CAPITULO 1 1.0 MATRIZ INVERSA 1.1 OPERAÇÕES COM

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS PATO BRANCO
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CAPITULO 1 1.0 MATRIZ INVERSA
1.1 OPERAÇÕES COM MATRIZES ­REVISÃO
1) aplicações práticas KOLMANN(1999, p.12), um fabricante de determinado produto
produz de três modelos, A, B e C. Cada modelo é manufaturado parcialmente na fabrica F1
em formosa e depois terminado na fabrica F2 nos Estados Unidos. O custo total de cada
produto é a soma do custo de produção com custo de transporte. Então, os custos em cada
fabrica(em dólares) podem ser descritos pelas matrizes 3x2 F1 e F2.Os custos total de cada
produto é a soma do custo de produção com o custo de transporte. Então, os custos em cada
fabrica ( em dólares) podem ser descritos pelas matrizes 3x 2 F1 e F2:
F1
F2
Custo de produção
2
5
7
Custo de transporte
4
8
2
Modelo A
Modelo B
Modelo C
Custo de produção
4
5
13
Custo de transporte
6
5
2
Modelo A
Modelo B
Modelo C
A matriz F1 + F2 fornece os custos totais de produção e de transporte para cada produto. Os
custos totais de produção e de transporte para os modelos são:
[
2) KOLMANN(1999, p. 37),Seja A=
−2 3
2 −3
]
B=
[
−1 −3
2
0
mostre que AB=AC.
[ ]
3)T1 Seja A=
4 2
1 3
.Encontre a) A² +3A b) 2A³ +3A² + 4A +5I2.
]
C=
[
−4 −3
0 −4
]
2
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4)T1 KOLMANN(1999, p. 84) Calcule os determinantes:
[
4
4 1 2
1 2 3
−1
A= −1 5 2 B= 0 2 3 C=
1
3 2 0
0 0 −3
1
[
] [
]
[
1
5) T1 Sejam A=
2
[
2 −4
E= 0 1
3 2
]
]
2
1
5
−4
4 F=
2
1
[
3
4
5
3
0 0 0
2 0 1
4
2 0 0
3 2 −4 −2
D=
2 −3 0
2 3 −1 0
5 3 5
1 8 −4 6
][
]
[ ] [
D=
1
B= 2
3
0
1 2
3
C= 4
2
−1
1
1
]
5
4 1
[
3 −2
2 4
]
]
calcule se possível:
a)C+E b)2B+F c)3(B+D) d)At e)(2A )t f)AC g)BF h)EF i)2D+3D
6) T1
[
λ −1
b
0
0
KOLMANN(1999, p. 84)
−1
λ −2
0
−2
2
λ −3
Calcule: a  det
[
λ −1
3
2
λ −2
]
7)T1 Para que valores de a ∣ ∣∣
∣
2 1 0
0
a 1

0 −1 3
1 3a 0 =14
0 1 a −2 a 2
8) T1Encontre todos os valores de (a) para os quais a matriz * faça o determinante igual zero para matriz singular.
[ ]
a²
5
3
0 3
a 3
0 1
seja singular.
]
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Para ilustrar a Regra de Cramer, consideremos o sistema linear 3 x3 :
[
−1 2 −3
−x2y−3z=1/ 2
cuja matriz dos coeficientes é A= 4 5 6
4x5y6z=8
−7x8y−9z=7/2
−7 8 −9
]
Calculando o determinante det(A)=­120
Como o determinante é diferente de zero, o sistema possui solução única. Para calcular a
solução pela Regra de Cramer, substituímos sucessivamente as colunas da matriz A pela
[ ]
1/2
matriz­coluna dos termos independentes b= 8
7 /2
Isto nos leva às matrizes 0s determinantes das respectivas matrizes det(A1)= 0 det(A2)=­120 det(A3)=­60
Portanto, pela Regra de Cramer, MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
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Você pode constatar que a tripla (0;1;1/2) é, de fato, solução do sistema conferindo a
igualdade fonte: http://www.gregosetroianos.mat.br/Erros/Cramer/Links/index_lnk_3.html
9) T1 Resolva o sistema linear a seguir usando a regra de Cramer.
x− yz=−1
2xy−3z=8
x−2y3z=−5
10) T1 Verifique que det(AB)=det(A)det(B) para as seguintes matrizes:
[
1 −2 3
A= −2 3 1
0
1 0
] [
1 0 2
B= 3 −2 5
2 1 3
]
1.2 MATRIZ INVERSA­MATRIZ ADJUNTA
1.2.1 Definição: dada uma matriz quadrada A de ordem n , a inversa de A a uma matriz B tal
que A*B=B*A=In, onde In é a matriz identidade de ordem n. Escreve­se A­1 para a inversa de
A. BOLDRINI (1980, p.73)
1.2.2 KOLMANN (1999, p.86) Definição : seja A=[aij] uma matriz nxn e seja Mij a
submatriz (n­1)x(n­1) de A obtida eliminando­se a i­ésima linha e j­ésima coluna de A. O
determinante det(Mij) é chamado de determinante menor de aij. O cofator Aij de aij é
definido por 5
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i j
Aij =−1
det  M ij  .
1.3 KOLMANN (1999, p. 89) Definição: Seja A=[aij] uma matriz nxn. A matriz adjunta de
A, denotada por adj A, é a matriz nxn cujo elemento (i,j) é o cofator Aji, de aji, ou seja,
[ ]
[ ]
A11 A21 ... A n1
A A .. A
adj A= 12 22 n2 . Se A é uma matriz nxn e det(A) <> 0, então :
......
A1n A2n ... Ann
A11 A21 ... An1
1
A12 A22 .. An2
−1
A =
det  A
......
A1n A 2n ... Ann
APLICAÇÕES DA MATRIZ INVERSA
11) BOLDRINI (1980, p.94) uma maneira de codificar uma mensagem é através de
multiplicação por matrizes. Vamos associar letras do alfabeto aos números, segundo a
correspondência:
A B C D E F G H I J
L M N O P Q R
1
11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
16
17
S T U V W X Y Z
18
19 20 21 22
23 24 25
Seja C ( chave ) uma matriz qualquer 3x3 inversível:
[
]
1 0 1
C= −1 3 1 Para obter uma matriz codificada multiplica­se a matriz M ( matriz
0 1 1
mensagem) pela matriz C ( chave inversível). Quem recebe a mensagem decodifica­a através
da multiplicação pela inversa ((M*C)*C­1=M) e posteriormente transcrição dos números para
letras.
[
]
−5 83 58
A matriz MC= 1 21 22 , descubra qual é mensagem. a) você recebeu a mensagem: 5 13 14
­12; 48; 23;­2; 42; 26; 1; 42; 29, utilizando a mesma chave traduza a mensagem.
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b) aconteceu que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda voce substituir a
[
]
1 1 −1
matriz chave por 1 1 0 . Voce transmite a mensagem CRETINO..a ele ( codificada,
0 0 2
naturalmente!) . Por que não será possivel a ele decodificar a sua mensagem?
c)escolha uma matriz chave que dê para codificar palavras até 16 letras. Codifique e
descodifique a vontade!
12)T'1 KOLMANN (1999, p. 97), resolva o sistema linear pela matriz inversa, se possível:
2x4y6z=2
x−2y +z= 0
5x  7y=3
a) x 2z=0
b) 2x + 3y +z=0 c)LAY (1999,p.189)
2x  4y= 1
2x3y−z=−5
3x +y+ 2z=0
13) LAY (1999, p.107­109), determine a inversa das matrizes:
[
0 1 2
A= 1 0 3
4 −3 8
F=
[
] [
1 −2 −1
B= −1 5
6
5 −4 5
7
9
−6 −8
]
]
C=
[
−4 −5
5
6
]
D=
[
3 −8
−1 3
]
E=
[
3 −7
6 13
14)LAY( 1999, p.109),use a inversa para resolver o sistema linear:
­4x ­ 5y=­4
5x + 6y=2
15)T1 KOLMAN (1999, p 70) ,encontre todos os valores de a para os quais a inversa de
[ ]
1 1 0
A= 1 0 0
0 2 a
existe. Calcule A­1 nesses casos. 16) T1 KOLMAN (1999, p 70), determine quais das matrizes a seguir são inversíveis [
1 2
A=
−2 1
]
[ ] [ ]
1 2 3
B= 4 5 6
7 8 9
1 2 3
C= 4 5 6
7 8 0
]
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17)KOLMANN (1999, p 71), determine as inversas das matrizes.
[ ]
A=
1
2
2
4
[ ] [ ]
1 0 0
B= 0 1 0
1 1 1
1 2 1
C= 0 1 2
1 0 0
USANDO WXMAXIMA Construção de matrizes de listas. (%i1) x: matrix ([17, 3], [­8, 11]);
[ 17
3
[
[ - 8 11
(%i2) y: matrix ([%pi, %e], [a, b]);
[ %pi %e
(%o2)
[
[ a
b
(%o1)
]
]
]
]
]
]
Multiplicação, elemento por elemento. (%i5) x * y;
(%o5)
[ 17 %pi
[
[ - 8 a
3 %e ]
]
11 b ]
Multiplicação não comutativa de matrizes. (%i10) x . y;
(%o10)
(%i11) y . x;
(%o11)
[ 3 a + 17 %pi
[
[ 11 a - 8 %pi
[ 17 %pi - 8 %e
[
[ 17 a - 8 b
3 b + 17 %e ]
]
11 b - 8 %e ]
3 %pi + 11 %e ]
]
11 b + 3 a
]
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construção de matrizes exemplo : matriz de Hilbert
(%i1) h [i, j] := 1 / (i + j ­ 1);
(%o1)
h
i, j
(%i2) genmatrix (h, 3, 3);
[
[
[
[
[
(%o2)
[
[
[
[
[
[
1
:= --------i + j - 1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1 ]
- ]
3 ]
]
1 ]
- ]
4 ]
]
1 ]
- ]
5 ]
Fonte:http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/maxima_25.html
REFERÊNCIAS
LAY, David C. Álgebra Linear e suas aplicações. 2.ed. RJ: Editora LTC, 1999.
KOLMAN, Bernard.Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações. 6a edição.RJ.Editora
LTC.1999.
BOLDRINI, L. J.et.al. Algebra Linear. 3a edição. SP. Editora Harbra. 1980.
disponível em
http://www.gregosetroianos.mat.br/Erros/Cramer/Links/index_lnk_3.html
acessado em 01/09/2009
disponivel em http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/maxima_25.html, acessado em
17/09/2009.