formulário
I
1
~ = k0 q r̂
~ ·dA
~ = Qint ,
E
,
onde
k
=
E
0
r2
4πǫ0
ǫ0
S
qq ′
~ =E
~ 0 /K ,
,
E
U = k0
r
Z
~ ·dA
~ ,
~ = nq~v ,
J
J
I=
(c)
~ = −∇V
~ ,
E
V = k0
q
r
C = Q/V
(d)
(e)
5. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de
gás quando uma diferença de potencial (ddp) é aplicada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza,
os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo
e os ı́ons positivos em direção ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogênio, 7,00 × 1018
elétrons e 3,00 ×1018 prótons passam através da seção
reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da
corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de corrente elétrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o módulo da carga do elétron vale 1,60×10−19 C.
2k0 q 2
.
a
4k0 q 2
.
a
5k0 q 2
.
a
6k0 q 2
.
a
3k0 q 2
.
a
V = RI ,
S
Seção 1.
(a)
I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b)
I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c)
I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d)
I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
2. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equilı́brio eletrostático, o potencial
elétrico é sempre nulo. (II) Se o campo elétrico é
nulo em um determinado ponto do espaço, o potencial elétrico também será nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial elétrico é nulo em um determinado ponto do
espaço, o campo elétrico também deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas é(são) verdadeira(s)?
1. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
vácuo, é conectado a uma bateria de força eletromotriz constante. Se a distância entre as placas do capacitor é duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capacitor
(a)
quadruplica.
(b)
duplica.
(c)
não se altera.
(d)
reduz-se a metade.
(e)
reduz-se a um quarto.
(a)
Apenas a I.
(b)
Apenas a II.
(c)
Apenas a III.
(d)
Apenas a I e a II.
(e)
Apenas a I e a III.
(f)
Apenas a II e a III.
(g)
Todas são verdadeiras.
(h)
Nenhuma é verdadeira.
4. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribuı́da é envolvida por uma casca esférica,
concêntrica, condutora, e de carga qc , com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a)
0.
(b)
−
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
1
6. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esférica em seu interior. Nessa cavidade, há
duas partı́culas, de cargas q e −q. Chame de região I
o espaço fora do condutor, de região II o condutor, e
de região III a cavidade. Qual das opções a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
elétrico nas três regiões?
Q
.
4πa2
Q
.
4πa2
Q
−
.
4πb2
Q
.
4πb2
Q + qc
.
4πa2
Q + qc
.
4πb2
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2
~ I = ~0, E
~ II =
~ III
E
6 ~0 e E
~ I 6= ~0, E
~ II 6= ~0 e E
~ III
E
~ I 6= ~0, E
~ II = ~0 e E
~ III
E
~ I = ~0, E
~ II = ~0 e E
~ III
E
6= ~0.
6= ~0.
6= ~0.
= ~0.
~ I 6= ~0, E
~ II = ~0 e E
~ III = ~0.
E
7. Considere um eneágono (polı́gono de nove lados) regular, com partı́culas de carga q em cada um de seus
vértices, exceto um deles, conforme mostrado na figura. Qual é a força elétrica resultante sobre uma
partı́cula, de carga −q, no centro do polı́gono?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
8. Das afirmativas abaixo, assinale a única que é incorreta.
(a)
O campo elétrico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b)
O campo elétrico no interior de um material
dielétrico é sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma região com campo elétrico.
(c)
O campo elétrico entre as placas de um capacitor isolado diminui quando a região entre
suas placas é completamente preenchida por
um material de constante dielétrica K > 1.
(d)
Quando um material dielétrico é inserido entre as placas de um capacitor, surge uma densidade superficial de carga induzida nas superfı́cies do dielétrico que causa a mudança da
capacitância.
(e)
9k0 q 2
x̂ .
a2
9k0 q 2
x̂ .
a2
8k0 q 2
− 2 x̂ .
a
8k0 q 2
x̂ .
a2
k0 q 2
x̂ .
a2
k0 q 2
− 2 x̂ .
a
−
Figura 1: Questão discursiva 1
Quando um material dielétrico é inserido entre
as placas de um capacitor, é possı́vel submeter
esse capacitor a maiores diferenças de potencial, sem que ocorra a ruptura dielétrica.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ é uma constante positiva.
(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) num ponto P situado a uma distância x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto médio. [1,4 ponto]
(b) Obtenha o potencial elétrico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distâncias (|x| ≫ L), o campo elétrico não é exatamente nulo. Qual é o comportamento
do campo elétrico, como função de x, nessa aproximação? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
Figura 2: Questão discursiva 2.
(c) Considere agora uma partı́cula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada à interação dessa partı́cula com o campo elétrico produzido pelos anéis? [0,4 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois anéis circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, têm seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribuı́da.
(a) Determine o potencial elétrico devido aos anéis, em um ponto genérico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x → ∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo elétrico devido aos anéis, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
3
4
~ · ŷ
dEy = dE
k0 dq
= 2 r̂ · ŷ
r
k0 λ dy y −
=
r2
r
y dy
.
= −k0 λ
(x2 + y 2 )3/2
Logo,
Ey = −2k0 λ
Z
L
y dy
y=0 (x2
+ y 2 )3/2
,
(1)
o que sugere a seguinte substituição trivial de variáveis:
u := x2 + y 2
=⇒
du = 2y dy .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
x2 +L2
du/2
u3/2
2 +L2
x
u−1/2 = −k0 λ
.
(−1/2) 2
Ey = −2k0 λ
Z
u=x2
u=x
Figura 3: Gabarito da questão discursiva 1.
Finalmente, pois,
~
E(x,
y = z = 0) = 2k0 λ
Gabarito para Versão A
√
1
1
−
2
2
|x|
x +L
ŷ .
(2)
1. (d)
5. (a)
(b) Para o cálculo do potencial no mesmo ponto, também usaremos o princı́pio de superposição, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, à simetria da distribuição de carga, com respeito ao eixo X, é óbvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo é identicamente zero:
2. (h)
6. (c)
V (x, y = z = 0) = 0 .
3. (e)
7. (f)
4. (b)
8. (b)
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximação do binômio de Newton,
Seção 1.
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
(1 + ε)α ≃ 1 + α u + . . .
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Usaremos o princı́pio de superposição para calcular o campo elétrico resultante devido ao bastão “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a única componente que restará é a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
1
(ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L → 0. Obtemos, então,
1
1
~
√
−
lim E = lim 2k0 λ
ŷ
|x|≫L
|x|≫L
x2 + L2 |x|
#
"
1
1
p
ŷ
−
= 2k0 λ
2
|x|
|x| 1 + (L/x)
o
−1/2
2k0 λ n
=
1 + (L/x)2
− 1 ŷ
|x|
1 L2
2k0 λ
1−
+
.
.
.
−
1
=
ŷ .
|x|
2 x2
2
Finalmente, então,
k0 ~p
k0 λL2
~
ŷ = − 3 .
lim E(x,
y = z = 0) = −
3
x
x
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
VERSÃO: B
|x|≫L
Tal expressão é justamente aquela do campo elétrico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano médio,
a uma distância |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo elétrico dado justamente por
~p = QLŷ ,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensão do dipolo, ou seja, a distância entre os pontos
médios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
2. Resolução:
~ e = qE
~ ,
F
(a) Usaremos o princı́pio de superposição para potenciais, ou seja,
V (x, y = z = 0) = V− (x, y = z = 0) + V+ (x, y = z = 0) .
U = k0
Aqui V− é o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
k0 Q
V− (x, y = z = 0) =
r−
k0 Q
,
=p
L2 + (x + L)2
I=
Seção 1.
Logo, o potencial resultante é
Z
S
e V+ é o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
k0 Q
V+ (x, y = z = 0) =
r+
k0 Q
.
=p
2
L + (x − L)2
V (x, y = z = 0) = k0 Q
Formulário
I
1
~ = k0 q r̂
~ ·dA
~ = Qint ,
E
,
onde
k
=
E
0
r2
4πǫ0
ǫ0
S
n
−1/2 2
−1/2 o
L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
(3)
(b) Devido à simetria axial da distribuição de cargas nos anéis, o campo elétrico resultante terá somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
∂V (x, y = z = 0)
∂x −3/2
−3/2
1 2
1 2
L + (L + x)2
L + (x − L)2
2(L + x) + −
2(x − L) ,
= −k0 Q
−
2
2
Ex (x, y = z = 0) = −
qq ′
,
r
~ =E
~ 0 /K ,
E
C = Q/V
~ = nq~v ,
J
V = RI ,
~ ·dA
~ ,
J
1. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de
gás quando uma diferença de potencial (ddp) é aplicada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza,
os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo
e os ı́ons positivos em direção ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogênio, 7,00 × 1018
elétrons e 3,00 ×1018 prótons passam através da seção
reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da
corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de corrente elétrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o módulo da carga do elétron vale 1,60×10−19 C.
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(e)
(c)
I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d)
(c) Para tal item, só precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da partı́cula, ou seja,
n
−1/2 2
−1/2 o
U = k0 qQ L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
~
E(x,
y = z = 0) = k0 Q
x+L
[L2 + (x + L)2 ]3/2
3
+
x−L
[L2 + (x − L)2 ]3/2
)
x̂ .
q
r
2. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribuı́da é envolvida por uma casca esférica,
concêntrica, condutora, e de carga qc , com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(
V = k0
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
(a)
ou, finalmente,
~ = −∇V
~ ,
E
(f)
(g)
1
0.
Q
.
4πa2
Q
.
4πa2
Q
.
−
4πb2
Q
.
4πb2
Q + qc
.
4πa2
Q + qc
.
4πb2
−
5. Considere um eneágono (polı́gono de nove lados) regular, com partı́culas de carga q em cada um de seus
vértices, exceto um deles, conforme mostrado na figura. Qual é a força elétrica resultante sobre uma
partı́cula, de carga −q, no centro do polı́gono?
3. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
vácuo, é conectado a uma bateria de força eletromotriz constante. Se a distância entre as placas do capacitor é duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capacitor
(a)
quadruplica.
(b)
duplica.
(c)
não se altera.
(d)
reduz-se a metade.
(e)
reduz-se a um quarto.
(a)
(b)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
4. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equilı́brio eletrostático, o potencial
elétrico é sempre nulo. (II) Se o campo elétrico é
nulo em um determinado ponto do espaço, o potencial elétrico também será nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial elétrico é nulo em um determinado ponto do
espaço, o campo elétrico também deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas é(são) verdadeira(s)?
(a)
Apenas a I.
(b)
Apenas a II.
(c)
Apenas a III.
(d)
Apenas a I e a II.
(e)
Apenas a I e a III.
(f)
Apenas a II e a III.
(g)
Todas são verdadeiras.
(h)
Nenhuma é verdadeira.
9k0 q 2
x̂ .
a2
9k0q 2
x̂ .
a2
8k0 q 2
− 2 x̂ .
a
8k0q 2
x̂ .
a2
k0 q 2
x̂ .
a2
k0 q 2
− 2 x̂ .
a
−
8. Das afirmativas abaixo, assinale a única que é incorreta.
7. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esférica em seu interior. Nessa cavidade, há
duas partı́culas, de cargas q e −q. Chame de região I
o espaço fora do condutor, de região II o condutor, e
de região III a cavidade. Qual das opções a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
elétrico nas três regiões?
(c)
(d)
(e)
~ I = ~0, E
~ II 6= ~0
E
~ II =
~ I 6= ~0, E
E
6 ~0
~ I 6= ~0, E
~ II = ~0
E
~ I = ~0, E
~ II = ~0
E
~ III =
eE
6 ~0.
~ III 6= ~0.
eE
~ III 6= ~0.
eE
~ III = ~0.
eE
~ I 6= ~0, E
~ II = ~0 e E
~ III = ~0.
E
(a)
O campo elétrico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b)
O campo elétrico no interior de um material
dielétrico é sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma região com campo elétrico.
(c)
O campo elétrico entre as placas de um capacitor isolado diminui quando a região entre
suas placas é completamente preenchida por
um material de constante dielétrica K > 1.
(d)
Quando um material dielétrico é inserido entre as placas de um capacitor, surge uma densidade superficial de carga induzida nas superfı́cies do dielétrico que causa a mudança da
capacitância.
(e)
Quando um material dielétrico é inserido entre
as placas de um capacitor, é possı́vel submeter
esse capacitor a maiores diferenças de potencial, sem que ocorra a ruptura dielétrica.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ é uma constante positiva.
6. Qual é o trabalho necessário para formamos a configuração de três partı́culas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais partı́culas estão, de inı́cio, infinitamente afastadas?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2
2k0q 2
a
4k0q 2
a
5k0q 2
a
6k0q 2
a
3k0q 2
a
.
.
.
Figura 4: Questão discursiva 1
.
.
(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) num ponto P situado a uma distância x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto médio. [1,4 ponto]
3
(b) Obtenha o potencial elétrico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distâncias (|x| ≫ L), o campo elétrico não é exatamente nulo. Qual é o comportamento
do campo elétrico, como função de x, nessa aproximação? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois anéis circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, têm seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribuı́da.
Figura 5: Questão discursiva 2.
(a) Determine o potencial elétrico devido aos anéis, em um ponto genérico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x → ∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo elétrico devido aos anéis, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
(c) Considere agora uma partı́cula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada à interação dessa partı́cula com o campo elétrico produzido pelos anéis? [0,4 ponto]
Figura 6: Gabarito da questão discursiva 1.
Gabarito para Versão B
Seção 1.
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (a)
5. (f)
2. (b)
6. (e)
3. (d)
7. (c)
4. (h)
8. (b)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Usaremos o princı́pio de superposição para calcular o campo elétrico resultante devido ao bastão “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a única componente que restará é a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
4
1
Finalmente, então,
k0 ~p
k0 λL2
~
ŷ = − 3 .
lim E(x,
y = z = 0) = −
3
x
x
~ · ŷ
dEy = dE
k0 dq
= 2 r̂ · ŷ
r
k0 λ dy y −
=
r2
r
y dy
.
= −k0 λ
(x2 + y 2 )3/2
Logo,
Ey = −2k0 λ
Z
|x|≫L
Tal expressão é justamente aquela do campo elétrico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano médio,
a uma distância |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo elétrico dado justamente por
~p = QLŷ ,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensão do dipolo, ou seja, a distância entre os pontos
médios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
L
y dy
y=0
(x2 + y 2 )3/2
,
(1)
o que sugere a seguinte substituição trivial de variáveis:
2
u := x + y
2
(a) Usaremos o princı́pio de superposição para potenciais, ou seja,
=⇒
du = 2y dy .
V (x, y = z = 0) = V− (x, y = z = 0) + V+ (x, y = z = 0) .
Aqui V− é o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
k0 Q
V− (x, y = z = 0) =
r−
k0 Q
,
=p
L2 + (x + L)2
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
x2 +L2
du/2
u3/2
2 +L2
x
u−1/2 = −k0 λ
.
(−1/2) 2
Ey = −2k0 λ
Z
u=x2
u=x
Finalmente, pois,
2. Resolução:
~
E(x,
y = z = 0) = 2k0 λ
√
1
1
−
2
2
|x|
x +L
ŷ .
(2)
e V+ é o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
k0 Q
V+ (x, y = z = 0) =
r+
k0 Q
.
=p
2
L + (x − L)2
Logo, o potencial resultante é
(b) Para o cálculo do potencial no mesmo ponto, também usaremos o princı́pio de superposição, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, à simetria da distribuição de carga, com respeito ao eixo X, é óbvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo é identicamente zero:
V (x, y = z = 0) = 0 .
V (x, y = z = 0) = k0 Q
2
∂V (x, y = z = 0)
∂x −3/2
−3/2
1 2
1 2
L + (L + x)2
L + (x − L)2
2(L + x) + −
2(x − L) ,
= −k0 Q
−
2
2
Ex (x, y = z = 0) = −
(ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L → 0. Obtemos, então,
1
1
~
√
−
lim E = lim 2k0 λ
ŷ
|x|≫L
|x|≫L
x2 + L2 |x|
#
"
1
1
p
ŷ
−
= 2k0 λ
2
|x|
|x| 1 + (L/x)
o
−1/2
2k0 λ n
=
1 + (L/x)2
− 1 ŷ
|x|
1 L2
2k0 λ
1−
+
.
.
.
−
1
=
ŷ .
|x|
2 x2
(3)
(b) Devido à simetria axial da distribuição de cargas nos anéis, o campo elétrico resultante terá somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximação do binômio de Newton,
(1 + ε)α ≃ 1 + α u + . . .
n
−1/2 2
−1/2 o
L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
ou, finalmente,
~
E(x,
y = z = 0) = k0 Q
(
x+L
[L2 + (x + L)2 ]3/2
+
x−L
[L2 + (x − L)2 ]3/2
)
x̂ .
(c) Para tal item, só precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da partı́cula, ou seja,
n
−1/2 2
−1/2 o
U = k0 qQ L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
VERSÃO: C
~ e = qE
~ ,
F
Formulário
I
1
~ = k0 q r̂
~ ·dA
~ = Qint ,
E
,
onde
k
=
E
0
r2
4πǫ0
ǫ0
S
qq ′
~ =E
~ 0 /K ,
,
E
U = k0
r
Z
~ ·dA
~ ,
~ = nq~v ,
J
J
I=
~ = −∇V
~ ,
E
V = k0
q
r
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b)
I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c)
I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
V = RI ,
(d)
I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribuı́da é envolvida por uma casca esférica,
concêntrica, condutora, e de carga qc , com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a)
(a)
C = Q/V
S
Seção 1.
2. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
vácuo, é conectado a uma bateria de força eletromotriz constante. Se a distância entre as placas do capacitor é duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capacitor
0.
Q
.
4πa2
Q
.
4πa2
Q
.
−
4πb2
Q
.
4πb2
Q + qc
.
4πa2
Q + qc
.
4πb2
−
(a)
quadruplica.
(b)
duplica.
(c)
não se altera.
(d)
reduz-se a metade.
(e)
reduz-se a um quarto.
4. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esférica em seu interior. Nessa cavidade, há
duas partı́culas, de cargas q e −q. Chame de região I
o espaço fora do condutor, de região II o condutor, e
de região III a cavidade. Qual das opções a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
elétrico nas três regiões?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
5. Das afirmativas abaixo, assinale a única que é incorreta.
3. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de
gás quando uma diferença de potencial (ddp) é aplicada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza,
os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo
e os ı́ons positivos em direção ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogênio, 7,00 × 1018
elétrons e 3,00 ×1018 prótons passam através da seção
reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da
corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de corrente elétrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o módulo da carga do elétron vale 1,60×10−19 C.
~ I = ~0, E
~ II =
E
6 ~0
~ I 6= ~0, E
~ II 6= ~0
E
~ I 6= ~0, E
~ II = ~0
E
~ I = ~0, E
~ II = ~0
E
~ III =
eE
6 ~0.
~ III 6= ~0.
eE
~ III 6= ~0.
eE
~ III = ~0.
eE
~I=
~ II = ~0 e E
~ III = ~0.
E
6 ~0, E
2
(a)
O campo elétrico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b)
O campo elétrico no interior de um material
dielétrico é sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma região com campo elétrico.
(c)
O campo elétrico entre as placas de um capacitor isolado diminui quando a região entre
suas placas é completamente preenchida por
um material de constante dielétrica K > 1.
(d)
Quando um material dielétrico é inserido entre as placas de um capacitor, surge uma densidade superficial de carga induzida nas superfı́cies do dielétrico que causa a mudança da
capacitância.
(e)
Quando um material dielétrico é inserido entre
as placas de um capacitor, é possı́vel submeter
esse capacitor a maiores diferenças de potencial, sem que ocorra a ruptura dielétrica.
6. Considere um eneágono (polı́gono de nove lados) regular, com partı́culas de carga q em cada um de seus
vértices, exceto um deles, conforme mostrado na figura. Qual é a força elétrica resultante sobre uma
partı́cula, de carga −q, no centro do polı́gono?
7. Qual é o trabalho necessário para formamos a configuração de três partı́culas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais partı́culas estão, de inı́cio, infinitamente afastadas?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2k0q 2
a
4k0q 2
a
5k0q 2
a
6k0q 2
a
3k0q 2
a
.
.
.
.
.
8. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equilı́brio eletrostático, o potencial
elétrico é sempre nulo. (II) Se o campo elétrico é
nulo em um determinado ponto do espaço, o potencial elétrico também será nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial elétrico é nulo em um determinado ponto do
espaço, o campo elétrico também deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas é(são) verdadeira(s)?
9k0 q 2
x̂ .
a2
9k0 q 2
x̂ .
a2
8k0 q 2
− 2 x̂ .
a
8k0 q 2
x̂ .
a2
k0 q 2
x̂ .
a2
k0 q 2
− 2 x̂ .
a
−
(a)
Apenas a I.
(b)
Apenas a II.
(c)
Apenas a III.
(d)
Apenas a I e a II.
(e)
Apenas a I e a III.
(f)
Apenas a II e a III.
(g)
Todas são verdadeiras.
(h)
Nenhuma é verdadeira.
Figura 7: Questão discursiva 1
Figura 8: Questão discursiva 2.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ é uma constante positiva.
(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) num ponto P situado a uma distância x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto médio. [1,4 ponto]
(b) Obtenha o potencial elétrico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distâncias (|x| ≫ L), o campo elétrico não é exatamente nulo. Qual é o comportamento
do campo elétrico, como função de x, nessa aproximação? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
(a) Determine o potencial elétrico devido aos anéis, em um ponto genérico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x → ∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo elétrico devido aos anéis, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
(c) Considere agora uma partı́cula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada à interação dessa partı́cula com o campo elétrico produzido pelos anéis? [0,4 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois anéis circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, têm seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribuı́da.
3
4
~ · ŷ
dEy = dE
k0 dq
= 2 r̂ · ŷ
r
k0 λ dy y −
=
r2
r
y dy
.
= −k0 λ
(x2 + y 2 )3/2
Logo,
Ey = −2k0 λ
Z
L
y dy
y=0 (x2
+ y 2 )3/2
,
(1)
o que sugere a seguinte substituição trivial de variáveis:
u := x2 + y 2
=⇒
du = 2y dy .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
x2 +L2
du/2
u3/2
2 +L2
x
u−1/2 = −k0 λ
.
(−1/2) 2
Ey = −2k0 λ
Z
u=x2
u=x
Figura 9: Gabarito da questão discursiva 1.
Finalmente, pois,
~
E(x,
y = z = 0) = 2k0 λ
Gabarito para Versão C
√
1
1
−
2
2
|x|
x +L
ŷ .
(2)
1. (b)
5. (b)
(b) Para o cálculo do potencial no mesmo ponto, também usaremos o princı́pio de superposição, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, à simetria da distribuição de carga, com respeito ao eixo X, é óbvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo é identicamente zero:
2. (d)
6. (f)
V (x, y = z = 0) = 0 .
3. (a)
7. (e)
4. (c)
8. (h)
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximação do binômio de Newton,
Seção 1.
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
(1 + ε)α ≃ 1 + α u + . . .
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Usaremos o princı́pio de superposição para calcular o campo elétrico resultante devido ao bastão “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a única componente que restará é a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
1
(ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L → 0. Obtemos, então,
1
1
~
√
−
lim E = lim 2k0 λ
ŷ
|x|≫L
|x|≫L
x2 + L2 |x|
#
"
1
1
p
ŷ
−
= 2k0 λ
2
|x|
|x| 1 + (L/x)
o
−1/2
2k0 λ n
=
1 + (L/x)2
− 1 ŷ
|x|
1 L2
2k0 λ
1−
+
.
.
.
−
1
=
ŷ .
|x|
2 x2
2
Finalmente, então,
k0 ~p
k0 λL2
~
ŷ = − 3 .
lim E(x,
y = z = 0) = −
3
x
x
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica
Fı́sica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
VERSÃO: D
|x|≫L
Tal expressão é justamente aquela do campo elétrico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano médio,
a uma distância |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo elétrico dado justamente por
~p = QLŷ ,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensão do dipolo, ou seja, a distância entre os pontos
médios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
2. Resolução:
~ e = qE
~ ,
F
(a) Usaremos o princı́pio de superposição para potenciais, ou seja,
Formulário
I
1
~ = k0 q r̂
~ ·dA
~ = Qint ,
E
,
onde
k
=
E
0
r2
4πǫ0
ǫ0
S
V (x, y = z = 0) = V− (x, y = z = 0) + V+ (x, y = z = 0) .
U = k0
Aqui V− é o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
k0 Q
V− (x, y = z = 0) =
r−
k0 Q
,
=p
L2 + (x + L)2
I=
S
e V+ é o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
k0 Q
V+ (x, y = z = 0) =
r+
k0 Q
.
=p
2
L + (x − L)2
Seção 1.
Logo, o potencial resultante é
V (x, y = z = 0) = k0 Q
n
−1/2 2
−1/2 o
L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
(3)
(b) Devido à simetria axial da distribuição de cargas nos anéis, o campo elétrico resultante terá somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
∂V (x, y = z = 0)
∂x −3/2
−3/2
1 2
1 2
L + (L + x)2
L + (x − L)2
2(L + x) + −
2(x − L) ,
= −k0 Q
−
2
2
Ex (x, y = z = 0) = −
ou, finalmente,
~
E(x,
y = z = 0) = k0 Q
(
x+L
[L2 + (x + L)2 ]3/2
+
x−L
[L2 + (x − L)2 ]3/2
Z
)
x̂ .
qq ′
,
r
~ =E
~ 0 /K ,
E
C = Q/V
~ = nq~v ,
J
V = RI ,
~ ·dA
~ ,
J
V = k0
q
r
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equilı́brio eletrostático, o potencial
elétrico é sempre nulo. (II) Se o campo elétrico é
nulo em um determinado ponto do espaço, o potencial elétrico também será nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial elétrico é nulo em um determinado ponto do
espaço, o campo elétrico também deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas é(são) verdadeira(s)?
(a)
Apenas a I.
(b)
Apenas a II.
(c)
Apenas a III.
(d)
Apenas a I e a II.
(e)
Apenas a I e a III.
(f)
Apenas a II e a III.
(g)
Todas são verdadeiras.
(h)
Nenhuma é verdadeira.
2. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
vácuo, é conectado a uma bateria de força eletromotriz constante. Se a distância entre as placas do capacitor é duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capacitor
(c) Para tal item, só precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da partı́cula, ou seja,
n
−1/2 2
−1/2 o
U = k0 qQ L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
3
~ = −∇V
~ ,
E
1
(a)
quadruplica.
(b)
duplica.
(c)
não se altera.
(d)
reduz-se a metade.
(e)
reduz-se a um quarto.
3. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribuı́da é envolvida por uma casca esférica,
concêntrica, condutora, e de carga qc , com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
5. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esférica em seu interior. Nessa cavidade, há
duas partı́culas, de cargas q e −q. Chame de região I
o espaço fora do condutor, de região II o condutor, e
de região III a cavidade. Qual das opções a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
elétrico nas três regiões?
0.
Q
−
.
4πa2
Q
.
4πa2
Q
−
.
4πb2
Q
.
4πb2
Q + qc
.
4πa2
Q + qc
.
4πb2
(a)
(b)
(c)
4. Considere um eneágono (polı́gono de nove lados) regular, com partı́culas de carga q em cada um de seus
vértices, exceto um deles, conforme mostrado na figura. Qual é a força elétrica resultante sobre uma
partı́cula, de carga −q, no centro do polı́gono?
(d)
(e)
~ I = ~0, E
~ II 6= ~0
E
~ II =
~ I 6= ~0, E
E
6 ~0
~ I 6= ~0, E
~ II = ~0
E
~ I = ~0, E
~ II = ~0
E
~ III =
eE
6 ~0.
~ III 6= ~0.
eE
~ III 6= ~0.
eE
~ III = ~0.
eE
~ I 6= ~0, E
~ II = ~0 e E
~ III = ~0.
E
8. Das afirmativas abaixo, assinale a única que é incorreta.
7. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga de
gás quando uma diferença de potencial (ddp) é aplicada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza,
os elétrons movem-se em direção ao terminal positivo
e os ı́ons positivos em direção ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogênio, 7,00 × 1018
elétrons e 3,00 ×1018 prótons passam através da seção
reta do tubo a cada segundo. Quais são o módulo I da
corrente elétrica e o sentido do vetor densidade de corrente elétrica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o módulo da carga do elétron vale 1,60×10−19 C.
(a)
I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b)
I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c)
I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d)
I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f)
I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(a)
O campo elétrico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b)
O campo elétrico no interior de um material
dielétrico é sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma região com campo elétrico.
(c)
O campo elétrico entre as placas de um capacitor isolado diminui quando a região entre
suas placas é completamente preenchida por
um material de constante dielétrica K > 1.
(d)
Quando um material dielétrico é inserido entre as placas de um capacitor, surge uma densidade superficial de carga induzida nas superfı́cies do dielétrico que causa a mudança da
capacitância.
(e)
Quando um material dielétrico é inserido entre
as placas de um capacitor, é possı́vel submeter
esse capacitor a maiores diferenças de potencial, sem que ocorra a ruptura dielétrica.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ é uma constante positiva.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
6. Qual é o trabalho necessário para formamos a configuração de três partı́culas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais partı́culas estão, de inı́cio, infinitamente afastadas?
9k0 q 2
x̂ .
a2
9k0 q 2
x̂ .
a2
8k0 q 2
− 2 x̂ .
a
8k0 q 2
x̂ .
a2
k0 q 2
x̂ .
a2
k0 q 2
− 2 x̂ .
a
−
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2
2k0q 2
a
4k0q 2
a
5k0q 2
a
6k0q 2
a
3k0q 2
a
.
.
.
.
Figura 10: Questão discursiva 1
.
3
(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) num ponto P situado a uma distância x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto médio. [1,4 ponto]
(b) Obtenha o potencial elétrico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distâncias (|x| ≫ L), o campo elétrico não é exatamente nulo. Qual é o comportamento
do campo elétrico, como função de x, nessa aproximação? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois anéis circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, têm seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribuı́da.
Figura 12: Gabarito da questão discursiva 1.
Figura 11: Questão discursiva 2.
(a) Determine o potencial elétrico devido aos anéis, em um ponto genérico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x → ∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo elétrico devido aos anéis, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
(c) Considere agora uma partı́cula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada à interação dessa partı́cula com o campo elétrico produzido pelos anéis? [0,4 ponto]
Gabarito para Versão D
Seção 1.
Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (h)
5. (c)
2. (d)
6. (e)
3. (b)
7. (a)
4. (f)
8. (b)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Usaremos o princı́pio de superposição para calcular o campo elétrico resultante devido ao bastão “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a única componente que restará é a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
4
1
Finalmente, então,
k0 ~p
k0 λL2
~
ŷ = − 3 .
lim E(x,
y = z = 0) = −
3
x
x
~ · ŷ
dEy = dE
k0 dq
= 2 r̂ · ŷ
r
k0 λ dy y −
=
r2
r
y dy
.
= −k0 λ
(x2 + y 2 )3/2
Logo,
Ey = −2k0 λ
Z
|x|≫L
Tal expressão é justamente aquela do campo elétrico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano médio,
a uma distância |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo elétrico dado justamente por
~p = QLŷ ,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensão do dipolo, ou seja, a distância entre os pontos
médios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
L
y dy
y=0
(x2 + y 2 )3/2
,
(1)
o que sugere a seguinte substituição trivial de variáveis:
2
u := x + y
2
(a) Usaremos o princı́pio de superposição para potenciais, ou seja,
=⇒
du = 2y dy .
V (x, y = z = 0) = V− (x, y = z = 0) + V+ (x, y = z = 0) .
Aqui V− é o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
k0 Q
V− (x, y = z = 0) =
r−
k0 Q
,
=p
L2 + (x + L)2
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
x2 +L2
du/2
u3/2
2 +L2
x
u−1/2 = −k0 λ
.
(−1/2) 2
Ey = −2k0 λ
Z
u=x2
u=x
Finalmente, pois,
2. Resolução:
~
E(x,
y = z = 0) = 2k0 λ
√
1
1
−
2
2
|x|
x +L
ŷ .
(2)
e V+ é o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
k0 Q
V+ (x, y = z = 0) =
r+
k0 Q
.
=p
2
L + (x − L)2
Logo, o potencial resultante é
(b) Para o cálculo do potencial no mesmo ponto, também usaremos o princı́pio de superposição, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, à simetria da distribuição de carga, com respeito ao eixo X, é óbvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo é identicamente zero:
V (x, y = z = 0) = 0 .
V (x, y = z = 0) = k0 Q
2
∂V (x, y = z = 0)
∂x −3/2
−3/2
1 2
1 2
L + (L + x)2
L + (x − L)2
2(L + x) + −
2(x − L) ,
= −k0 Q
−
2
2
Ex (x, y = z = 0) = −
(ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L → 0. Obtemos, então,
1
1
~
√
−
lim E = lim 2k0 λ
ŷ
|x|≫L
|x|≫L
x2 + L2 |x|
#
"
1
1
p
ŷ
−
= 2k0 λ
2
|x|
|x| 1 + (L/x)
o
−1/2
2k0 λ n
=
1 + (L/x)2
− 1 ŷ
|x|
1 L2
2k0 λ
1−
+
.
.
.
−
1
=
ŷ .
|x|
2 x2
(3)
(b) Devido à simetria axial da distribuição de cargas nos anéis, o campo elétrico resultante terá somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximação do binômio de Newton,
(1 + ε)α ≃ 1 + α u + . . .
n
−1/2 2
−1/2 o
L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
ou, finalmente,
~
E(x,
y = z = 0) = k0 Q
(
x+L
[L2 + (x + L)2 ]3/2
+
x−L
[L2 + (x − L)2 ]3/2
)
x̂ .
(c) Para tal item, só precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da partı́cula, ou seja,
n
−1/2 2
−1/2 o
U = k0 qQ L2 + (L + x)2
+ L + (x − L)2
.
3