Lista n. 1 - Instituto de Física / UFRJ

LISTA DE EXERCÍCIOS N◦ 1 — TERMODINÂMICA & FÍSICA ESTATÍSTICA
Prof: Luca Moriconi
Instituto de Fı́sica — UFRJ
1) Uma moeda mal cunhada produz “cara” e “coroa” com probabilidades de 30% e 70%, respectivamente.
Suponha que lances consecutivos da moeda sejam completamente independentes entre si.
(i) Defina o espaço de probabilidades para dois lances consecutivos desta moeda.
(ii) Considerando os eventos E1=(cara, coroa) e E2=(coroa, cara), mostre que
P (E1 ∪ E2|E1) = P (E1 ∪ E2|E2) = 0.5 ,
o que sugere uma maneira de se organizar um sorteio binário justo, com 50% de probabilidade para cada um
dos dois resultados admissı́veis.
2) Um experimento probabilı́stico consiste em dois lançamentos de uma moeda, por um número grande de vezes.
Nota-se que quando o primeiro resultado é cara, o segundo dá coroa com 70% de probabilidade. Por outro lado,
quando o primeiro resultado é coroa, o segundo dá cara com 50% de probabilidade. Nota-se também que a
probabilidade de se obter cara é a mesma no primeiro e segundo lançamentos.
(i) Obtenha o valor para a probabilidade de se obter cara.
(ii) Refaça o problema, imaginando agora que as probabilidades condicionais sejam ambas iguais a 70%.
3) O “Problema de Monty Hall”. Um candidato ao prêmio de um carro, participa do seguinte jogo: três
envelopes lhe são exibidos. Apenas um deles contém o “vale-carro”, enquanto os outros dois estão vazios. O
candidato escolhe um dos envelopes. O organizador do jogo, então, descarta, entre os dois envelopes restantes,
um que esteja necessariamente vazio. Ao candidato é oferecido o direito de mudar de escolha.
(i) Obtenha a probabilidade do participante ganhar o carro no caso em que ele não mude a sua escolha inicial.
(ii) Obtenha a probabilidade do participante ganhar o carro no caso em que ele mude a sua escolha inicial.
(iii) Refaça os itens anteriores imaginando que n > 3 envelopes são usados no jogo.
4) Em um determinado plebiscito, envolvendo 180 milhões de eleitores, o resultado “sim” supera o resultado
“não” em 22500 votos. Um comentarista afirma que “como 22500 votos representam 0.01% do eleitorado”, não
há uma clara tendência da população pelo “sim”. Explique porque o comentarista está completamente errado.
5) Imagine que no inı́cio de toda semana, durante 13 meses, novas ações são lançadas no mercado de capitais.
Devido ao grande movimento especulativo, após o perı́odo exato de uma semana, as novas ações são valorizadas
de 100% em 50% dos casos. Nas outras 50% das vezes, elas sofrem uma desvalorização de 60%. Um especulador
decide optar pela seguinte estratégia automática de investimento: compra ações no começo da semana e as
vende no final da semana. Com a quantia que lhe sobra ele executa novamente o processo de compra e venda
na semana seguinte. Ele inicia suas aplicações com 100 reais.
(i) Um especulador acredita que como em média as ações irão render (100 − 60)/2 = 20%, ele irá possuir
100 × 1.252 ≃ 1.3 × 106 reais ao fim dos 13 meses!. Discuta o erro do especulador.
(ii) Mostre que a quantia mais provável que o especulador terá ao fim dos 13 meses será de apenas cerca de 30
centavos.
6) Seja ρ(x) = exp(−|x|)/2 a densidade de probabilidade para uma variável aleatória real x. Tomando y =
exp(x), obtenha a densidade de probabilidade ρ̃(y) para a variável y. Esboce os gráficos de ρ(x) e ρ̃(y).
7) Considere um conjunto numeroso de partı́culas que oscilam harmonicamente ao redor da origem (em uma
dimensão) com mesma amplitude A, mesma frequência ω, porém constantes de fases distribuidas aleatoriamente
e uniformemente ao longo do intervalo 0 ≤ φ ≤ 2π. Determine a densidade de probabilidade ρ(x) de se observar
a posição x para um dos osciladores escolhido ao acaso.
8) Mostre que se n é par, então xn = (n − 1)!!(x2 )n/2 , para uma distribuição normal centrada na origem.
9) Calcule o coeficiente de achatamento (flatness) para a distribuição ρ(x) = exp(−2|x|) e compare com o caso
gaussiano.
10) Mostre que (n − n̄)2 = n̄ para uma distribuição de Poisson dada por pn = cn exp(−c)/n!. Calcule o
coeficiente de achatamento associado à distribuição de Poisson, para a variável aleatória x ≡ n − n̄.
11) Suponha que as variáveis aleatórias independentes x1 , x2 e x3 sejam descritas pela seguinte distribuição
gaussiana:
x2
1
ρ(x) = √ exp(− ) .
2
2π
Obtenha a densidade de probabilidade para a variável y = x1 + 2x2 + x3 , através do cálculo da função caracterı́stica.
√
12) Calcule a probabilidade p de que uma corda aleatória em um cı́rculo de raio R seja maior do que R 3 (ou
equivalentemente, que seja maior do que o lado de um triângulo equilátero inscrito). Se você calcular de três
modos diferentes, obterá três resultados diferentes!:
(i) Defina a corda paralela√ao eixo x. Se o ponto médio dela estiver mais próximo do centro do que R/2 então
a corda é maior do que R 3. Nesse caso, através da razão de distâncias, p = 1/2.
(ii) Fixando um dos extremos da corda e percorrendo o cı́rculo com o outro, o ângulo subentendido pela corda
deve ser maior do que 120 graus e menor do que 240 graus. Nesse caso, através da razão de ângulos, p = 1/3.
√
(iii) Para ser maior que R 3, o ponto médio da corda deve pertencer ao interior de um cı́rculo de raio R/2,
concêntrico ao cı́rculo de raio R. Nesse caso, através da razão de áreas, temos p = 1/4.
(iv) Como é possı́vel obtermos respostas diferentes? Quais são as hipóteses implicı́tas?
13) O “Problema da Agulha de Buffon”. Uma agulha de comprimento d é lançada sobre uma superfı́cie plana,
em uma região limitada por duas retas paralelas separadas por uma distância a > d. Obtenha a probabilidade de
que a agulha intercepte uma das retas. Sugestão: parametrize a queda da agulha pela sua orientação 0 ≤ θ ≤ 2π
e distância 0 ≤ x ≤ a do seu centro de massa em relação a uma das retas . Defina a densidade de probabilidade
ρ = ρ(θ, x) para que o par (θ, x) seja verificado em um lançamento.
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