Aula 2

Análise Matemática - 2009/2010
2 - Generalidades sobre funções reais de variável real
2.1-Definição e Propriedades
Def.2.1 Sejam A e B conjuntos, e f uma correspondência de A para
B, isto é um processo de associar a cada elemento de A um único
elemento de B. Diz-se então que f é uma aplicação ou função de
A em B.
f :A→B
Y=f(x)
A
B
C
Ao conjunto A chama-se domínio e ao conjunto B conjunto de
chegada.
Nota:
O domínio de uma função definida por ramos é a reunião dos
domínios de todos os ramos.
Ao subconjunto C de B formado por todos os elementos f(x), com
x ∈ A , é o contradomínio de f.
Uma função real de variável real é uma função cujo domínio e
cujo contradomínio são subconjuntos do conjunto dos reais.
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Def.2.2 Injectividade e Sobrejectividade de funções.
Dada uma função f : A → B , diz-se que f é função:
Injectiva se dados x1 ≠ x2 , quaisquer se tiver
f (x1) ≠ f ( x2 ) isto é ∀x , x ∈ A, x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 )
1
sempre
2
Exemplo: Estude, utilizando o gráfico, a injectividade de
y = x 2 e y = x3 .
Sobrejectiva se para qualquer y∈ B existir x∈ A tal que f(x)=y,
ou seja, ∀ y∈B ∃x∈A : f ( x ) = y
Exemplo: Estude, utilizando o gráfico, a sobrejectividade de
1
y=
x
Bijectiva se simultaneamente injectiva e sobrejectiva.
Def.2.3
Paridade de funções
Dada uma função f : A → B , diz-se que f é uma função:
Par se f ( x) = f ( − x) , ∀ x∈A
Nota: Temos então nas funções pares uma simetria em relação ao
eixo dos yy.
Impar
se f ( x) = − f (− x) , ∀ x∈ A
Nota: Temos então nas funções impares uma simetria em relação
a um ponto (a origem).
Exemplos:
(1) f ( x) = x 2
(2)
g(x) = x 3
e w(x)=cos(x)
e
h(x)=sen(x)
são funções pares
são funções impares
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Def.2.4
Monotonia de funções
Seja f : A → B uma função e I ⊂ A um intervalo. Diz-se que f é:
Crescente em sentido lato em I se para ∀x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x 2 )
Crescente em sentido estrito em I se para ∀x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
Decrescente em sentido lato em I se para ∀x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 )
Decrescente em sentido estrito em I se ∀x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 )
Exemplos:
(1) A função identidade, f ( x) = x é estritamente crescente em ℝ .
(2) A função f ( x) = x é estritamente decrescente em ]− ∞,0[ e
estritamente crescente em ]0,+∞[.
(3) A função constante, f ( x ) = k , é simultaneamente crescente e
decrescente (em sentido lato) em ℝ .
Nota:
f ( x) = x tem:
Df = ℝ
Cf = [0,+∞[
Conjunto de chegada ( B ) é ℝ
tem um zero em x=0
é positiva em ℝ \ {0}
tem um mínimo absoluto 0 em x=0
não é injectiva
não é sobrejectiva
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Def.2.5
Periodicidade de funções
Seja f : A → B uma função, diz-se que f é periódica de período
t>0 se f ( x + t ) = f ( x), ∀x ∈ A .
Mostre que: f ( x ) = sen ( x ) , é periódica de período 2π
f ( x ) = tg ( x ) , é periódica de período π
Nota:
sen(a ± b)=sen(a)cos(b) ± cos(a)sen(b)
cos(a ± b)=cos(a)cos(b) ∓ sen(a)sen(b)
2.2- Funções elementares e composição de funções
Def.2.6
Funções elementares principais
Designa-se funções elementares principais as funções definidas
pelas seguintes expressões analíticas:
(1)
f ( x) = xα , α (constante) ∈ ℝ
(2)
f ( x ) = a x , a ∈ ℝ + \ {1}
função exponencial
(3)
f ( x ) = log a x, a ∈ ℝ + \ {1}
função logarítmica
(4)
(5)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = tg(x)
f(x) = cotg(x)
f(x) = sec(x) = 1/cos(x)
f(x) = cosec(x) = 1/sen(x)
f(x) = arcsen(x)
f(x) = arccos(x)
f(x) = arctg(x)
f(x) = arccotg(x)
f(x) = arcsec(x)
função potência
funções trigonométricas
funções trigonométricas inversas
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Def.2.7 Funções elementares
Chama-se função elementar toda a função que possa ser obtida como
combinação em número finito de funções elementares principais e de
constantes com as operações de adição, subtracção, multiplicação, divisão e
composição de funções.
Nota: y = x não é uma função elementar.
2.3 – Função Composta. Função Inversa. Função Implícita.
Def.2.8
Função Composta
Seja f : A → B uma função, e g : C → D outra função, designa-se por
função composta de f com g, a função h = fog que a cada x ∈ Dh se tem:
h( x ) = f ( g ( x )) . O domínio de h será Dh = {x ∈ C : g ( x) ∈ A}
Exemplo:
g ( x) = − x 2 + 4
Determine ( fog )( x ) = f ( g ( x ))
Seja f ( x ) = ln x
e
f ( g ( x )) = ln
(− x 2 + 4),
D f = ]0,+∞[
{
e
{
D fog = x ∈ D g : g ( x) ∈ D f
}
D g = [− 2,2]
}
D fog = x ∈ D g : g ( x) ∈ D f =  x ∈ [− 2,2] : − x 2 + 4 ∈ ]0,+∞[ =


 x ∈ [− 2,2] : − x 2 + 4 > 0 = {x ∈ ]− 2,2[}




Def.2.9 Função Inversa
Seja f : A → B uma função injectiva, chama-se função inversa de f a
f −1 : B → A tal que fof −1 = x e f −1of = x .
Exemplo: Verifique se as funções seguintes são inversas:
f ( x) = x3 + 1,
g ( x) = 3 x − 1
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Def.2.10 Funções implícitas
Sejam x, y ∈ ℝ duas variáveis relacionadas por uma condição que
designaremos simbolicamente por ψ ( x, y ) = 0 . Se existir uma
função y=f(x) definida num intervalo ]a, b[ tal que ψ ( x, f ( x) ) é
uma identidade em relação a x, então f(x) designa-se função
implícita definida pela equação ψ ( x, y ) = 0 .
Obs.: A condição
implícitas.
ψ ( x, y ) = 0
pode definir várias funções
Exemplo: x 2 + y 2 − 4 2 = 0
y = + 42 − x 2
e
y = − 42 − x 2
Obs.: nem sempre é possível encontrar a forma explícita de uma
função implícita, isto é nem sempre é possível exprimir y = f (x)
com f(x) função elementar.
Exemplo: y 3 − 3 y + 2 x = 0
Breves noções sobre funções trigonométricas
As funções sen(x) e cos(x) estão definidas e são contínuas em ℝ .
Têm como contradomínio o intervalo [− 1,1], são periódicas de
período 2π .
A função tg(x) tem por domínio
contradomínio
π

ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ 
2

e por
ℝ.
Exercício: desenhe o gráfico de sen(x), cos(x) e tg(x).
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y = sin(x)
y
3
2
(Pi/2,1)
1
(-Pi,0)
-3
x
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
y
3
y = cos(x)
2
(0,1)
1
x
-3
-2
-1
1
2
3
-1
4
5
6
7
(Pi,-1)
y
y=tg(x)
4
2
(Pi,0)
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
4
5
6
7
8
9
-2
-4
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Devido ao facto da função sen(x), cos(x) e tg(x) não serem
invertíveis nos respectivos domínios há que considerar restrições
destas funções a intervalos nos quais sejam injectivas.
Assim:
A função arcsen(x)
tem como domínio
 π π
contradomínio − ,  .
 2 2
y
y=arcsen(x)
[− 1,1]
e como
(1,p i/2)
1
x
-1
1
-1
(-1,-p i/2)
A função arccos(x) tem como domínio [− 1,1] e como contradomínio
[0, π ].
y
y=arccos(x)
4
(-1,pi)
2
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
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A função arctg(x)
tem
 π π
 − 2 , 2  .
como
domínio ℝ e como contradomínio
y
y=arctg(x)
4
y=pi/2 2
x
-4
-2
y=-pi/2
2
4
6
-2
-4
Exercício: Estude as fuções: y=cotg(x) e y=arccotg(x)
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