Lista de Exerc´ıcios 3 1 Probabilidade Condicional

Introdução à Teoria de Probabilidade.
Informática Biomédica.
Departamento de Fı́sica e Matemática. USP-RP.
Prof. Rafael A. Rosales
30 de maio de 2007.
Lista de Exercı́cios 3
Igual que na listas anteriores, os exercı́cios marcados com “†” são mais difı́ceis e
podem ser deixados para o final.
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Probabilidade Condicional
Exercı́cio 43. Thiago e Juliana decidem jogar golf. De acordo as suas habilidades
Thiago pode ganhar cada buraco com probabilidade p e Juliana com probabilidade
q. A probabilidade de empatar é r. O jogo acaba na primeira vez na qual só um
dos dois jogadores ganhe um buraco. (i) Mostrar que a probabilidade un de que
Thiago ganhe antes ou no n-ésimo buraco é
un =
p(1 − rn )
.
(1 − r)
(ii) Dado que Thiago ganha antes ou no n-ésimo buraco, mosntrar que: (a) a
probabilidade de que o primeiro buraco resultou em empate é
r(1 − rn−1 )
.
(1 − rn )
(b) a probabilidade de que o primeiro buraco foi ganhado é
(1 − r)
.
(1 − rn )
(iii) Dado a que Juliana ganha, qual é a probabilidade disto acontecer antes do
terceiro buraco?
Exercı́cio 44. (“Urna de Polya”) Uma urna contém a bolas azuis e v de cor verde.
Uma bola é retirada ao acaso e seu cor é considerado. Subseqüentemente a bola é
devolvida para a urna junto com b bolas do mesmo cor. (i) Qual é a probabilidade
dos eventos: (a) a segunda bola é verde, (b) a primeira bola retirada é verde dado
que a segunda bola foi verde. (ii) Se Vn denota o evento “o resultado da n-ésima
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retirada e verde”, monstrar que P(Vn ) = P(V1 ) para todo n ≥ 1. (iii) Encontrar a
probabilidade de que a primeira bola retirada seja verde se na n-ésima retirada o
resultado é verde. (iv) Mostrar que para quaisquer j, k, P(Vk |Vj ) = P(Vj |Vk ).
Exercı́cio 45. Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O
São Paulo ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade de 0,4; e em
um dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se ganhou um jogo em novembro, qual
é a probabilidade de que choveu nesse dia?
Exercı́cio 46. Pedro quer enviar uma carta a Marina. A probabilidade de que
Pedro escreva a carta é de 0,8. A probabilidade de que o correio não a perca é
de 0,9. A probabilidade de que o carteiro a entregue é de 0,9. Dado que Marina
não recebeu a carta, qual é a probabilidade condicional de que Pedro não a tenha
escrito?
Exercı́cio 47. † Um homem tem 5 moedas, duas das quais tem duas caras, uma
tem duas coroas e as duas últimas são normais.
(i) O homem fecha os olhos elege uma moeda e a lança. Qual é a probabilidade
de que a face inferior da moeda seja cara?
(ii) O homem abre os olhos e observa que a moeda mostra cara; qual é a probabilidade de que a face inferior seja cara?
(iii) O homem fecha seus olhos de novo e lança a moeda uma segunda vez. Qual
é a probabilidade de que a face inferior seja cara?
(iv) O homem abre os olhos e observa que o resultado é cara; qual é a probabilidade de que a face inferior seja cara?
(v) O homem descarta esta moeda, escolhe outra ao acaso e a lança. Qual é a
probabilidade de que o resultado seja cara?
As respostas a (i) e (ii) podem ser encontradas empregando o argumento de simetria usual, mais para poder continuar com (iii) resulta melhor utilizar probabilidade
condicional.
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Independência
Exercı́cio 48. Se A e B são eventos independientes, mostrar que Ac e B são
independentes, e então deducir que Ac e B c também são independentes.
Exercı́cio 49. Seja (Ω, A , P) um espaço de probabilidade, e A1 , . . . , An ∈ A
eventos independentes com pk = P(Ak ), k = 1, . . . , n. Obtenha a probabilidade de
ocorrência dos seguintes eventos, em termos das probabilidades pk : (i) a ocorrência
de nenhum dos Ak , (ii) a ocorrência de pelo menos um dos Ak , (iii) a ocorrência
de exatamente um dos Ak , (iv) a ocorrência de exatamente dois dos Ak , (v) a
ocorrência de, no máximo, n − 1 dos Ak .
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Exercı́cio 50. (Independência a pares não implica independência coletiva) Um
dado é jogado n vezes. Seja o evento Aij =“a i-ésima e a j-ésima jogada tem o
mesmo resultado”. Mostrar que os eventos {Aij : 1 ≤ i < j ≤ n} são independentes somente quando considerados por pares, isto é, P(Aij ∩ Ajn ) = P(Aij )P(Ajn )
mas P(Aij ∩ Ajk ∩ Aik ) 6= P(Aij )P(Ajk )P(Aik ) se i 6= j 6= k.
Exercı́cio 51. † Uma moeda honesta é jogada repetidas vezes. Mostrar que os
seguintes enunciados são equivalentes (⇔):
(a) os resultados de lançamentos diferentes são indenpendentes,
(b) dada qualquer seqüência de caras e coroas, a probabilidade de que a seqüência
ocorra nos primeiros m lançamentos é 2−m , sendo m o comprimento da seqüência.
Exercı́cio 52. Existem duas estradas para ir de A a B e duas para ir de B a C.
Cada estrada pode estar bloqueada, independentemente das outras, devido a um
acidente de transito com probabilidade p. (i) Encontrar a probabilidade de que
uma das estradas de A a B esteja aberta dado que não existe nenhuma estrada
aberta de B a C. (ii) Encontrar a probabilidade condicional se adicionalmente
existe uma estrada direta entre A e C, também bloqueada independentemente das
outras com probabilidade p.
A
p
p
B
p
p
C
p
(iii) Qual a probabilidade de chegar de A a D se agora a disposição entre estas
cidades segue o seguinte desenho embaixo?
p
B
p
p
A
p
C
D
p
Exercı́cio 53. † Suponha que ter um menino ou uma menina tem a mesma probabilidade. Suponha também que a Sra. M tem três filhos. Seja A o evento que
a familia tem filhos de ambos sexos, e B o evento que a familia apresenta pelo
menos uma menina. (i) Mostre que A e B são independentes. (ii) Serão A e B
independentes se a prbabilidade de ter um menino ou uma menina não são iguais?
(iii) O que ocorre se a Sra. M tem quatro filhos?
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