metodos quanti aplicado minha - 2011

UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO
UNINOVE
Material de apoio
Métodos Quantitativos
Aplicado
1ª versão
Material elaborado por: Professora Marcia Terezinha dos Reis Santos
Professora Nadya Aparecida de Ávila
Professor Paulo Sergio Pereira da Silva
Professor Sérgio Rollo dos Santos
São Paulo, Fevereiro de 2011
2011
2
ÍNDICE
APRESENTAÇÃO....................................................................................................................................................................................................03
MONOMIOS E POLINOMIOS..................................................................................................................................................04
NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITES............................................................................................................................................................................06
PROPRIEDADES DE LIMITES................................................................................................................................................................................07
DERIVADAS (T.V.M)..............................................................................................................................................................................................14
REGRAS DE DERIVAÇÃO................................................................................................................................................................................17
PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO...............................................................................................................................................................21
INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA.......................................................................................................................................................................25
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA..................................................................................................................................................................25
GRÁFICOS................................................... ...........................................................................................................................................................................31
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.........................................................................................................................................................38
SEPARATRIZES........................................................................................................................................................................................................46
MEDIDAS DE DISPERSÃO..................................................................................................................................................................................52
PROBABILIDADE...............................................................................................................................................................................................................56
FATORIAL – DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL............................................................................................................................................................63
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (Z).....................................................................................................................................................................................67
EXERCICIOS SUPLEMENTARES.............................................................................................................................................................................73
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.........................................................................................................................................................................78
Todos os direitos reservado e protegidos pela Lei
9.610 de 19/02/98. Nenhuma parte desta
apostila, sem autorização prévia por escrito do
autor, poderá ser reproduzida ou transmitida
sejam quais forem os meios empregados:
eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação
ou quaisquer outros.
2
3
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a),
Ao longo de nossa vida acadêmica, são grandes as novidades e os desafios que se colocam diante
de nós. As relações entre professores e alunos são mediadas por linguagens e regras específicas,
diferentes daquelas que aprendemos a decifrar e a empregar em nossa vida escolar e profissional. Esse
universo desconhecido desperta, a um só tempo, curiosidade e temor. A final será que conseguiremos
dominar todas essa novidades e sobreviver a elas?
Esse material foi elaborado com o intuito de lhe apresentar algumas dessas normas e linguagens e,
assim, ajudá-lo a desvendar parte desse universo desconhecido. Espero, com as dicas que seguem,
oferecer-lhe algumas ferramentas úteis para o seu desenvolvimento profissional e a acadêmico. Não
pretendo fazer com que você domine todo esse instrumental logo de saída., longe disso. Você só
aprenderá tudo o que aqui está contido à medida que for empregando cada uma das ferramentas. No início
lhe parecerão complexas, com o passar do tempo você aprenderá a decodificá-las e a utilizá-las
corretamente, de modo que elas passarão a fazer parte tanto do seu vocabulário quanto de seu repertório
de práticas.
O objetivo deste material é preparar o discente para a vida acadêmica, despertando-lhe o desejo de
aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes aspectos da
realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como objetivo principal
mostrar, de forma clara, por meio de exemplos práticos, os conceito da matemática financeira e suas
aplicações, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fácil compreensão.
Vele salientar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros, e
apostilas, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este material serve como
complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreensão, dessa forma, não substitui, em hipótese
alguma, a pesquisa em livros específicos.
Os(as) autores(as),
3
4
MONÔMIOS E POLINÔMIOS
Multiplicação de Monômio por Polinômios
Multiplicamos cada termo do polinômio pelo monômio.
Ex: 4a . (2 a – 3x )
Propriedade distributiva
Solução:
8 a2 – 12ax
Multiplicação de Polinômio por Polinômio
Devemos multiplicar cada termo do polinômio por todos os termos do outro polinômio e a seguir
reduzimos a termos semelhantes através das operações de adição e subtração.
Ex: (2x+3).(4x-5)
Propriedade distributiva
Solução:
8x2 – 10x + 12x – 15 (Reduzindo os termos semelhantes)
8x2 + 2x – 15
Modo Prático
Solução:
2x + 3
4x - 5
8x2 + 12x
- 10x -15
8x2 + 2x -15
Divisão de Polinômio por Monômio
Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio.
Ex: (15x3 – 4x2) : (- 5x)
Solução:
15 x 3
= −3 x 2
− 5x
− 4x 2
4x
=
− 5x
5
- 3x 2 +
4x
5
Divisão de Polinômio por Polinômio
Para efetuarmos esta divisão devemos seguir alguns passos.
Ex: (2x2 – 5x – 12): (x – 4)
1º Passo: Observar se as potências de x estão em ordem decrescente;
2º Passo: Colocar a chave de divisão;
3º Passo: Dividir o primeiro termo do dividendo (2x2) pelo primeiro termo do divisor (x) e obtenha o
primeiro termo do quociente
2x2 – 5x –12
x–4
.
2x
4º Passo: Multiplicar o primeiro termo do quociente (2x) pelos termos do divisor, colocando os produtos
com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes do dividendo.
4
5
5º Passo: Reduza a termos semelhantes ( Adição ou Subtração)
x–4
.
2x2 - 5x -12
-2x2 + 8x
2x
+ 3x – 12
6º Passo: Repete-se as passagens anteriores até que o dividendo termine.
2x2 - 5x -12
x–4
-2x2 + 8x
+ 3x -12
- 3x +12
0
2x +3
.
Resposta: 2x+3
EXERCICIOS
1) Efetue:
a) (2x2 - 9x + 2) + (3x2 + 7x - 1)
b) (x2 - 5x + 3) + (-4x2 - 2x)
c) (4x – y - 1) – (9x + y + 3)
d) (6x2 - 6x + 9) – (3x2 + 8x - 2)
e) (x2 + 2xy + y2) – (y2 + x2 + 2xy)
f) (2x3 -3x2 + 4x -1) + (x3 + 2x2 -5x + 3)
g) (4x2 +3x - 4) - (2x3 + x2 - x + 2)
R. 5x2 - 2x + 1
R. -3x2 - 7x + 3
R. -5x - 2y - 4
R. 3x2 - 14x + 11
R. 0
3
2
R. 3x – x – x + 2
3
2
R. -2x + 3 x + 4x - 6
2) Calcule os produtos:
a) a2 (m + a3)
b) 2x (x - 2x + 5)
c) (3x2- 4x -3) (x + 1)
d) (x2 + x + 1) (x - 3)
e) (2x + 5)(2x - 5)
f) (3x + 2) (4x – 5)
g) (x2 – 4x + 3) (x2 + 4x + 5)
R. a2m + a5
R. -2x2 + 10x
R. 3x3 - x2 - 7x - 3
R. x3 -2x2 - 2x - 3
R. 4x2 – 25
R. 12x2 -7x - 10
R. x4 – 8x2 – 8x + 15
3) Efetue as divisões:
a) (x3 + 2x2 + x ) : (x)
R. x2 + 2x + 1
b) (3x4 - 6x3 + 10x2) : (-2x2)
R.
c) (x2 + 5x + 6) : (x + 2)
d) (2x2 + 6x + 4) : (x + 1)
e) (x3 - 27) : (x - 3)
f) (x2 - 9) : (x - 3)
R. x + 3
R. 2x + 4
R. x2 + 3x + 9
R. x + 3
−
3 2
x + 3x − 5
2
5
6
NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Seja a função f(x) = 2x +1, vamos dar valores para x que se aproximem de 1, pela sua direita
(Valores maiores que 1) e pela sua esquerda (Valores menores que 1), e calcular y.
X
1,5
1,3
1,1
1,05
1,02
1,01
x
0,5
0,7
0,9
0,95
0,98
0,99
y = 2x + 1
4
3,6
3,2
3,1
3,04
3,02
y = 2x + 1
2
2,4
2,8
2,9
2,96
2,98
y
Y = 2x + 1
3
0
x
1
À medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende a 1 ( x → 1 ),
y tende a 3 ( y → 3 ), então temos a notação ...
lim ( 2x + 1 ) = 2(1) + 1 = 3
x→ 1
Genericamente temos ...
lim f(x) = b
x→ a
… mesmo que em alguns casos para x = a resulte y ≠ b.
6
7
PROPRIEDADES DOS LIMITES
⇒Limite da Soma ou Limite da Diferença
O limite da soma ou da diferença de duas funções é igual à soma ou a diferença dessas funções, isto
é:
lim [ f(x) ± g(x) ] = lim f(x) ± lim g(x) = a ± b
x→a
x→a
x→a
Exemplos :
x + lim
4x² = 2 + 4 . 2² = 2 + 4 . 4 = 2 + 16 = 18
a) lim ( x + 4x² ) = lim
x→ 2
x→ 2
x→ 2
b) lim ( 4x² - x ) = lim 4x2 - lim x
x→ 2
x→ 2
x→ 2
= 4 . 2² - 2 = 4 . 4 - 2= 16 - 2 = 14
⇒Limite do Produto
O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é:
lim [ f(x) . g(x) ] = lim f(x) . lim g(x) = a . b
x→a
x→a
x→a
Exemplo :
4 . lim
x2 = 4 . 32 = 4 . (3 . 3) = 4 . 9 = 36
a) lim 4x2 = lim
x→ 3
x→ 3
x→ 3
⇒ Limite do Quociente
O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções (exceto
quando o limite do divisor for igual a zero), isto é:
lim
x→a
lim
f ( x)
x→a
g ( x) =
lim
x→a
f ( x)
g ( x)
Exemplo :
a) lim
x→2
(x+3)
(x+4)
lim ( x + 3 )
= x→2
lim ( x + 4 )
x→2
= 2+3 =
2+4
5
6
7
8
⇒ Limite de uma potência
O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função,
isto é:
n
n
lim f(x) =
x→a
lim f(x) , n ∈ N* = an se a > 0
Exemplo :
3
a) lim ( x² - 2 )3 = lim ( x² - 2 ) = ( 2² - 2 )3 = ( 4 – 2 )3 = 23 = 8
x→2
x→2
⇒ Limite de uma raiz
O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função., isto é:
lim
f ( x)
n
x→a
=n
lim
f ( x)
x→a
, n ∈ Ν * ∧ f ( x ) ≥ 0. ( Se f(x) ≤ 0, n é ímpar )
Exemplo :
lim
x3 + x2 −1
=
lim
x→2
x3 + x2 −1
= 2 3 + 2 2 − 1 = 8 + 4 − 1 = 11
x→2
⇒ outra propriedade (Forma indeterminada)
É quando uma expressão sem significado, ou seja 0/0 não fornece uma solução para um determinado
problema. Uma estratégia que pode ser utilizada para resolver este tipo de problema é a seguinte:
• Substitua a função dada por outra mais apropriada que assuma os mesmos valores que a função
original em todos os pontos exceto x = a .
• Calcule o limite desta função quando x se aproxima de a
Exemplos:
1) lim
x→2
4(x² - 4) (como tanto o numerador como o denominador desta expressão se aproxima de zero
x-2
quando x se aproxima de 2, temos aqui a forma indeterminada 0/0). Podemos escrever:
4(x² - 4 ) = 4(x – 2) ( x +2)
(x – 2)
(x – 2)
que, após cancelamento dos fatores comuns, é equivalente a 4(x + 2), e tomamos o limite quando x se
aproxima de 2, obtendo:
lim 4(x² - 4) = lim 4( x + 2) = 4 ( 2 +2) = 4 . 4 = 16
x→2
x-2
x→2
2 ) lim
x→2
( x + 2 ).( x – 2 ) = lim ( x + 2 ) = 2 + 2 = 4
x² - 4 = lim
x–2
x →2
(x–2)
x→2
8
9
x −4
para x = 2 ( Indeterminação ). Trocamos então
x−2
2
► Nota-se a impossibilidade de calcularmos
x2 − 4
por x + 2 , possibilitando assim o cálculo quando x = 2.
x−2
3 ) lim x² - 4x + 3 = lim ( x – 3 )( x – 1 ) = lim
x→3
x² - 9
x → 3 ( x + 3 )( x – 3 )
x→3
x –1 = 3 – 1 = 2 = 1
x+3 3+3 6
3
4) lim 2x3 + x2 – 4x + 1 = 0 , os polinômios se anulam.
3
2
x → 1 x – 3x + 5x – 3
0
Portanto, pelo teorema de D´Alembert, são divisíveis por (x – 1), isto é, (x - 1) é um fator comum em:
(2x3 + x2 – 4x + 1) e (x3 – 3x2 + 5x – 3) . Então, faz-se:
2x3 + x2 – 4x + 1
-2x3 + 2x2
3x2 - 4x
-3x2 + 3x
-x+1
+x–1
0
|x – 1
nnnn
2x2 + 3x - 1
x3 – 3x2 + 5x – 3
-x3 + x2
-2x2 +5x
+2x2 - 2x
3x - 3
-3x + 3
0
|x – 1
nnnn
x2 -2x + 3
Logo: lim 2x2 + 3x – 1 = 2
2
x → 1 x -2x + 3
E X E R C Í C I O S
1) Calcular
lim
( 2 x 2 + 3 x − 4) =
a)
x→2
b)
lim (3 x + 4 ) =
x →2
c)
d)
5
=
x →0 x − 1
lim
( x 2 + 3 x + 4)
lim
x → −1
e ) lim 3x - 9 =
x→5 x - 3
f)
Resposta:10
Resposta: - 5
=
Resposta: 2
Resposta: 3
x2 – 7x =
x+2
Resposta: 0
2x² - 3x + 1 =
3x² + 2x - 1
Resposta: 0
lim
x→7
g ) lim
x→1
Resposta:10
h)
lim
x→-2
x5 - 4 =
x -2
Resposta: 9
i)
lim
x→6
2x – 5 =
Resposta:2
9
10
j) lim
x→ 3
l) lim
x→7
x² + 3 =
x2
Resposta:2
x² + 3
4
Resposta: 13
m) lim x² + 4x - 2 =
x→5
Resposta: 43
lim (5 + 3x )7 =
x→- 2
Resposta: -1
n)
o) lim | ( x – 1 ) . ( x + 4 )| =
x→ 0
Resposta: 4
p) lim x 2 + 3 x + 1 =
x→ 1
Resposta: 5
x2 + 2x -3
q) lim
→ -1
x
2x2 – x + 1
→1
s) lim
x
2
=
Resposta: 4
3x - 2
3
x3 + 2 x 2 − 3x + 2
x2 + 4x + 3
Resposta: -2
3x3 − 5 x 2 − x + 2
4x + 3
Resposta: 2
→ -2
t) lim
x
Resposta: 4/7
4x - 3
r) lim
x
=
3
→ -2
2) Calcule os limites indicados, caso existam.
a) lim
x
Resposta: 2
→1 x-1
b) lim
x
x² -1 =
→ -2
x² - 4
=
Resposta: - 4
x+2
10
11
c) lim
x
2x² - 3x
→0
2(z2 – 4) =
→2
3x3 – 4x2 – x + 2
→1
f) lim
x
=
Resposta: 5/3
2x3 – 3x2 + 1
x3 – 3x2 + 2
=
Resposta: 3/5
→ 1 x3 – 4x2 + 3
x3 – 3x2 + 6x - 4
g) lim
x
Resposta: 8
z-2
e) lim
x
Resposta: -3
x
d) lim
z
=
→1
=
Resposta: 1
x3 – 4x2 + 8x - 5
MAIS EXE RCÍCIOS
1) Calcular os limites utilizando as propriedades da soma ou da diferença :
a)
lim
( x 2 − 1) =
x→2
x +1
x→3 x + 2
b ) lim
c)
lim x3 +1 =
x→1 x - 1
Resposta: 3
Resposta: 4/5
Resposta: não existe
d ) lim x3 - x =
x→2
x
Resposta: 3
e) lim
x → -2
Resposta: -1
3x + 1 =
5
2) Propriedade do produto:
a ) lim 2x2 =
x→2
Resposta: 8
b ) lim 2x² + 3 =
x→1
Resposta: 5
c) lim 3x2 =
x→ 2
Resposta: 12
11
12
3) Propriedade do quociente:
a) lim
(x + 2) =
x → 1 ( x + 3)
b) lim
x² + 4 =
x→2
2+x
Resposta: 3/4
c) lim
x→1
Resposta: -5/3
Resposta: 2
x² - 16 =
8+x
4) Propriedade da potência:
a) lim (x² - 2)2
x→1
b) lim
x→ 1
2x² - x + 1
2
=
Resposta: 1
Resposta: 4
3x - 2
c) lim (3x² - 5x + 2)2 =
x→2
Resposta: 16
5) Propriedade da raiz:
a) lim 2 x 3 − x 2 =
x→ 2
Resposta: 12
b) lim x 3 + 3 =
x→ 1
1
c) lim
x=
2
x→ 2
Resposta: 2
Resposta: 1
6) Limites indeterminados:
a) lim x² - 64
=
→8
x-8
b) lim
x² - 9
→3
x-3
x
x
c) lim
x² - 4
→2
x2 - 2x
x
d) lim
x
→1
Resposta: 16
=
Resposta: 6
=
Resposta: 2
x² - 3x + 2 =
Resposta: -1
x -1
12
e) lim
x
→1
f) lim
x
3
13
2
3x – 4x – x + 2
=
Resposta: 5/3
2x3 – 3x 2 + 1
x3 – 1
=
Resposta: 3/2
→ 1 x2 – 1
A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de
120 x 2
onde T(x) é medido em milhões de dólares e x é o
bilheteria é aproximada pela função T(x) = 2
x +4
número de meses do filme em cartaz. Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro mês de
lançamento? E após o segundo mês? E após o terceiro mês?
7) APLICAÇÃO:
Resp. $ 24 milhões;
$ 60 milhões;
$ 83,076923 milhões aproximadamente $ 83,1 milhões
13
14
DE RIVADAS
RAZAO DE VARIAÇÃO MÉDIA – OU TAXA DE VARIAÇAO MÉDIA
Seja f uma função definida num conjunto D e x0 e x0 + ∆x dois pontos de D. Quando a variável
x passa do valor x0 para o valor x0 + ∆x sofrendo uma variação ∆x, o correspondente valor da função
passa de f(x0 ) para o valor f(x0 + ∆x ) sofrendo, portanto, uma variação:
∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0)
Conforme mostra a figura a seguir:
y
f(x0 + ∆x)
∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0)
f(x0 )
∆x
x0
x0 + ∆ x
x
O quociente ∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0) recebe o nome de razão média das variações ou taxa de
∆x
∆x
variação média da função.
EXEMPLOS
1) Seja a função f tal que f(x) = 3x + 1, com x ∈ R.
Se x0 = 1;
x0 + ∆x = 4;
portanto, ∆x = 4 - 1 = 3
Então: f(x0) = 3 . 1 + 1 = 4
f(x0 + ∆x) = 3(x0 + ∆x) + 1 = 3 . 4 + 1 = 13
Logo,
∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0) = 13 – 4 = 9 = 3
∆x
∆x
3
3
14
15
Graficamente:
y
13
∆y = 9
4
∆x
1
4
x
2) Seja a função f tal que f(x) = x2 + 5, com x ∈ R.
Se x0 = 2;
x0 + ∆x = 4;
portanto, ∆x = 4 - 2 = 2
Então: f(x0) = 22 + 5 = 9
f(x0 + ∆x) = 42 + 5 = 16 + 5 = 21
Logo,
∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0) = 21 - 9 = 12 = 6
∆x
∆x
2
2
3) Seja a função f tal que f(x) = x3 - 1, com x ∈ R.
Se x0 = 4;
x0 + ∆x = 0;
portanto, ∆x = 0 - 4 = -4
Então: f(x0) = 43 - 1 = 64 – 1 = 63
f(x0 + ∆x) = 03 - 1 = -1
Logo,
∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0) = -1 – 63 = -64 = 16
∆x
∆x
-4
-4
4) Seja a função f tal que f(x) = x + 1, com x ∈ R.
Se x0 = 4;
x0 + ∆x = 5;
portanto, ∆x = 5 - 4 = 1
Então: f(x0) = 4 + 1 = 5
f(x0 + ∆x) = 5 + 1 = 6
Logo, ∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0) = 6 – 5 = 1 = 1
∆x
∆x
1
1
15
16
EXERCICIOS
1) Calcular a Taxa Média de Variação das funções abaixo para os pontos indicados:
a) f(x) = 4x + 1
x0
x0 + ∆ x
2 e 3
b) f(x) = -4x
2 e
5
c) f(x) = x + 2
2 e
10
d) f(x) = -x + 1
2 e
6
e) f(x) = 2x + 3
-5 e
5
f) f(x) = -4x + 5
0 e
10
g) f(x) = x2 + 2
0 e
3
h) f(x) = x2 –12x + 13
2 e
4
i) f(x) = x2 – x + 1
1 e
2
j) f(x) =
2 e
3
l) f(x) = 2x + 4
3x - 2
0 e
1
m) f(x) = 2x
3 e
5
2x
2) Determine a TVM das funções abaixo de acordo com os pontos dados:
a) f(x) = 3x – x2
(-2; -10)
1
1
b) f(x) = (3; - )
x
3
3) Seja y = x2 -4x. Calcule a TVM de y em relação a x no intervalo de 3 à 4 .
Respo
stas
a) 4
b) -4
c) 1
d) -1
e) 2
f) -4
g) 3
h) -6
i) 2
j) 6 -2
l) 8
m) 12
2a) 15
2b) -1
3) 3
4) 0,40
5) 9
6) 7,50
4) A função demanda para um certo tipo de barracas para acampamento é dada por p(x) = - 0,1x2 + x + 40, onde p é
medido em dólares e x em milhares. Calcule a TVM do preço unitário da barraca se a quantidade em demanda estiver
entre 2mil e 4mil barracas.
5) As projeções são de que o Produto Interno Bruto (PIB) de certo país seja de N(t) = t2 + 2t + 50 bilhões de
dólares daqui a t anos. Qual será a TVM desse país entre 2 e 5 anos próximos?
6) O faturamento mensal (em dólares) obtido com a venda de certos barbeadores elétricos está relacionado
1
ao preço (p) por unidade é representado através da equação R(p) = - p2 + 30p. Calcule o faturamento
2
médio quando o preço de um barbeador estiver entre $15 e $30.
16
17
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Nem sempre necessitamos calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite
da razão incremental, mas esse método, além de ser repetitivo para certos tipos de funções como as
lineares e polinomiais, por exemplo, só é prático para funções muito particular e simples. Por este motivo,
temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais
fácil e rápida.
1.Derivada de uma função constante
Seja f: R→ R definida por f(x) = c. A sua derivada em um ponto x qualquer do seu domínio é dada por:
f´(x)(c) = 0
Exemplo: Dada a função f(x) = 2
f´(x) = f(x + ∆x) - f(x) = 2 – 2 = 0
∆x
∆x
Logo, f(x) = 2 ⇒ f’(x) = 0
2.Derivada da função potência
Seja n um número natural e f(x) = xn, então:
f(xn) = n . xn-1
Exemplos
a) Dada a função f(x) = x2
Resolução: n = 2
f´(x) = n . (x)n-1 = 2(x)2-1 = 2(x)1 = 2x
b) Dada a função f(x) = x1/4
Resolução: n = 1/4
1
−1
1
f´(x) = n . xn-1 = (x) 4
4
1 -3/4
f’(x) =
x
4
( obs. Tira-se o m..m.c de
1
−1)
4
c) Dada a função f(x) = x-4
Resolução: n = -4
f´(x)
= n . xn-1 = -4x-4-1 = -4x-5 = -4 .
1
4
=- 5
5
x
x
3. Derivada do produto
A derivada do produto de duas funções diferenciáveis é igual ao produto da primeira função pela
derivada da segunda função mais o produto da segunda função pela derivada da primeira. Analogamente,
o produto de mais de duas funções diferenciáveis é igual a soma dos produtos da derivada de cada função
pelas outras funções. Se f(x) = uv, onde u = f(x) e v = g(x) são funções diferenciáveis de x:
f(x) = u . v´ + v. u´
17
18
Exemplo
a) Se f(x) = (x3 + 4) (x + 3)
Resolução: u = (x3 + 4)
u´ = 3x2
v = (x + 3)
v´ = 1(x1-1) = 1
f´(x) = (x3 + 4) (1) + (x + 3)(3x2 )
f(x) = x3 + 4 = 3x3 + 9x2
f´(x) = 4x3 + 9x2 + 4
4. Derivada da soma de duas funções
A derivada da soma de um número finito de funções lineares é igual a soma das duas derivadas:
Se f(x) = u + v, onde u = f(x) e v = g(x) são funções diferenciáveis de x:
f(x) = u´ + v´
Exemplos:
a) Dada a função f(x) = 3x2 + 4x + 2
Resolução: u = 3x2
u´ = 2 . 3x = 6x
f´(x) = 6x + 4
v = 4x
v´ = 1 . 4 = 4
b) Dada a função f(x) = 4x3 - 4x2 + 1
Resolução: u = 4x3
u´ = 3 . (4x2) = 12x2
v = -4x2
v´ = 2 . (-4x) = -8x
f´(x) = 12x2 – 8x
5. Derivada do quociente de duas funções
A derivada do quociente de duas funções diferenciáveis é igual ao quociente do produto do
denominador pela derivada do numerador menos o produto do numerador pela derivada do
denominador, dividido pelo quadrado do denominador: Se f(x) = u/v, onde u = f(x) e v = g(x) são
funções diferenciáveis de x:
v . u´
f(x) =
-
u . v´
v2
Exemplos
a) Se f(x) = x2 – 4x + 1
x-6
Resolução: u = x2 – 4x + 1
u´ = 2x - 4
v=x-6
v´ = 1
18
2
2
19
2
f´(x) =[ (x - 6) (2x –4)] – [(x – 4x + 1 (1)] = 2x – 12x – 4x + 24 – x + 4x - 1
(x – 6)2
x2 – (2 . x . 6) + 62
f´(x) = 2x2 –16x + 24 - x2 + 4x - 1
x2 – 12x + 36
2
f´(x) = x – 12x + 23
x2 – 12x + 36
b) Se f(x) = 4
x6
v = x6
v´ = 6x5
Resolução: u = 4
u´ = 0
f´(x) = (x6)(0) – 4 (6x5)
(x6)2
f´(x) = –2 4x5) =
x12
-24
(x)7
6. Derivadas Sucessivas de uma Função
Seja f’a função derivada de uma função f, num intervalo aberto I. Se f’é derivável em I podemos
considerar a função f’’ derivada de f’em I. Tal função recebe o nome de derivada segunda de f em I. De
modo análogo podemos definir as derivadas terceiras, quartas etc., de f em I. Estas derivadas serão
indicadas por: f’’; f(2); d2f; d2y; y’’ – derivada segunda
dx2 dx2
fn;
f(n)
dny; dny; yn - derivada de ordem n
dxn dxn
EXEMPLOS
1) f(x) = x2
2)f(x) = x4 – x3
f’(x) = 2x (derivada primeira)
f’’(x) = 2 (derivada segunda)
f’’’(x) = 0 (derivada terceira)
f(4)(x) = 0 (derivada quarta)
f’(x) = 4x3 – 3x2
f’’(x) = 12x2 – 6x
f’’’(x) = 24x - 6
f(4)(x) = 24
f(5)(x) = 0
EXERC ICIOS
1) Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
a) f(x) = 20
b) f(x) = x3
c) f(x) = 4x2
d) f(x) = 3x3 + 20
e) f(x) = 10x + 5
f) f(x) = x2 – 6x + 8
g) f(x) =x3 – 10x2 + 50
h) f(x) = x4 – 6x2 + 20
19
20
2) Calcule a derivada das funções potência abaixo:
a) f(x) = x-5/3
b) f(x) = x1/2
c) f(x) = x3
d) f(x) = x3/2
3) Calcule a derivada do produto das funções:
a) f(x) = (3x4 + 2) (x + 2x)
b)f(x) = (3x2 + 5) (x2 + 2)
2
2
d) f(x) = (2x + 1) (x +2)
e)f(x) = (3x + x2) (2x +1)
c) f(x) = (x2 +1) (x3 + 2x)
4) Calcule a derivada da soma das funções:
a) f(x) = x + 1
b)f(x) = x2 + 3
d) f(x) = x3 - 2
c) f(x) = x2 - ex
5) Calcule a derivada do quociente:
a) f(x) = x + 1
x–1
b) f(x) = x + 3
x -1
c) f(x) = x2 + 3x + 1
x-2
d) f(x) = x2 + 1
x+1
e) f(x) = 3…..
2x3
6) Calcule as derivadas sucessivas f(´´´) das funções:
a) f(x) = 3x2 + 5x + 6
b) f(x) = 4x2 + 2x
c) f(x) = 2x + 4
d) f(x) = 3x2
e) f(x) = x6
f) f(x) = x4 - 3x3 + 2x + 1
g) f(x) = 1 – x3
h) f(x) = x4 - 6x2 + 10
i) f(x) = x2 - 5x + 8
j) f(x) = x3 – 10x2 + 2
4
k) f(x) = x3 - 5x2 + 10
3
Respostas
2
1a) 0 b) 3x
5
2a) - x-8/3
3
1 -1/2
b)
x
2
c) 3x2
3 1/2
d)
x
2
c) 8x
d) 9x
2
3a) 45x4 +6
b) 12x3 + 22x
c) 5x4 + 9x2 + 2
d) 8x3 + 10x
e) 6x2 + 14x + 3
4a) 1
b)2x
c)2x – ex
d) 3x2
e) 10
f) 2x – 6
g) 3x2 – 20x
5a) – 2/(x –1)2
b) –4/(x-1)2
c) x2 – 4x - 7
(x –2)2
d) x2 + 2x - 1
(x +1)2
e) –18
4x4
h) 4x3 – 12x
6a) 0
b) 0
c) 0
d) 0
e) 120x3
f) 24x –18
g) –6
h) 24x
i) 0
j) 6
k) 8
20
21
PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO
1º Momento – Cálculo das coordenadas (abscissas e ordenadas) de pontos de máximos e/ou mínimos
absolutos.
2º Momento – Cálculo de áreas e volumes de algumas figuras planas.
Demonstrações:
Consideremos y = f(x) uma função de variável real ( x ∈ ℜ) com as seguintes condições:
-
Definida – Existe o valor numérico para qualquer ponto de intervalo considerado[a,b] =
{x ∈ ℜ / a ≤ x ≤ b}, seja α ∈ [a,b] – condição de f (x) ser definida: ∃ f (α ) .
Derivável – Existe o limite da função para x tendendo a qualquer ponto do intervalo considerado:
∃ lim f ( x)
-
Contínua – O valor numérico deverá ser igual ao limite de f(x)
-
x →α
f ( x) =
lim
α
f (α )
x→
Portanto, sendo a função dada definida, derivável e contínua podemos esboçar graficamente:
. .
E
.
A
a
C
.
B
.
D
.
x
b
F
Os pontos B, D e F são pontos de mínimo relativos.
O ponto F é chamado de mínimo absoluto.
Os pontos A,C e E são pontos de máximo relativos.
O ponto E é chamado de máximo absoluto.
Nosso objetivo está focado em calcular os pontos de máximos e mínimos absolutos. Descreveremos a
seguir um roteiro, ou seja, uma seqüência de procedimentos para chegarmos ao nosso objetivo:
Para uma função f(x),
I)
Calcular a derivada de 1ª ordem da função dada. (f’(x));
II)
Transformar a função derivada de 1ª ordem numa equação (f’(x) = 0)
III)
Achar as raízes da função obtida.
21
22
x = α
sendo α e β raízes da função
f ' ( x) = 0  '
 x' ' = β
IV)
Calcular derivada de 2ª ordem. (f’’(x));
V)
Estudar o sinal de f’’(x) para as raízes obtidas.
Se:
f ' ' (α ) > 0 , então abscissa de mínima.
f ' ' (α ) = 0 , então nem máxima nem mínima.
f ' ' (α ) < 0 , então abscissa de máxima.
Mesmo procedimento para f ' ' ( β ) ;
VI)
Para calcular a ordenada basta achar o valor numérico da função para as raízes obtidas,
(substituir x na função dada).
EXEMPLOS:
1) Seja a função f(x) = -x2 + 2, determine os pontos de máximo ou de mínimo se houver.
I) f´(x) = -2x
II) f´(x) = 0
III)
-2x = 0
x = 0/(-2) x = 0
IV) f´´(x) = -2
V) f´´(x) = -2
⇒ ( -2 < 0, abscissa máxima)
VI) f(x) = -x2 + 2
f(x) = (-0)2 + 2
f(x) = 2 Portanto, PM ( 0; 2)
2) Seja a função f(x) = x2 + 6x - 3, determine os pontos de máximo ou de mínimo se houver.
I) f´(x) = 2x + 6
II) 2x + 6 = 0
III) 2x = -6
x = (-6) / 2
x = -3
IV) f´´(x) = 2
V) 2 ⇒ (2 > 0, abscissa mínima)
VI) f(x) = x2 + 6x - 3
f(x) = (-3)2 + 6(-3) - 3 =
f(x) = 9 – 18 - 3 = -21 + 9 = -12
Portanto, Pm (-3; -12)
3) Seja a função f(x) = -x2 + 6x - 3, determine os pontos de máximo ou de mínimo se houver.
I) f´(x) = -2x + 6
II) -2x + 6 = 0
III) -2x = -6 x = (-6) /(- 2) x = 3
22
23
IV) f´´(x) = -2
V) f´´(x) = -2 ( -2 < 0, abscissa máxima )
VI) f(x) = x2 + 6x - 3
f(x) = -(3)2 + 6(3) - 3
f(x) = -9 + 18 - 3 = 6
4) Dada a função f ( x) =
Portanto, PM ( 3; 6)
2 3
x − 5 x 2 + 8 x − 1 , determine os pontos de máximos e mínimos da função, se
3
houver:
I) f ' ( x) = 2 x 2 − 10 x + 8
II) 2x2 – 10x + 8 = 0
III)
2 x 2 − 10 x + 8 = 0
a=2
b = −10
⇒
c=8
x' =
∆ = (−10) 2 − 4.2.8
∆ = 100 − 64
∆ = 36
⇒
x=
− (−10) ± 36
2.2
⇒ ⇒ x' =
10 + 6 16
=
=4
4
4
10 − 6 4
= = 1 ; raízes = 4 e 1
4
4
IV) f ' ' ( x) = 4 x − 10
V) para x = 4
‘para x = 1
f ' ' (4) = 4.4 − 10
f ' ' (1) = 4.1 − 10
f ' ' (4) = 16 − 10
f ' ' (1) = 4 − 10
f ' ' ( 4) = 6
f ' ' (1) = −6
6>0
−6< 0
então, abscissa de mínima
então, abscissa de máxima
VI) para x = 4
para x = 1
f (4) =
f (4) =
f (4) =
f (4) =
f (4) =
f (4) =
2 3
.4 − 5 . 4 2 + 8 .4 − 1
3
2
. 64 − 5 . 16 + 32 − 1
3
128
− 80 + 32 − 1
3
128
− 49
3
128 − 147
3
19
−
3
f (1) =
f (1) =
f (1) =
f (1) =
f (1) =
f (1) =
2 3
.1 − 5 .1 2 + 8 .1 − 1
3
2
.1 − 5 .1 + 8 − 1
3
2
− 5 + 8 −1
3
2
+2
3
2+6
3
8
3
19 
 8

Solução: o par ordenado 1,  é um ponto de máximo e o par ordenado  4,−  é um ponto de mínimo.
3
 3

23
24
EXERCICIOS
1. Determine os pontos de máximo e mínimo das seguintes funções:
b) y = x2 - 7x + 12
c) y = 10x2 + 5x
a) f(x) = x2
2
3
d) y = x + 1
e) y = x - 3x + 4
f) y = (x 3/3) - 5x2 + 21x
2
2
h) y = - x + 12x
i) y = x2 + 3
g) y = x - 5x + 10
2. O lucro total da Cia Alfa é dado pela fabricação e venda de x unidades de suas mercadorias que esta
representada pela função L(x)= -0,02x2 + 300x - 200000. Quantas unidades a Cia deve produzir para
aumentar seus lucros ao máximo?(ponto de máximo).
3. A função que representa o volume de uma caixa é V(x) = 600x - 20x2. Determine a abscissa
máxima da caixa.
4. Entre 1990 e 1998, o consumo C de carne de frango nos Estados Unidos (em libras sem osso por
pessoa) pode ser modelado pela função C(x) = -0,073x2 + 1,64x + 42,4. Determine o valor máximo
absoluto.
5. Uma lanchonete determinou que a demanda mensal de hambúrgueres vendidos aumente cada vez
mais. A função lucro para hambúrgueres é L(x) = 2,44x – x2/20000 + 5000, determine o nível de
produção para qual o lucro em reais é máximo.
6. Uma empresa verificou que a receita total (em reais) com a venda de um produto pode ser
modelada pela função R(x) = -x3 + 45x2 + 525x. Maximize a receita da empresa.
GABARITO
1. a) Pm(0;0)
b) Pm(3,5; -0,25)
c) Pm(-0,25; -0,625)
d) Pm(0; 1)
e) Pm(1; 2) e PM(-1; 6)
f) Pm(7; 16,3) e PM(3; 27)
g) Pm(2,5; 3,75)
h) PM(6; 36)
i) Pm(0; 3)
2. PM(7500; 925000) = 7500 unidades 925.000,00 de lucro
3. Abscissa máxima (-40 )
4. máximo absoluto 51,61 libras
5. PM(24400 hambúrgueres e 34.768,00 de lucro)
6. Pm(-5; -1375) PM (35; 30.625) este ponto é o que representa a maximização da receita da empresa.
24
25
INTROUDUÇÃO A ESTATÍSTICA
A Estatística é uma parte da matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta,
organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de
decisões, em situações de incerteza, a partir de informações numéricas de uma amostra.
População ou Universo: Conjunto de elementos (pessoas ou objetos) que interessam à pesquisa.
Amostra: - Parte da população (universo) ou pequena parte de um todo (população).
OBS.: Que seja fiel a população (amostra representativa).
Ex.: Se o objetivo da pesquisa for verificar se houve aumento da aquisição de eletrodomésticos no ano de
2001 no Brasil, nas camadas populares, a amostra será composta de pessoas de baixa renda,
preferencialmente de várias regiões do Brasil; de ambos os sexos, diversas faixas etárias, etc.
Variáveis
A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Assim por exemplo:
- para o fenômeno “sexo” são dois os resultados possíveis: sexo masculino e sexo feminino;
- para o fenômeno “número de filhos” há um número de resultados possíveis expresso por meio dos
números naturais: 0, 1, 2, 3, .... , n;
- para o fenômeno “estatura” temos uma situação diferente, pois os resultados podem tomar um
número infinito de valores numéricos dentro de um determinado intervalo.
Variável - Substitui um elemento de uma série que pode assumir n valores numéricos ou não
numéricos (é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno).
TÉCNICAS DE LEVANTAMENTO ESTATÍSTICO: Distribuição de Frequência
Por meio de técnicas estatísticas, é possível estudar os conjuntos de dados e, a partir de uma
amostra, tirar conclusões válidas para conjuntos maiores (população).
Entre as várias técnicas adotadas em estatística, abordaremos a de uma variável, concentrando-nos na
chamada estatística descritiva, que consiste em organizar os dados coletados em tabelas de
freqüência e exibindo o número de percentagem de observações em cada classe, podendo ser a
apresentado através de tabelas ou gráficos correspondentes.
De maneira geral, as técnicas estatísticas são utilizadas em três etapas principais do trabalho
de pesquisa:
• a coleta de dados, incluindo o planejamento do trabalho e da pesquisa(questionário ou teste);
• a apresentação dos dados coletados(técnicas específicas);
• a análise dos dados coletados, com a formulação de conclusões e generalizações.
Simultânea a segunda, pois durante a própria organização dos dados já é possível ir
percebendo a tendência geral da pesquisa.
Dados brutos
Como primeiro resultado de uma pesquisa, obtêm-se dados brutos, um conjunto de números
ainda sem nenhuma organização. Esse material é então ordenado de forma crescente ou decrescente,
com a indicação da freqüência, dando origem ao que chamamos de rol.
Um pesquisador, por exemplo, quer saber que idades predominam entre as pessoas economicamente
ativas de determinada cidade. Para isso, entrevistou 100 pessoas e obteve os seguintes dados brutos:
25
26
Idades predominantes
28
30
37
30
31
30
33
30
33
29
27
33
31
27
31
28
27
39
31
24
31
33
30
32
30
33
27
27
31
33
33
29
30
24
30
28
30
27
30
30
30
32
26
30
27
36
33
31
28
33
33
27
29
27
30
29
30
31
27
27
27
34
29
31
27
32
33
36
32
30
31
37
34
30
27
27
33
28
30
34
34
30
29
32
21
24
23
29
30
36
26
29
26
29
34
27
28
30
29
32
O rol desses dados brutos é:
IDAD
E(xi)
21
23
24
26
27
28
29
30
31
32
33
34
36
37
39
Total(n
)
FREQUÊNCI
A(fi)
1
1
3
3
16
6
10
21
10
6
12
5
3
2
1
100
xi: elementos da amostra (no caso, idade);
fi : frequência, repetições ou peso de cada valor da amostra.
Tabulação de dados
Continuando com a mesma pesquisa, depois de elaborar o rol é necessário determinar quantas
faixas etárias terá a tabela de freqüência. O passo seguinte é subdividir os dados por classe ou
categoria (no caso, a faixa etária) e determinar o número de indivíduos pertencentes a cada uma,
resultando na frequência de classe.
k: número de classes que a tabela de classe deverá conter
n: número de elementos da amostra
Como diretriz geral, recomendamos usar entre cinco e vinte classes (k). Os conjuntos de
dados com um número maior de observações usualmente exigem um número maior de classes.
Conjuntos de dados com um número menor de observações podem em geral ser facilmente
sintetizados com apenas cinco ou seis classe.
Então, se você tem uma amostra com 100 dados, pode organiza-los em uma tabela de distribuição de
freqüência com k = n = 10 classes.
26
27
Encontrando o valor de k, é preciso determinar o intervalo de classe, isto é, o tamanho que
cada classe deverá ter. Chamaremos de h essa amplitude de classe, que será constante, isto é, todas as
k classes deverão ter a mesma amplitude. Para calcular h, fazemos:
AT = Xmáx. - Xmín.
h = AT
k
h
: amplitude do intervalo
Xmáx. : o maior valor de dados
Xmín. : o menor valor de dados
AT. : amplitude total, isto é, a diferença entre o maior e o menor valor de dados
Em nosso exemplo temos:
AT = Xmáx - Xmín. = 39 - 21 = 18
Logo, h = 18/10 = 1,8
Em seguida, o pesquisador determina os limites de cada classe: o limite superior (ls) e o limite
inferior (li), aplicando um dos quatro conceitos de intervalo que já estudamos. Escolhe um ponto de
partida, de acordo com os interesses da pesquisa. Pode decidir, por exemplo, que o limite inferior
será 20. A partir dele, serão construídas as classes da tabela de freqüência, que deverá abranger todos
os elementos do rol. Caso não ocorra a abrangência de todos os elementos do rol deveremos
aumentar a amplitude(h) ou o número de classes (k), aquele que melhor convier.
Assim, se k = 10 e h = 2, com a primeira classe iniciada por 20, temos a adição de h, a cada
classe:
K
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∑
Classes
li
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
------|
------|
-----|
-----|
-----|
-----|
-----|
-----|
-----|
-----|
---------------------
Frequência(fi)
ls
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
1
4
3
22
31
16
17
3
2
1
100
Obs.: a primeira e última classe não pode ter freqüência igual a zero.
Nota: É importante observar se os elementos estão incluídos ou excluídos.
- O passo seguinte é escolher um número para representar cada classe, em geral o ponto médio (pm),
ou seja, a média entre os valores dos limites de classe.
pm = li + ls
2
Em seguida , é preciso encontrar:
- Frequência relativa (fr): Indica à proporção que cada classe representa em relação ao total (n) e é
obtida dividindo-se cada uma das freqüências absolutas (fi) pelo tamanho (n):
fr = fi
n
27
28
Obs.: A soma de sua coluna sempre deverá ser igual a 1. caso isso não ocorra, arredonda-se algum
valor de modo a obter 1.
- Freqüência percentual (fp): Indica a porcentagem de cada classe. Para obtê-la, multiplica-se fr por
100:
fp = fr . 100
Obs.: a soma de sua coluna deverá ser igual a 100% .
- Frequência acumulada (fa): Corresponde à soma das freqüências absolutas(fi ) de sua classe, mais
as anteriores caso haja:
fa = fiat + faant
Obs.: i = 1,2, ..., k
O f acumulado da última classe deverá ser igual a n.
Com base em todos os cálculos relacionados acima, podemos fazer uma nova tabela de
freqüência, ainda para o exemplo das faixas etárias de pessoas ativas na cidade pesquisada.
Suponhamos, a gora, que queiramos iniciar o primeiro limite inferior da primeira classe em
18. Teremos, então, de recalcular todas as frequências absolutas. A nova tabela será:
Classes
K
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∑
ls
li
20 ------| 22
22 ------| 24
24 -----| 26
26 -----| 28
28 -----| 30
30 -----| 32
32 -----| 34
34 -----| 36
36 -----| 38
38 -----| 40
-------------
Frequência
(fi)
1
4
3
22
31
16
17
3
2
1
100
fr = fi/n
0,01
0,04
0,03
0,22
0,31
0,16
0,17
0,03
0,02
0,01
1
fp = fr . 100
(%)
1%
4%
3%
22%
31%
16%
17%
3%
2%
1%
100%
Pm = (li +
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
--------
ls)/2
fa = fiat + faant
1
5
8
30
61
77
94
97
99
100
------------
EXERCICIOS
1) O que você entende por o termo rol?
2) A tabela abaixo indica o número de um grupo de 1550 funcionários de determinadas faixas
salariais de uma empresa. Complete as colunas em branco.
Frequência
Frequência acumulada
Faixa salarial
Número de
percentual (fp)
(fa)
pessoas (fi)
Até 3 salários mínimos
776
De 3 a 6 salários mínimos
387
De 6 a 9 salários mínimos
232
Acima de 9 salários mínimos
155
1550
∑
3) Para o Curso de Administração uma classe de uma escola possui as seguintes notas:
36
40
54
31
32
34
43
49
50
56
40
42
44
33
54
55
56
59
65
67
50
68
51
54
61
44
39
66
60
36
44
49
28
29
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
maior nota;
menor nota;
amplitude total;
tabela contendo: as notas, freqüência relativa, freqüência percentual e freqüência acumulada
(sugestão: (K = 6 e h = 6,16 usar h = 7) exemplo: 31|------|37);
as cincos melhores notas;
as cinco piores notas;
quantas notas estão acima de 75?
quantas notas estão abaixo de 45?
informe o percentual de notas entre 50 e 68 inclusive. Resposta 50%
4) Os dados da amostra abaixo representam as
durante um mês, por uma firma comercial:
14 12 11
19 14 20
12 14 10
21 13 16
vendas diárias de um determinado aparelho elétrico,
13
14
13
17
14
11
15
14
13
12
18
14
a) Elabore uma distribuição de frequência começando a primeira classe com o intervalo :10|----|12
b) Faça a análise da penúltima classe da distribuição
5) O corpo administrativo de um consultório médico estudou o tempo de espera dos pacientes que
chegavam ao consultório com uma solicitação de serviço de emergência. Os seguintes dados foram
coletados no período de um mês (os tempos de espera estão em minutos):
2 5 10 12 4 4 5 17 11 8 9 8 12 21 6 8 7 13 18 3
a) Construa a distribuição de frequência utilizando classes de 0|----|4, 5|----|9 etc.
b) Que proporção de pacientes necessita de serviço de emergência enfrentam um tempo de espera de nove
minutos ou menos? Resposta 60%
6) A MKT Icont é uma empresa de consultoria em contabilidade e iniciou um trabalho de pesquisa para a
TDI, que pretende lançar um novo produto no mercado brasileiro. Foram aplicadas algumas pesquisas de
mercado para verificar o potencial de compra por parte da população. A tabela abaixo mostra os dados
sobre uma amostra da população pesquisada, referente à renda familiar mensal (em salário mínimo):
Salário Mínimo Número de pesquisados
0|-------5
734
5|-------10
526
10|-------15
205
15|-------20
140
20|-------25
60
TOTAL
Considerando os dados acima, podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
30% da amostra ganham 10 salários mínimos ou mais;
Somente 44,08% da amostra ganham abaixo de 10 salários mínimos;
Menos de 10% da amostra ganham 15 salários mínimos ou mais;
Mais de 75% da amostra ganham abaixo de 10 salários mínimos;
Mais de 5% da amostra ganham 20 salários mínimos ou mais.
Resposta: (d) - 75,67%
29
30
7) Complete a tabela abaixo:
K
l
L
1
0|-------8
2
8|-------16
3
16|-------24
4
24|-------32
5
32|-------40
TOTAL
fi
4
10
14
9
3
fr
Pm ou X
8) Complete os dados que faltam na distribuição de freqüência:
K
l
L
fi
fr
Pm ou X
1
0|-------2
4
1
2
2|-------4
8
3
4|-------6
5
4
|------27
5
8|------15
6
|-------12
11
7
|-------14
10
TOTAL
77
fa
fa
12
45
77
30
31
GRÁFICOS
Uma vez elaborada a tabela de frequuência, segue-se o desenho do gráfico, um recurso de visualização
dos dados constantes na tabela. Os tipos de gráficos são: histograma; polígono de freqüência; ogiva de
Galton; e setograma.
Histograma: utilizado para representar as frequências absolutas (fi) em relação à sua classe, é construído
assim:
1. No eixo X (abscissas), marcamos, em escala, as classes dos dados.
2. No eixo Y (ordenadas), marcamos as freqüências de classe(fi).
3. Fazemos a correspondência entre cada intervalo no eixo dos X (classes) e um valor no eixo
vertical(fi), formando um desenho que lembra um conjunto de colunas paralelas( retangulares) ou
um conjunto de prédios.
Polígono de frequência: utilizado para indicar o ponto médio(pm) ou representante de classe com suas
respectivas freqüências absolutas, é construído sobre o histograma. Para construí-lo, procedemos assim:
1.
2.
3.
4.
No eixo X (abscissas), colocamos o ponto médio de cada intervalo de classe.
No eixo Y (ordenadas), permanecem as frequências absolutas de classe (fi).
Ligamos os pontos por segmentos de reta.
Para completar o polígono, acrescentamos um ponto médio com frequência zero em cada uma das
extremidades da escala horizontal.
Setograma: Também conhecido como gráfico de pizza, é utilizado para representar os valores relativos
(%).
1. Fazemos um círculo.
360°.( fi )
Total
3. No círculo, distribuímos os valores das freqüências percentuais.
2. Cada Setor/Fatia é regido pela fórmula: °Setor =
Ogiva de Galton: utilizado para representar as freqüências acumuladas de uma distribuição, é construída
assim:
1. No eixo X (abscissas), colocamos as classes dos dados, como no histograma.
2. No eixo Y (ordenadas), escrevemos uma das freqüências acumuladas, marcando o ponto com os
limites superiores (ls) de cada classe. Iniciamos com freqüência zero e com limite inferior da 1a
classe.
Veja um exemplo: Numa cidade foram anotadas as idades de 64 pessoas aposentadas. Os dados obtidos
estão dispostos no quadro a seguir:
79
64
73
73
65
95
74
75
57
70
71
72
58
70
67
67
46
78
76
90
77
74
65
58
72
87
51
75
81
90
71
76
65
73
74
69
64
91
43
53
72
99
67
77
78
84
75
78
78
79
80
67
47
66
69
62
66
58
68
81
83
78
77
80
Pede-se:
31
32
a)
b)
c)
d)
O rol.
O número de classes, a amplitude total (AT) e amplitude do intervalo de classes (h).
A tabela completa, com o limite inferior da primeira classe começando em 43.
Os seguintes gráficos: histograma, polígono das freqüências, ogiva de Galton e Setograma.
Resolução: a)
Idade
43
46
47
51
53
57
58
62
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
Frequência(fi)
1
1
1
1
1
1
3
1
2
3
2
4
1
2
2
2
3
3
3
3
Idade
76
77
78
79
80
81
83
84
87
90
91
95
99
TOTAL
Frequência(fi)
2
3
5
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
64
b) Estimaremos que a distribuição deverá ter: K= 64 = 8 classes, mais utilizamos 9 classes para inserir
todos os elementos da amostra. Amplitude Total: AT = 99 – 43 = 56 - Amplitude do intervalo
de classes: h = 56/8 = 7.
c)
Idade dos
aposentados
l
L
43 |----|
49
50 |----|
56
57 |----|
63
64 |----|
70
71 |----|
77
78 |----|
84
85 |----|
91
92 |----|
98
99 |----| 105
TOTAL
fi
Pm
fr
fp
fa
3
2
5
16
19
13
4
1
1
64
46
53
60
67
74
81
88
95
102
666
0,0468
0,0312
0,0781
0,25
0,2968
0,2031
0,0625
0,0156
0,0156
1,00
4,68%
3,12%
7,81%
25%
29,68%
20,31%
6,25%
1,56%
1,56%
100%
3
5
10
26
45
58
62
63
64
32
33
Setograma: cada Setor/Fatia é regido pela fórmula: ° Setor =
1ª classe: 43|--------| 49 >>
o
2ª classe: 50|--------| 56 >>
o
3ª classe: 57|--------| 63 >>
o
4ª classe: 64--------| 70 >>
360°.( fi )
n
setor = (360º . 3)/64 = 1080/64 = 16,87º
setor = (360º . 2)/64 = 720/64 = 11,25º
setor = (360º . 5)/64 = 1800/64 = 28,12º
o
setor = (360º . 16)/64 = 5760/64 = 90,14º
5ª classe: 71|--------| 77 >>
o
6ª classe: 78|--------| 84 >>
o
7ª classe: 85|--------| 91 >>
o
8ª classe: 92|--------| 98 >>
o
setor = (360º . 19)/64 = 6840/64 = 106,87º
setor = (360º . 13)/64 = 4680/64 = 73,12º
setor = (360º . 4)/64 = 1440/64 = 22,5º
setor = (360º . 1)/64 = 360/64 = 5, 62º
9ª classe: 99||--------| 105 >> osetor = (360º . 1)/64 = 360/64 = 5, 62º
33
34
SETOGRAMA/PIZZA
1,56%
1,56%
6,25%
4,68%3,12%
7,81%
20,32%
25,01%
29,69%
Interpretação: Podemos notar pelo histograma, que na faixa de 64 a 77 anos há um pico, o qual indica a
existência de maior número de aposentados nessa faixa – setograma de maior fatia. Se o objetivo do
pesquisador é saber qual a faixa etária com mais pessoas aposentadas na cidade, há indícios de que será a
faixa de 64 a 77 anos.
34
35
EXERCÍCIOS
1) O faturamento de uma loja de brinquedos durante 40 semanas foi:
28
25
25
22
19
27
19
17
15
20
18
30
20
28
18
15
19
25
18
15
20
21
23
16
19
19
22
19
24
19
17
15
25
18
18
18
17
20
22
19
O gerente da loja deseja saber qual é a faixa do faturamento que se repete menos. Para isso determine:
a)
b)
c)
d)
As classes.
As frequências absolutas.
As freqüências acumuladas.
O histograma e a ogiva.
2) Numa fábrica foram tabulados os salários dos funcionários, resultando na tabela de distribuição de
freqüência a seguir. A amostra foi de 380 funcionários:
Classe de salários mensais
280 |------------ 320
320 |------------ 360
360 |------------ 400
400 |------------ 440
440 |------------ 480
480 |------------ 520
TOTAL
Número de funcionários
150
73
40
52
36
29
380
Pede-se :
a) Complete o quadro acima, a partir do que foi estudado anteriormente.
b) Elabore os quatro tipos de gráficos.
3) Dado a tabela, construir um gráfico de setores
Quantidade de vendas, em uma empresa de informática
Tipo de vendas
Percentual
Computadores
35
Softwares
23
Assistência técnica
15
Redes
14
Outro serviços
13
Total
100
4) O gráfico abaixo representa o faturamento líquido de uma microempresa ao longo do 1º semestre de
um ano. Entende-se por faturamento líquido o valor recebido pela empresa já descontadas todas as
despesas.
35
Em 1000 reais
36
7
6
5
4
3
2
1
0
JAN
FEV
MAR
ABR
MAI
JUN
a) Indique o mês de maior faturamento líquido e o valor correspondente.
b) Quando ocorreu maior queda no faturamento?
c) Indique o mês de menor faturamento líquido e o valor correspondente.
d) Segundo o gráfico, a tendência de faturamento, após o mês de junho, da microempresa?
5)(ENEM/2005) Moradores de três cidades, aqui chamadas de X, Y e Z, foram indagados quanto aos tipos
de poluição que mais afligiam as suas áreas urbanas. Nos gráficos abaixo estão representados as
porcentagens de reclamações sobre cada tipo de poluição ambiental.
Considerando a queixa principal dos cidadãos de cada cidade, a primeira medida de combate a poluição em
cada uma delas seria, respectivamente: R. (b)
X
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Manejamento de lixo
Controle de despejo industrial
Manejamento de lixo
Controle emissão de gases
Controle de despejo industrial
Y
Esgotamento sanitário
Manejamento de lixo
Esgotamento sanitário
Controle de despejo industrial
Manejamento de lixo
Z
Controle emissão de gases
Esgotamento sanitário
Controle de despejo industrial
Esgotamento sanitário
Controle emissão de gases
6) (ENEM/2005) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina,
como mostra a pesquisa abaixo, dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro.
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino
Médio é de aproximadamente: R. (c)
36
37
(A) 54%
(B) 48%
(C) 60%
(D) 14%
(E) 68%
7)(ENEM/2005) Este gráfico representa o resultado de uma pesquisa realizada com 1.000 famílias com
filhos em idade escolar: R. (c)
Considere estas afirmativas referentes às famílias pesquisadas:
I ) O pai participa da renda familiar em menos de 850 dessas famílias.
II ) O pai e a mãe participam, juntos, da renda familiar em mais de 500 dessas famílias.
Então, é CORRETO afirmar que
(A) nenhuma das afirmativas é verdadeira.
(B) apenas a afirmativa I é verdadeira.
(C) apenas a afirmativa II é verdadeira.
(D) ambas as afirmativas são verdadeiras.
37
38
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU MEDIDAS DE POSIÇÃO
As médias, denominadas medidas de tendência central, são valores numéricos que representam o
centro de um conjunto de dados ou uma seqüência numérica. Podem ser de vários tipos: média aritmética,
média geométrica, mediana e moda.
Média Aritmética Simples (dados não agrupados)
É a medida utilizada com maior frequência, por implicar um cálculo extremamente simples. Consiste
em adicionar os elementos e dividir a soma pelo número (n) de elementos adicionados.
Numa seqüência de n elementos, temos a média, representada por x (“x barra”): x1, x2, x3, ...xn.
x = x1 + x2 + x3 + ... + xn
n
Em notação somatório, a média é representada da seguinte forma:
∑xi
n
Exemplo 1: Imaginemos que, numa pesquisa sobre atividades físicas com mulheres de 5 faixas
etárias, o resultado de uma amostra tenha sido:
Quantos dias por semana andam a pé?
16 a 20 anos
6
21 a 25 anos
5
26 a 29 anos
4
30 a 33 anos
2
34 a 37 anos
1
Se, a partir da amostra, quisermos saber quantos dias por semana, em média as mulheres
andam a pé, considerando como universo as mulheres de 16 a 37 anos, fazemos:
x =
x = 6 + 5 + 4 + 2 + 1 = 18 = 3,6
5
5
Então, em média, as mulheres de 16 a 37 anos andam a pé é 3,6 dias por semana, ou 4 dias,
arredondando.
Média Aritmética Ponderada
Indicada por x p difere da média aritmética vista anteriormente por apresentar multiplicações (que
representam frequências, ponderações) indicando quantas vezes cada elemento se repete:
xp =
(x1 . f1) + (x2 . f2) + .... + (xk . fk)
f1 + f2 + .... + fk
Exemplo 2: Calcular a média aritmética ponderada das notas da turma de Administração na disciplina
matemática, usando a amostra de 30 alunos.
Nota (xi)
Número de repetições (fi)
Xi . fi
1
1
1
2
6
12
3
5
15
5
2
10
8
7
56
9
3
27
10
6
60
Total
30
181
38
39
Note que nesta tabela de dados agrupados a soma de repetições é igual ao número total de elementos da
amostra (n = 30).
Aplicando a fórmula temos:
x p = 181 = 6,03
30
Média Aritmética para dados agrupados em classes
Quando, numa distribuição por freqüência, os dados estão agrupados em classes, são considerados
coincidentes com os pontos médios das classes às quais pertencem. Para o cálculo da média aritmética,
usaremos os produtos dos pontos médios pelas freqüências de cada classe (pm . fi ).
Exemplo 3: Seja a tabela que nos dá a altura (x) dos estudantes de uma classe de Ensino Fundamental:
Altura x(cm)
li
ls
150 |---- 155
155 |---- 160
160 |---- 165
165 |---- 170
170 |---- 175
175 |---- 180
TOTAL
fi
Pm
6
9
16
5
3
1
40
152,5
157,5
162,5
167,5
172,5
177,5
---
Pede-se: A partir da tabela, calcular a média aritmética.
Solução: Completando a tabela, com a coluna Pm . fi, temos:
Altura x(cm)
150 |---- 155
155 |---- 160
160 |---- 165
165 |---- 170
170 |---- 175
175 |---- 180
TOTAL
x = ∑Pm . fi
∑fi
= 6465
=
fi
6
9
16
5
3
1
40
Pm
152,5
157,5
162,5
167,5
172,5
177,5
--------
Pm . fi
915,0
1417,5
2600,0
837,5
517,5
177,5
6465,0
161,625
40
Mediana para dados não agrupados
A mediana corresponde ao valor que ocupa a posição central numa sequência de números e é
representada por md.
Na sequência numérica x1,x2,...xk,...xn, o elemento xk é a md se o número de elementos que o
antecedem for igual ao número de elementos que o sucedem.
39
40
Para obter a mediana, primeiro coloca a seqüência numérica em ordem crescente ou
decrescente. Depois, verificamos se a amostra é par ou ímpar e adotamos um dos procedimentos a
seguir.
10 caso. Se o número de elementos (n) for ímpar, a mediana corresponderá ao termo central
da série.
Exemplo 1: Calcular a mediana da sequência 2, 4, 1, 5 e 6.
Resolução: fazemos o ordenamento: 1, 2, 4, 5 e 6
Como o número de elementos é ímpar: Portanto, a mediana é: md = 4
20 caso. Se o número de elemento (n) for par, a mediana, nesse caso, corresponde a media
aritmética dos dois valores centrais:
Exemplo 2 : Encontrar a mediana da seqüência 82; 79; 70; 20; 33; 46.
Resolução: fazemos Ordenação
20; 33; 46; 70; 79; 82
md = 46 + 70 = 58
2
OBS.: Geralmente o valor da mediana é bem próximo da média aritmética, quando os valores são
uniformes.
Mediana para dados agrupados
I – Calcula-se a ordem n/2. Como a variável é contínua, não se preocupe se n é par ou ímpar.
II – Pela fa identifica-se à classe que contém a mediana (classe mediana).
III – Utiliza-se à fórmula:
Md
em que:
= li +
n
2 - faant
.h
fi
li = limite inferior da classe mediana;
n = tamanho da amostra ou número de elementos;
faant = frequência acumulada anterior;
h = amplitude da classe;
fi = frequência absoluta da classe mediana.
Exemplo 3:
Dada a distribuição amostral, calcular a mediana.
fa
K
Classes
fi
li
ls
1
35|----------45
5
5
2
45|----------55
12
17
3
55|----------65
18
35
a 29o posição encontra-se nesta classe
4
65|----------75
14
49
5
75|----------85
6
55
6
85|----------95
3
58
--------------------58
∑
Resolução:
I – n/2 = 58/2 = 29o (posição)
II – identificar a classe mediana: procura-se a posição 29o através da coluna fa.
III – fazer o cálculo da mediana
md = 55 + (29-17) . 10
18
40
41
md = 55 + (12) . 10
18
md = 55+
120
18
md = 55 + 6,66
md = 61,66
Moda para dados não agrupados
A moda é o valor que apresenta maior frequência no conjunto de números em questão, ou
seja, que se repete mais vezes. É representado por mo.
Uma seqüência de números pode não ter valor modal ou apresentar vários tipos de repetições,
recebendo então várias denominações:
• unimodal, quando um único valor se repete;
por exemplo: { 1, 2, 3, 2}: a moda é 2
• bimodal, quando dois valores se repetem (com a mesma freqüência);
por exemplo: { 3, 2, 5, 4, 8, 2, 4}: a moda é 2 e 4.
• multimodal, quando três ou mais valores se repetem (com a mesma freqüência).
por exemplo: { 3, 6, 7, 6, 4, 5, 4, 3, 1}: a moda é 3, 4 e 6.
Moda para dados agrupados
I – Identifica-se a classe modal (aquela que possue maior frequência).
II – encontrar os valores de ∆1 e ∆2, onde:
∆1 = fimodal – fianterior
∆2 = fimodal - fiposterior
III – Aplica-se a fórmula:
mo = li +
∆1
.h
∆1 + ∆2
Exemplo:
Determine a moda para a distribuição a seguir:
Classes
0|-------1
1|-------2
2|-------3
3|-------4
4|-------5
TOTAL
Resolução:
I – classe modal : 3a classe: 2 |---------3
II - ∆1 = 17 – 10 = 7
∆2 = 17 – 8 = 9
III – calculando a moda:
fi
3
10
17
8
5
43
mo = 2 +
7
.1
7+9
mo = 2 + [(7/16) .1]
mo = 2 + [0,43750 . 1] mo = 2, 43750 aproximadamente 2,44
41
42
EXERCÍCIOS
1) Calcule a média aritmética e a mediana dos elementos: 5, 3, 8,10,15. R. média = 8,2 e md = 8
2) Calcule a média aritmética da turma de 18 alunos na prova de estatística: R. média = 7,5
8,2
7,5
7,0
7,8
8,5
9,0
8,7
5,6
7,2
8,0
7,5
7,4
6,1
7,3
5,9
6,5
9,0
7,8
3) A distribuição de frequência abaixo representa o número de carros que quatro revendedoras venderam
durante 1 mês. Determine a média aritmética ponderada. R. x p = 4,75
número de carros vendidos por dia (Xi)
fi
5
3
6
4
4
3
4
1
4) Em 20 números, quatro são 2, três são 4, cinco é 1 e os restantes são 3. Ache:
a) a tabela de freqüência
b) a média aritmética ponderada.R. x p = 2,45
5) Fornecemos a seguir uma distribuição de frequência do tempo em dias gasto por uma firma de
contabilidade para completar auditorias de fim de ano. A distribuição de frequência dos tempos de
auditoria está baseada em uma amostra de 20 clientes. Qual é o tempo médio, a mediana e a moda da
amostra? R. média = 19; md = 18,75; mo = 17,85
DISTRIBIÇÃO DE FREQUÊNCIA DOS TEMPOS
DE AUDITORIA
Tempo de
fi
Pm
Pm . fi
fa
auditoria (dias)
10 |------| 14
4
15 |------| 19
8
20 |------| 24
5
25 |------| 29
2
30 |------| 34
1
TOTAL
20
------------6) Calcule a mediana:
a) 35; 98; 71; 2 ; 65 e 8
b) 8,2; 8,7; 4,1; 2,7; 3,3; 2,8 e 1,2
R. md= 50
R. md = 3,3
7) Ache a moda (se houver) de cada amostra:
b) 2; 3; 2; 4; e 3
a) 2; 3; 6; 4 e 3
R. mo = 3
R. mo = 2 e 3
8) Considerando a distribuição abaixo, calcule a média aritmética ponderada: R. Xp = 5,4
xi 3
fi 4
4
8
5
11
6
10
7
8
8
3
9) Imagine que a margem de lucro na venda de um produto é variável, mas que, ao longo de cinco meses,
foram registrados os valores apresentados na tabela abaixo. Calcule a média. R. média = 40
42
43
Classe
15|-----25
25|-----35
35|-----45
45|-----55
55|-----65
TOTAL
Pm
20
30
40
50
60
freqüência
30
45
150
45
30
10) Os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são:R$75, R$90, R$83, R$142, $ 88.
Determine: a) a média dos salários-hora; R. média = R$ 95,60 b) o salário-hora mediano. R. md = R$ 88,00
11) A MKT Incons é uma empresa de consultoria em contabilidade e iniciou um trabalho de pesquisa
para a TDI, que pretende lançar um novo produto no mercado brasileiro. Foram aplicadas algumas
pesquisas de mercado para verificar o potencial de compra por parte da população. A tabela abaixo
mostra os dados sobre uma amostra da população pesquisada, referente à renda familiar mensal (em
salário mínimo): R. (a)
Salário Mínimo
0|-------5
5|-------10
10|-------15
15|-------20
20|-------25
TOTAL
Número de pesquisados
(fi)
734
526
205
140
60
Considerando os dados da tabela, podemos afirmar que:
a) A média aritmética da amostra é um valor maior que 7 salários mínimos;
b) O valor mediano está estimado entre 4 e 5 salários mínimos;
c) A média aritmética da amostra está estimada entre 4 e 5 salários mínimos;
d) O valor mediano da amostra é o um valor maior que 7 salários mínimos;
e) O valor mediano é maior que a média aritmética.
Considere o texto a seguir para responder as questões 12, 13 e 14:
Suponha que você seja contratado pela MKT Incons para desenvolver estratégias que visam ampliar a
carteira de clientes, sua primeira reunião foi com os gerentes que reclamaram do número não suficiente de
consultores para atender a atual carteira, ampliar seria a ação que poderia ocasionar a perda de atuais
clientes em razão do não cumprimento dos prazos. Após a reunião você solicitou a sua secretária Srta.
Rita um relatório contendo a carteira e o respectivo número de dias que foram utilizados para a realização
dos trabalhos, após dois dias você recebe um e-mail:
Segue abaixo, o relatório solicitado contendo o tempo (em dias), para completar consultorias. Esta tabela
está baseada em uma amostra de 30 clientes de empresas de pequeno porte.
Tempo de Consultoria
10|-------14
14|-------18
18|-------22
22|-------26
26|-------30
30|-------34
TOTAL
Número de clientes (fi)
4
10
6
5
3
2
30
43
44
12) Neste relatório você observou que o maior número de consultorias realizadas são completadas no
período de 14 a 18 dias, conhecido como período modal. O valor exato da moda é: R. (e)
a)38 dias
b)14,6 dias
c)16 dias
d)2,4 dias
e)16,4 dias
13) Outra análise realizada foi calcular a porcentagem de consultorias que levaram vinte e seis dias ou
mais para serem concluídas, sendo o valor correspondente a: R. (d)
a) 83,33% das consultorias são concluídas em vinte e seis dias ou mais;
b) 33,33% das consultorias são concluídas em vinte e seis dias ou mais;
c) 86,67% das consultorias são concluídas em vinte e seis dias ou mais;
d) 16,67% das consultorias são concluídas em vinte e seis dias ou mais;
e) 6,67% das consultorias são concluídas em vinte e seis dias ou mais.
14) Interprete (relate) a 4ª Classe da tabela. Resposta pessoal
15) Este gráfico descreve a freqüência das alturas dos recém-nascidos num mesmo dia, numa
maternidade.
Baseado no gráfico é CORRETO afirmar que a altura modal e a altura média das crianças são
respectivamente iguais a: R. (d)
(A) 48cm e 59,90cm
(B) 51cm e 47,80cm
(C) 49cm e 51,20cm
(D) 47cm e 49,10cm
(E) 47cm e 50,10cm
16) Observe as alturas de 10 crianças nascidas num mesmo dia, numa maternidade.
Criança
Altura (cm)
Mariana
52
Jorge
48
Paulo
51
Mário
47
Tarsila
47
Priscila
51
Silvana
53
Alberto
47
Vítor
47
Ricardo
48
44
45
Entre as alternativas abaixo a CORRETA em relação as alturas médias das meninas e dos meninos
respectivamente é: R. (b)
(A) 50,21cm e 46cm.
(B) 50,75cm e 48cm.
(C) 46cm
e 50,28cm.
(D) 50,75cm e 46cm.
(E) 50,21cm e 50,75cm.
17) Dissertativa: Baseado no problema da questão anterior: Interprete o percentual que a diferença entre
as alturas médias das meninas e dos meninos representa em relação à altura média dos meninos.
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
18) Os 40 alunos de uma turma fizeram uma prova de Estatística valendo 100 pontos. A nota média da
turma foi de 70 pontos e apenas 15 dos alunos conseguiram a nota máxima. Seja M a nota média dos
alunos que não obtiveram a nota máxima. Então, é CORRETO afirmar que o valor de M é :
R. (d)
(A) 53
(B) 50
(C) 51
(D) 52
(E) 48
19) Durante um determinado mês de verão, os oito vendedores de uma firma de calefação central e arcondicionado venderam os seguintes números de unidades de ar-condicionado central: 8, 11, 5, 14, 8,
11, 6. Considerando este mês como uma população estatística de interesse, o número médio de unidades
vendidas é: R. (e)
(A)18unidades
(B)11unidades
(C)8unidades
(D)3unidades
(E)9unidades
20) Uma pesquisa da ONU estima que, já em 2008, pela primeira vez na história das civilizações, a
maioria das pessoas viverá na zona urbana. O gráfico a seguir mostra o crescimento da população urbana
desde 1950, quando essa população era de 700 milhões de pessoas, e apresenta uma previsão para 2030,
baseada em crescimento linear no período de 2008 a 2030.
De acordo com o gráfico, a população urbana mundial em 2020 corresponderá em média,
aproximadamente, a quantos bilhões de pessoas? R. 4,25 bilhões
45
46
SEPARATRIZES
Além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente, não são
medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua característica de separar a
série em duas partes que apresentam o mesmo número de valores.
Vejamos então, alguns quantis e seus nomes específicos: o quartil, o decil e o percentil - são, juntamente
com a mediana, conhecida pelo nome genérico de separatrizes.
QUARTIL
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.
Precisamos, portanto de 3 quartis (Q1 , Q2 e Q3 ) para dividir a série em quatro partes iguais.
0%
25%
|
|
Q1
50%
75%
100%
|
|
|
Q2
Q3
Obs: O quartil 2 ( Q2 ) sempre será igual à mediana da série.
Quartis em dados não agrupados
O método mais prático é utilizar o princípio do cálculo da mediana para os 3 quartis. Na realidade serão
calculadas "3 medianas" em uma mesma série.
Exemplos:
1) Calcule os quartis da série: {5, 2, 6, 9, 10, 13, 15}
O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores:
{2, 5, 6, 9, 10, 13, 15}
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9 que será = Q2.
Temos agora {2, 5, 6} e {10, 13, 15} como sendo os dois grupos de valores iguais proporcionados pela
mediana (quartil 2). Para o calculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas das partes iguais
provenientes da verdadeira Mediana da série (quartil 2).
Logo em {2, 5, 6} a mediana é = 5. Ou seja: será o quartil 1
em {10, 13, 15 } a mediana é =13 . Ou seja: será o quartil 3
2) Calcule os quartis da série: {1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13}
A série já está ordenada, então calcularemos o Quartil 2 = md = (5+6)/2 = 5,5
O quartil 1 será a mediana da série à esquerda de md : {1, 1, 2, 3, 5, 5}
Q1 = (2+3)/2 = 2,5
46
47
O quartil 3 será a mediana da série à direita de md : {6, 7, 9, 9, 10, 13}
Q3 = (9+9)/2 = 9
Quartis em dados agrupados
Determinação de Qi 10 passo: calcula-se (i . n) /4
20 passo: identifica-se a classe Qi pela Fa.
30 passo: aplica-se a fórmula:
i .n
Qi = li +
- faant
.h
4
fi
Determinação de Q3: 10 passo: calcula-se (3 . n) /4
20 passo: identifica-se a classe Q3 pela Fa.
30 passo: aplica-se a fórmula:
3.n
Qi = li +
- faant
. h
4
fi
em que: i
= 1, 2, 3
li
= limite inferior da classe encontrada
h
= amplitude do intervalo
faant = freqüência acumulada anterior à da classe
fi
= freqüência absoluta da classe encontrada
DECIL
A definição dos decis obedece ao mesmo princípio dos quartis, com a modificação da porcentagem
de valores que ficam aquém e além do decil que se pretende calcular. Indicamos os decis: D1, D2, ... , D9.
Deste modo precisamos de 9 decis para dividir uma série em 10 partes iguais.
0%
|
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
|
|
|
|
|
|
|
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
80%
90%
100%
|
|
|
D8
D9
47
48
De especial interesse é o quinto decil, que divide o conjunto em duas partes iguais. Assim sendo, o
quinto decil é igual ao segundo quartil, que por sua vez é igual à mediana.
Neste caso também é semelhante as separatrizes anteriores . Ei-la:
10 passo: calcula-se (i . n) /10, em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
20 passo: identifica-se a classe Di pela Fa.
30 passo: aplica-se a fórmula:
i.n
Di = li +
- faant
10
.h
fi
PERCENTIL
Denominamos percentis ou centis como sendo os noventa e nove valores que separam uma série em 100
partes iguais. Indicamos: P1, P2, ... , P99. É evidente que P50 = Md ; P25 = Q1 e P75 = Q3.
O cálculo de um centil segue a mesma técnica do cálculo da mediana, porém a fórmula será :
0%
|
1%
2%
|
|
P1
P2
3%.................... 50%....................97%
98%
99%
|
|
|
|
|
P3
P50
P97
P98
P99
100%
|
O cálculo de um percentil é dado por:
10 passo: calcula-se (i . n) /100 em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8............,98, 99.
20 passo: identifica-se a classe Pi pela Fa.
30 passo: aplica-se a fórmula:
i.n
Pi = li +
- faant
100
.h
fi
EXEMPLOS:
1) Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3), a mediana e a moda.
K
1
2
3
4
5
∑
Classes
7|----------17
17|----------27
27|----------37
37|----------47
47|----------57
fi
6
15
20
10
5
56
pm
12
22
32
42
52
---
fi . pm
72
330
640
420
260
1722
fa
6
21
41
51
56
---
←Classe Q1
←Classe Md
←Classe Q3
48
49
0
Resolução: 1 passo: n = 56
Q1=?
md= ?
n/4 = 56/4 = 140
Q3 = ?
n/2 = 56/2 = 280
3n/4 = (3 . 56) / 4 = 420
20 passo: Pela fa identifica-se a classe Q1, classe Md e classe Q3
30 passo: Para Q1 temos : li = 17, n = 56, faant = 6,
h = 10, fi = 15
Para Md temos: li = 27, n = 56, faant = 21, h= 10,
fi = 20
Para Q3 temos : li =37,
fi = 10
n = 56,
faant = 41, h= 10,
1 . 56
Q1 = 17 +
-6
4
.10 = 22,33
15
56
Md = 27 +
- 21
.10 =
2
30,5
20
3 . 56
Q3= 37 +
- 41
4
.10
=
38
10
x = ∑fi . pm
=
∑fi
1 722
= 30,75
56
mo = ?
∆1 = 20 – 15 = 5;
∆2 = 20 – 10 = 10
mo = 27 +
.10
mo = 27 +
5
5 + 10
5
15
.10
mo = 27 + [0,33 .10]
mo = 27 + 3,33 = 30,33
Diante desses resultados, pode-se afirmar que: 22,33 deixa 25% dos elementos; 30,5 deixa 50% dos
elementos; 38 deixa 75% dos elementos.
49
0
50
0
2) Calcular o 4 decil e o 72 percentil da seguinte distribuição:
K
1
2
3
4
∑
Classes
4|-----------9
9|----------14
14|----------19
19|----------24
fi
8
12
17
3
40
fa
8
20
37
40
--------
Resolução:
Cálculo do D4 :
10 passo:
in/10 = (4 . 40)/10 = 160
20 passo:
Identifica-se a classe D4 e P72 pela fa
←Classe D4
←Classe P72
Cálculo do P72 :
in/100 = (72 . 40)/100 = 28,80
Para D4: li = 9; faant = 8; n = 40; h = 5; fiD4 = 12
4 . 40
D4 = 9
+
-
8
10
.5
= 12,33
12
Para P72: li = 14; faant = 20; n = 40; h = 5; fiP72 = 17
72 . 40
P72= 14 +
-
20
100
. 5 = 16,59
17
Portanto, nesta distribuição o valor 12,33 divide a amostra em duas partes: uma com 40% dos elementos e
a outra com 60% dos elementos. O valor 16,59 indica que 72% da distribuição estão abaixo dele 28%
acima.
EXERCÍCIOS
1) Imagine que a margem de lucro na venda de um produto é variável, mas que, ao longo de seis meses,
foram registrados os valores apresentados na tabela abaixo. Pede-se: o sexto decil e o trigésimo percentil.
R. D6 = 43 e
P30 = 36,5
Classes
15|---------25
25|---------35
35|---------45
45|---------55
55|---------65
65|---------75
TOTAL
fi
30
45
150
45
30
25
325
fa
2)Calcule o 10quartil, o 30decil e o 900percentil da distribuição de freqüência a seguir: R. Q1 = 27,081;
D3 = 27,486
e
P90 = 33,375
50
51
K
1
2
3
4
5
6
7
Classes
18-----------|21
21-----------|24
24-----------|27
27-----------|30
30-----------|33
33-----------|36
36-----------|39
Total
fi
fa
1
4
19
37
28
8
3
100
--------
3) A tabela a seguir contém rendimentos anuais dos funcionários administrativos de uma empresa (em
b) D3; R. 7093,75
c)P35; R. 7296,87
reais). Observe – a e encontre: a) Q1; R. 6.825,00
K
1
2
3
4
5
6
7
Classes
5000--------|6000
6000--------|7000
7000--------|8000
8000--------|9000
9000-------|10000
10000-----|11000
11000-----|12000
Total
fi
8
10
16
14
10
5
2
65
Fa
--------
4)Dada a distribuição de freqüência a seguir, pede-se: determinar o 1º e o 3º quartis. R. Q1
Q3 = R$ 873
K
CUSTOS (R$)
fi
Fa
1 450|--------550
8
2 550|--------650
10
3 650|--------750
11
4 750|--------850
16
5 850|--------950
13
6 950|--------1050
5
7 1050|-------1150
1
Total
64
5) Pra a distribuição do exercício anterior, determinar o 20º percentil. R. P20
= R$ 630
= R$ 598
6) A pontuação nos testes de 15 empregados envolvidos em um curso de treinamento está disposta a
seguir: 13 9 18 15 14 21 7 10 11 20 5 18 37 16 17. Obtenha: o primeiro, o segundo e
terceiro quartil da pontuação dos testes. R. Q1 = 10; Q2 = 15 e Q3 = 18
51
52
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Desvio Médio
Poder-se-ia, por exemplo, calcular a distância que separa cada dado Xi da média x e estabelecer a
média de todos os valores.
Tomando os valores absolutos. Obtém-se, assim, o desvio médio.
Para dados não agrupados:
Para dados agrupados :
Dm = ∑| Xi - x | . fi
Dm= ∑| Xi - x |
n
n
OBS.: Para calcular o desvio médio em dados agrupados utiliza-se a fórmula que determina a média
aritmética ponderada:
Exemplo:
Determine o desvio médio para o seguinte conjunto de números: 2, 4, 6, 8, 10
Solução:
Determinamos a média:
x = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 6
5
Determinamos as diferenças: | Xi - x | = |2-6| + |4-6| + |6-6| + |8-6| + |10-6| = |-4| + |-2| + |2| + |4| =12
Desvio médio Dm =
∑| Xi n
x | = 12 = 2,4
5
Variância da amostra
Define-se a variância, e representa-se por S2, como sendo à medida que se obtém somando os
quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número
de observações da amostra menos um.
Para calcular a variância dados não agrupados
S2 = ∑| Xi - x |2
Para calcular a variância dados agrupados
S2 = ∑| Xi - x |2 . fi
n - 1
n - 1
Exemplo: Calcule a variância da amostra: 2, 4, 6, 8, 10
Solução: Já vimos que a média é: x = (2 + 4 + 6 + 8 + 10 )/5 = 6
52
53
Eis os cálculos necessários:
S2 = ∑| Xi - x |2
=
Xi
|Xi - 6 |
|Xi – 6 |2
2
4
6
8
10
30
|-4|
|-2|
|0 |
|+2|
|+4|
12
16
4
0
4
16
40
40
= 10
n - 1
5-1
Desvio Padrão Amostral
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma
que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades
que os dados, nada mais é que a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for,
maior será a dispersão dos dados. Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente
da definição, são:
•
•
o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior, quanta mais variabilidade houver entre
os dados.
se s = 0, então não existe variabilidade, isto é, os dados são todos iguais.
S =
s2
Calcule o desvio padrão da amostra do exemplo anterior
Solução: S =
10
⇒ S = 3,162278 aproximadamente 3,2
Coeficiente de variação
Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau de
concentração em torno da média de séries distintas e é expresso em porcentagens. É dado por:
CV =
S
. 100
x
Para o exemplo anterior:
Solução:
CV =
(3,2 /6) . 100
⇒ CV= 53,33%
Diz-se que a distribuição possui pequena variabilidade (dispersão) quando o coeficiente der até 10%;
média dispersão quando estiver acima de 10% até 20%; e grande dispersão quando superar 20%.
2) Determinar o desvio médio (dm), a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da
distribuição amostral a seguir:
53
54
Solução: Primeiramente calculamos a média aritmética ponderada:
x = ∑xi . fi
=
n
X
3
4
6
7
9
∑
fi
5
2
4
2
5
18
106
= 5,88 aproximadamente 5,9
18
Xi . fi
15
8
24
14
45
106
Desvio médio: dm = ∑|dm| . fi
=
36,4
n
=
= 2,02
99,78
n -1
s2
2
18
Variância: S2 = ∑|Xi – x |2 . fi
Desvio Padrão: S =
S2 = |Xi – x |2 . fi
|-2,9| = 8,41 . 5 = 42,05
|-1,9|2 = 3,61 . 2 = 7,22
|0,1|2 = 0,01 . 4 = 0,04
|1,1|2 = 1,21 . 2 = 2,42
|3,1|2 = 9,61 . 5 = 48,05
99,78
|dm| = | Xi – x | . fi
3 – 5,9 = |-2,9| . 5 = 14,5
4 – 5,9 = |-1,9| . 2 = 3,8
6 – 5,9 = |0,1| . 4 = 0,4
7 – 5,9 = |1,1| . 2 = 2,2
9 – 5,9 = |3,1| . 5 = 15,5
36,4
=
18 – 1
⇒ S=
Coeficiente de variação: CV =
5,87
S . 100
x
99,78
= 5,87
17
⇒ S = 2,43
=
2,43 . 100
=
5,9
243 = 41,18%
5,9
EXERCÍCIOS
1) Determine o desvio médio para o conjunto de valores: 1, 2, 3, 4, 5
2) Calcule a variância e o desvio padrão da amostra: 2, 5, 10, 5, 2
R. Dm = 1,2
R. S2 = 10,7 e S = 3,27
3) Calcular o desvio-médio, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte
distribuição amostral: R. Dm = 1,2; S2 = 2,85; S = 1,69 e CV = 20,96%
Xi
5
7
8
9
11
∑
fi
2
3
5
4
2
16
4)Calcule a variância para os dados do Conjunto A: 4, 6, 4, 6, 5, 5.
R. S2 = 0,8
5) Os preços para a amostra de 6 modelos básicos de máquinas de café são apresentados a seguir
(Consumer Reports 1995 Buying Guide). R. a) Dm = 9; b) S2 =138,4 c) S = 11,76 d) CV = 40,56%
54
55
Modelo
Mr. Coffee PR12A
Krups
Proctor 42301
Black & Decker 901
Black & Decker 900
West Bend
Preço($)
27
50
20
22
20
35
Determine:
a) o desvio médio
b)a variância
c)o desvio padrão
d) o coeficiente de variação
6) Os dados da tabela abaixo representam a amostra para os dados de salários-inicias dos funcionários de
uma determinada empresa.
Salário Mensal(xi)(R$)
350,00
450,00
250,00
380,00
255,00
fi
2
4
3
1
2
Determine:
a) a média
R. a) média = 345,00
b) o desvio médio
b) Dm = 77,5
c) S2 = 8059,09
c)a variância
d) o desvio padrão
d) S = 89,77
7) Dada a tabela abaixo:
Xi
fi
4
2
2
4
6
3
3
2
Total 11
CALCULAR:
a) o desvio-médio R. 1,42
b) a variância R. 2,85
c) o desvio-padrão R. 1,68
d) o coeficiente de variação R. 46,28%
8) Para o conjunto de números {3, 5, 2, 4}, determinar:
a) a média R. 3,5
b) o desvio-médio R. 1
c) a variância R. 1,66
d) o desvio-padrão R. 1,28
9) A altura média dos homens que trabalham em uma empresa é 1,80m, com desvio-padrão 1,40m e a
altura média das mulheres é 1,60m com desvio-padrão 1,30m. Determine o coeficiente de variação para a
altura dos homens e para altura das mulheres. R. CVh = 77,77% e CVm = 81,25%
55
56
PROBABILIDADE
Os fenômenos estudados pela Estatística variam de resultados de uma observação para outra,
dificultando assim a previsão de um resultado futuro. Por isso adota-se um modelo matemático
probabilístico.
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições
semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
Em uma afirmação do tipo: “é provável que meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar:
a) que o time perca;
b) que o time ganhe;
c) que ele empate.
Como vimos, o resultado é imprevisível e depende do acaso. Fenômenos como esses são chamados
fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios.
ESPAÇO AMOSTRAL
A cada experimento aleatório (E) correspondem em geral a vários resultados possíveis a que
chamamos de Espaço Amostral (S).
Exemplos:
E = lançar um dado e observar o nº da face de cima
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = lançar uma moeda e observar o resultado
S = {cara, coroa}
EVENTOS
É qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório.
Exemplo:
No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, seja B o evento “obter um nº par na face superior”
temos: B = {2, 4, 6}
CÁLCULO DAS PROBABILIDADES
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os
elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, chamamos de probabilidade de um evento A o nº
real P(A) tal que:
P(A) = n(A)
n(S)
onde: n(A) = nº de elementos de A ;
n(S) = nº de elementos de S.
Exemplos:
Considerando o lançamento de um dado:
- qual a probabilidade do evento A “obter um número par na face superior”.
56
57
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo n(S) = 6
A = {2, 4, 6}, logo n(A) = 3
3 1
Então: P(A) = =
6 2
-
qual a probabilidade do evento B “obter um nº menor ou igual a 6 na face superior”
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6
Então : P(B) =
-
6
=1
6
qual a probabilidade do evento C “obter um número 4 na face superior”
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
C = {4}, n( C ) = 1
Então : P (C) =
-
1
6
qual a probabilidade do evento D “obter um número maior que 6 na face superior”
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
D = vazio, n(D) = 0
0
Então: P(D) = = 0
6
Pelos exemplos acima temos:
a) A probabilidade do evento certo é igual a 1: P(S) = 1
b) A probabilidade do evento impossível é igual a zero: P(Ø) = 0
c) A probabilidade de um evento E qualquer é um nº real P(E) tal que: 0 ≤ P( E ) ≤ 1
EVENTOS COMPLEMENTARES
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso)
e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação:
p+q=1 → q=1–p
Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é p = 1/5, a probabilidade de que ele não
ocorra é:
p+q=1 → q=1–1 =4
5 5
Sabemos que a probabilidade de tirar 4 no lançamento de um dado é p(4) = 1/6. Logo, a probabilidade de
não tirar o 4 no lançamento de um dado é:
q=1–1 =5
6 6
EVENTOS INDEPENDENTES
Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não realização de um dos
eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa, ou seja, então a probabilidade da
ocorrência de ambos é igual ao produto de suas probabilidades individuais, ou “marginais” :
P = P1 . P2
57
58
Exemplos:
1) No lançamento de dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é:
P1 = 1/6
A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é:
P2 = 1/6
Logo, a probabilidade de obtermos simultaneamente, 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado é:
Resolução:
P = 1/6 . 1/6 ⇒ P = 1/36
2) Jogam-se duas moedas equilibradas. Qual a probabilidade de ambas darem cara?
Resolução:
É razoável admitir que os resultados das duas moedas sejam independentes um do outro. Além disso, para
moedas equilibradas, P(caras) = ½ . Logo, P(cara, e coroa) será:
1a jogada
2a jogada
ambas
½
.
½
=
¼
3) No caso de três moedas. Qual a probabilidade de três caras?
Resolução:
1a jogada
2a jogada
3a jogada
½
.
½
.
½
=
ambas
1/8
4) Em 25% das vezes John chega em casa para jantar. Por outro lado, o jantar atrasa 10% das vezes. Se
não há qualquer relacionamento entre os atrasos de John e os atrasos do jantar, qual a probabilidade de
ocorrerem ambos os casos?
Resolução:
P(ambos atrasos) = P(John atrasado)P(jantar atrasado)
P(ambos atrasos) = (0,25)(0,10)
P(ambos atrasos) = 0,025 ou 2,5%
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um
exclui a realização do(s) outro(s).
De modo geral, podemos dizer que se dois eventos são mutuamente exclusivo, a probabilidade
de que um ou outro se realize é igual a soma das probabilidades de ocorrência de que cada um deles
se realize:
P = P1 + P2
EXEMPLOS:
1) No lançamento de um dado; a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 em uma jogada é:
Resolução:
p(3) = 1/6
p(5) = 1/6 logo
p(3 ou 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
58
59
2) Numa empresa 30% dos funcionários são do primeiro turno, 35% do segundo, 20% do terceiro, e o
restante do quarto turno. Um dos funcionários ganhou R$ 1.000,00 numa loteria. Determine as
probabilidades:
a) de o funcionário ser do quarto turno;
b) de ser do primeiro turno;
c) de não ser do primeiro turno.
Resolução:
(a)
10 20 30
40
30 + 35 + 20 = 85
15
P(quarto) = 15/100 = 0,15 . 100 = 15%
(b)
10 = 30
P(primeiro = 30/100
P(primeiro) = 0,30 . 100 = 30%
(c)
20 30
40
20 + 35 + 15 = 70
P(não ser do primeiro) = 70/100 = 0,7 . 100 = 70%
E X E R C Í C I O S
1) Determine o complemento de cada um dos seguintes eventos:
a) ganhar num jogo de beisebol
b) ganhar num jogo de futebol
c) obter dois ou três no lançamento de um dado
2) Relacione os resultados possíveis do lance de um só dado. Ache a probabilidade de cada resultado e
adicione-as. R. 1
3) Joga-se um dado equilibrado; determine a probabilidade de obter:
a) um seis R. 1/6 ou 16,66%
b) cinco, seis ou sete R. 2/6 ou 33,33%
c) um número par R. 3/6 ou 50%
d) um número menor que quatro R. 3/6 ou 50%
4) Há 50 bolas numa urna, distribuídas como segue:
COR
NÚMERO
AZUL
20
VERMELHA
15
LARANJA
10
VERDE
5
TOTAL
50
Misturam-se as bolas e escolhe-se uma. Determine a probabilidade de a bola escolhida ser:
a) verde R. 5/50 ou 10%
b) azul R. 20/50 ou 40%
c) azul ou verde R. 25/50 ou 50%
d) não vermelha R. 35/50 ou 70%
e) vermelha ou verde R. 20/50 ou 40%
f) laranja R. 10/50 ou 20%
g) não laranja R. 40/50 ou 80%
59
60
5) De um lote de 10 fusíveis, testa-se um. Determine P(defeituoso) se:
a) 1 fusível é defeituoso R. 1/10
b) 2 fusíveis são defeituosos R. 2/10
c) 3 fusíveis são defeituosos R. 3/10
6)Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:
a)A probabilidade dessa peça ser defeituosa . R. 1/3
b)A probabilidade dessa peça não ser defeituosa. R. 2/3
7) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5%
dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica
selecionada ao acaso nessa população. R. d
a)12,50%
b) 14,28%
c) 23,80%
d) 4,76%
e)25%
8) Determine a probabilidade de Alexandre, Hamilton e Adriano terem nascido no mesmo dia da
semana. R. 1/7 ou 14,28%
9) Numa sala de aula de um curso noturno, a distribuição das idades dos alunos é dada pelo gráfico
seguinte:
no de alunos
5
4
3
2
1
16 17 18 19 20 21
idade dos alunos
Escolhido um aluno ao acaso, a probabilidade de sua idade ser no máximo 18 anos é: R. (c)
a) 4/5
b) 2/5
c) 3/5
d) 9/20
e) 1/4
10) Uma firma realizou um concurso para selecionar alguns universitários que pretendem fazer estágio. A
tabela apresenta as escolhas das carreiras dos estudantes inscritos, por sexo.
SEXO
Carreira
masculino
Feminino
Economia
8
6
Contabilidade
6
5
Administração
11
4
Um desses estudantes é escolhido ao acaso, e sabe-se que ele é do sexo masculino. A probabilidade de
este estudante ter escolhido Contabilidade é de: R. (c)
a) 6%
b) 15%
c) 24%
d) 30%
e) 19,05%
60
61
11)Baseado no problema da questão anterior, a probabilidade de este estudante ter escolhido
Contabilidade ou Economia é de: R. (a)
a) 56%
b) 32%
c) 24%
d) 80.95%
e) 19,05%
12) Com referência a tabela abaixo, qual a probabilidade de uma família aleatoriamente escolhida tenha
renda familiar entre $ 8.000 e $ 12.999? R. (e)
Tabela: Renda familiar anual de 500 famílias
Categoria
Níveis de renda
No de Famílias
1
Menos do que $ 8.000
60
2
8.000 ------ 12.999
100
3
13.000 ------ 19.999
160
4
20.000 ------ 29.999
140
5
30.000 e mais
40
TOTAL
-------------------------500
a) 0,18
b) 0,28
c) 0,12
d) 0,32
e) 0,20
13) (ENEM/2005 - modificada) As ex-alunas de uma turma que completou o curso de Ciências
Contábeis há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e
tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico
abaixo. Um prêmio foi sorteado pela instituição onde as mulheres concluíram o curso superior entre todos
os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que cada criança premiada tenha sido um(a) filho(a)
único(a) é: R. (e)
(A) 1/3
(B) ¼
(C) 7/15
(D) 7/23
(E) 7/25
61
62
MAIS EXERCICIOS
1) Determine a probabilidade de cada evento abaixo:
a) Um nº par aparecer no lançamento de um dado.
b) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair o nº 6 ou um nº ímpar? R. a) ½;
b) 2/3
2) Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, das quais 4 apresentam defeitos. Se um freguês vai
comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar uma defeituosa? R. 1/3
3) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é
escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
a) ela não tenha defeitos graves; R. 7/8
b) ela não tenha defeitos; R. 5/8
c) ela, ou seja, boa ou tenha defeitos graves. R. 3/4
4) Suponha que um gerente de um grande complexo de apartamentos forneça as seguintes estimativas de
probabilidade sobre o número de vagas que haverá no próximo mês:
Vagas
probabilidades
0
0,05
1
0,15
0,35
2
0,25
3
0,10
4
0,10
5
Forneça a probabilidade do evento.
a) sem vagas R. 0,05
b) pelo menos quatro vagas R. 0,20
c) duas vagas ou menos R. 0,55
5) Determine a probabilidade de obter 3 ou menos pontos no lance de um dado. R. 1/2
6)Suponhamos uma urna com 10 bolas, 8 vermelhas e 2 verdes. Qual a probabilidade de escolher uma
verde numa única extração? R. 1/5
7) Jim e Tim acham uma velha moeda. Um exame detido revela que a moeda foi alterada, de modo que
uma face é mais provável que a outra. Jim decide verificar, e lança a moeda 40 vezes, obtendo cara 24
vezes. Em seguida, Tim lança a moeda 50 vezes, obtendo cara 28 vezes.
a) Pode-se dizer que Jim ou Tim tenha obtido uma verdadeira experiência de freqüência relativa? Por
quê?
b) Se o leitor tivesse de escolher um dos dois resultados, qual escolheria e por quê?
8) Um terço dos eleitores de certa comunidade é constituído de mulheres, e 40% dos eleitores votaram na
última eleição presidencial. Supondo que esses dois eventos sejam independentes, determine a
probabilidade de escolher aleatoriamente um eleitor da lista geral, que seja mulher e que tenha votado na
última eleição presidencial. R. 13,33%
9) As falhas de diferentes máquinas são independentes umas das outras. Se há quatro máquinas, e se suas
respectivas probabilidades de falha são 1%; 2%; 5% e 10% em determinado dia, calcule as
probabilidades:
a) de todas falharem em determinado dia R. 0,00010%
b) de nenhuma máquina falhar R. 82,95%
62
63
FATORIAL – DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Chama-se fatorial de um número natural n > 1 e se indica por n! ao produto dos n fatores
decrescentes de n até 1.
n! = n(n – 1) ( n – 2) ( n – 3) ......3 . 2 . 1
onde n! lê-se n fatorial
EXEMPLOS
1. Calcule:
a)
b)
c)
d)
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
3!2! = (3 . 2 . 1) . (2 . 1) = 12
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 60
2!
2.1
e) 8! = 8 . 7 . 6 . 5! = 336
5!
5!
OBS.: Por definição: 0! = 1 e 1! = 1
Números Binomiais
Chama-se número binomial de classe x do número n, onde n e x são números naturais e x ≤ n, a
expressão:
n
x
n!
x!(n – x)!
=
o “n” é o numerador e “x” o denominador do número binomial.
EXEMPLOS
1.
8
5
=
8!
=
5!(8 –5)!
8! =
5!3!
8 . 7 . 6 . 5! =
5! 3 . 2. 1
2.
9
1
=
9!
= 9! =
1!(9 –1)!
1!8!
3.
3
3
=
3!
= 3! =
3!
3!(3 –3)!
3!0!
3! . 1
4.
6
0
=
6!
= 6! = 1
0!(6 –0)!
1 . 6!
9 . 8! =
1. 8!
56
9
= 1
63
64
Distribuição Binomial
Vamos imaginar fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos, um dos quais é
considerado como sucesso e o outro insucesso. Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes quanto se
queira (n vezes), nas mesmas condições. As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado
de uma não deve afetar os resultados das sucessivas. No decorrer do experimento, a probabilidade p do
sucesso e a probabilidade de q (q =1- p) do insucesso, manter-se-ão constantes.
Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obter x sucessos em n
tentativas. Nessas condições X é uma variável aleatória discreta que segue uma distribuição binomial.
Fórmula:
P(x) =
n
 .p x .qn−x
x
P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas.
n = nº de vezes que o experimento aleatório é repetido
x = nº de sucessos em n tentativas
p = é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova = sucesso.
q = é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova = insucesso.
n
x
é o coeficiente binomial de n sobre x, igual a
n!
x! (n − x)!
Variância - S2 = n.p.q
Desvio padrão – S =
s2
OBS: O nome binomial é devido à fórmula, pois representa o termo geral do desenvolvimento do
binômio de Newton:
Fórmula do Termo geral
(p + q)n = n pxqn-x + n
0
1
p1qn-1 + n
2
p2qn-2 + n p3 q n-3 + ... +
3
n pnq0
n
EXEMPLOS
1) Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3
caras nessas 5 provas.
Resolução:
n = 5 x = 3 p = 1/2 q = 1 - (1/2) = 1/2
P(x=3) = 5 . (½)3 . (1/2)5-3
3
P(x=3) =
5 . (1/8) . (1/4)
3
P(x=3) =
5 . (1/32)
3
64
65
P(x=3) =
5
3
=
P(x=3) =
5
3
=
P(x=3) =
5 = 5.4
3
2.1
10 . 0,03125
P(x=3) =
5!
. 0,03125
3!(5 –3)!
5 . 4 . 3!
3! 2!
= 20 = 10
2
P(x=3) = 0,3125 . 100 = 31,25%
2) Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são embaladas em caixas que contém 12
peças. Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo:
a) nenhuma peça defeituosa;
b) uma peça defeituosa.
Solução:
1. E: examinar uma peça
D ⇒ P(D) = 0,1
N ⇒ P(N) = 0,9
2. n = 12 repetições independentes de E.
3. Se convencionarmos D como sucesso, então estamos interessados no item a na ocorrência de 0 sucesso.
P(x =0) =
12
0
(0,1)0 (0,9)12 = 0,2824 ou 28,24%
No item b estamos interessados na ocorrência de 1 sucesso.
P(x =1) =
12
1
(0,1)1 (0,9)11 = 12 (0,1 ) ( 0,3138106) = 0,37657 0u 37,66%
3) Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 20% dos títulos eram
pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 títulos da carteira, determine a probabilidade
que: No máximo dois sejam pagos com atraso.
Solução:
No máximo dois sejam pagos com atraso.
E:
Sem Atraso: SA ⇒ P(SA) = 0,8
Com Atraso: CA ⇒ P(CA) = 0,2
n = 20 repetições independentes de E.
considerando como sucesso CA, estamos interessados na ocorrência de 0,1 ou 2 sucessos.
P[x < 2] = P[0] + P[1] + P[2]
P[x < 2] = 20 (0,2)0 (0,8)20 + 20 (0,2)1 (0,8)19 + 20 (0,2)2 (0,8)18
0
1
2
P[x < 2] = 0,0115 + 20(0,2)(0,0144) + 190(0,0400)(0,01800)
+ 0,13680
P[x < 2] = 0,01150 + 0,05760
P[x < 2] = 0,2059 ou 20,59%
OBS.: 20!
2
= 190
65
66
EXERCICIOS
1) Calcule:
a) 6!
b) 3! 4!
c) 5! + 2!
d)4! – 3!
e)3! + 5!
R. a) 720; b) 144; c)122; d) 18; e) 126;
2) Calcule:
a) 9
2
b) 7
2
c)
3
1
R. a) 36; b) 21; c) 3
3) Determine a probabilidade de obtermos exatamente 3 caras em 6 lances de uma moeda.
R. 0,3125 ou 31,25%
4) Considere um experimento binomial com dois ensaios e p = 0,4.
a)
b)
c)
d)
e)
Calcule a probabilidade de um sucesso, f(1). R. 48%
Calcule f(0). R. 36%
Calcule f(2). R. 16%
Encontre a probabilidade de pelo menos um sucesso. R. 64%
Encontre a variância e o desvio padrão. R. 0,48 e 0,6928
5) Considerando as decisões de compra dos próximos três cliente que entram na loja de roupas “Leve
Tudo”. Com base em experiências passadas, o gerente da loja “Leve Tudo”estima que a probabilidade de
qualquer um dos clientes comprará é de 0,30.Calcular a probabilidade de que nenhum cliente faça uma
compra; exatamente um cliente faz uma compra; exatamente dois clientes fazem uma compra e todos os
três clientes fazem uma compra.
R. f(0) = 0,343; f(1) = 0,441;
f(2) = 0,189;
f(3) = 0,027
6) Considerando o problema com 3 clientes da loja “Leve Tudo”, vemos que a variância e desvio-padrão
para o número de clientes que fazem uma compra são de?
R. 0,63 e 0,79
7) Se considerarmos a estimativa de probabilidade que qualquer um dos clientes que entra na loja “Leve
Tudo” seja de 0,30, a probabilidade de fazer exatamente 4 vendas a 10 clientes que entram na loja é ?
R. f(4) = 0,2001 ou 20,01%
8) Para os próximos 1000 clientes que entram na loja “Leve Tudo”, a variância e o desvio–padrão para o
número de clientes que fazem uma compra é de?
R. 210 e 14,49
66
67
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADES
f(x)
x
µ
“x = s possui um máximo para z = 0, e neste caso sua ordenada 0,39”
f(x)
x
µ-s
µ
µ+ s
“f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem µ-s e µ+ s”
Cálculo de Probabilidades
A probabilidade de P[a < x < b] é a área da região sob a curva definida pelo intervalo ]a,b[.
f(x)
x
a
b
A determinação desta área usando-se o cálculo integral é bastante complicada.
Para superar esta dificuldade, uma particular distribuição normal z com média µ=0 e s (z) =1 foi
utilizada.
Uma tabela contendo os valores positivos de z e a área compreendida sob a curva entre 0 e z foi
construída.
z:
f(z)
z
0
z
Esta distribuição foi escolhida pelo fato de apresentar os parâmetros mais simples.
Qualquer outra distribuição normal x com média µ e desvio-padrão s pode ser transformada, para
efeito do cálculo de área, na distribuição normal padrão z, através da mudança de variável:
Z=X–µ
S
67
68
onde:
µ= np (média)
S=
s 2 (desvio padrão)
Propriedades da distribuição normal
1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real.
2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da
média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss.
3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à
probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.
4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do
eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo.
5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é
igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a
0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.
Conhecendo-se a área especificada na tabela, qualquer outro tipo de área poderá ser calculada
usando-se a simetria da curva.
Uso de Tabela – distribuição z
Exemplo 01:
Calcule a probabilidade de a variável normal padrão z assumir valores entre 0 e 1.
Solução:
z:
f(z)
z
0
1
Note que a área entre zero e um valor positivo é exatamente a área fornecida pela tabela.
- Entra-se na tabela na 1a coluna z vai até o 1 têm-se o correspondente na 2a coluna 0,00
O valor da área correspondente a z = 1,00 é 0,3413. Portanto, P(0<z<1) = 0,3413.
Exemplo 02:
Calcule a probabilidade de a variável normal padrão z assumir valores maiores que 1.
Solução:
z:
f(z)
z
0
1
Observe que o valor tabelado na distribuição normal padrão é o valor da área entre 0 e 1.
68
69
No entanto, pela simetria da curva, a área à direita de zero é igual a 0,5.
Portanto, P(z > 1) = 0,5 – P(0 < z < 1)
P(z >1) = 0,5 – 0,3413
P(z >1) = 0,1587
Exemplo 03:
Calcule a probabilidade de a variável normal padrão z assuma o valor 1.
Solução:
Como neste caso, o intervalo se reduz a um ponto, a área é zero.
Assim, P(z = 1) = 0
De um modo geral, a probabilidade de a variável z assumir um único valor é sempre zero.
Exemplo 04:
Calcule a probabilidade de a variável normal padrão z assumir um valor menor que –1.
Solução:
z:
f(z)
z
-1
0
Pela simetria a área da esquerda –1 é igual à área da direita de 1.
Assim, P(z < - 1) = P(z > 1)
P(z < - 1) = 0,5 – 0,3413
P(z < - 1) = 0,1587
Exemplo 05:
Deseja-se a probabilidade P( -2,55 < z < 1,2).
Solução:
z:
f(z)
z
-2,55
0
1,2
Entra-se na tabela, com o valor 1,2 na 1a coluna(z) e 0,00 na 1a linha, obtendo 0,3849.
Lembrando a propriedade da simetria em relação a z = 0, entra-se com 2,5 na 1a coluna e 0,05 na 1a
linha, obtendo 0,4946. Portanto,
P(-2,55 < z < 1,2) = 0,3849 + 0,4946
P(-2,55 < z < 1,2) = 0,8795
69
70
Exemplo 06:
Uma variável aleatória x normal apresenta média 20 e desvio-padrão 3. Calcule P(20< x< 23).
Solução:
f(x)
x:
x
20
23
Usando a mudança de variável:
z= x – µ
s
Obtemos os valores de z correspondentes aos pontos 20 e 23:
z = 20 – 20 = 0
3
z = 23 – 20 = 1,00
3
A área entre os pontos 20 e 23 na distribuição de x é a mesma área entre os pontos 0 e 1 na distribuição
de z. desta forma , P(20< x< 23) = P(0 < z < 1,00).
Este valor é obtido diretamente na tabela consultando-se o valor z = 1,00.
Assim, P(20 < x <23) = 0,3413.
EXERCICIOS
1. Deseja-se a probabilidade de P( z ≥ 1,93). R. 2,68%
2. As alturas dos funcionários de determinada empresa são normalmente distribuídas com média 1,60m e
desvio-padrão 0,30m. Encontre a probabilidade de um funcionário medir:
a)
b)
c)
entre 1,50 e 1,80m; R. 37,47%
mais de 1,75 m;
R. 30,85%
menos de 1,48m. R. 34,46%
3. A duração de 500 componentes eletrônicos tem média 800 dias e desvio-padrão 35 dias. Calcular a
probabilidade de esse componente durar:
a)
b)
entre 700 e 900 dias;
mais que 800 dias.
R. 99,56%
R. 50%
4. O salário mensal dos operários industriais são distribuídos normalmente em torno de uma média de
R$180,00 com desvio- padrão de R$ 25,00. Pede-se que encontre a probabilidade de um operário ter
salário mensal situado entre R$ 150,00 e R$ 178,00. R. 41,68%
5. Determinada máquina enche latas baseada no peso bruto com média 1kg e desvio-padrão 45g.
Determine a probabilidade de uma lata conter mais de 950g de peso líquido. R. 13,35%
6. Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele
obedecia a uma distribuição normal, de média 48.000 km e desvio-padrão 2.000 km. Calcular a
probabilidade de um pneu escolhido ao acaso:
70
71
a)
b)
dure mais que 46.000 km;
dure entre 45.000 e 50.000 km.
R. 15,87%
R. 77,45%
7. A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma certa máquina é
0,502 polegadas e o desvio padrão é 0,005 polegadas. A finalidade para a qual essas arruelas são
fabricadas permite a tolerância máxima, para diâmetro, de 0,496 a 0,508 polegadas; se isso não se
verificar, as arruelas serão consideradas defeituosas. Determinar a porcentagem de arruelas defeituosas
produzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente. R. 76,98% e 23,02%
8. Os salários dos bancários são distribuídos normalmente, em torno da média R$ 10.000,00, com desvio
padrão de R$ 800,00. Calcule a probabilidade de um bancário ter o salário situado entre R$ 9.800,00 e
R$ 10.400,00. R. 29,02%
71
72
TABELA : Áreas para a Distribuição Normal Padronizada
x
0
z
Cada casa na tabela dá a proporção sob a curva inteira entre z = 0 e um valor positivo de z. As áreas
para os valores de z negativos são obtidos por simetria.
z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,00
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,01
0,0040
0,0438
0,0832
0,1217
0,1591
0,1950
0,2291
0,2612
0,2910
0,3186
0,02
0,0080
0,0478
0,0871
0,1255
0,1628
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,03
0,0120
0,0517
0,0910
0,1293
0,1664
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,04
0,0160
0,0557
0,0948
0,1331
0,1700
0,2054
0,2389
0,2704
0,2995
0,3264
0,05
0,0199
0,0596
0,0987
0,1368
0,1736
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,06
0,0239
0,0636
0,1026
0,1406
0,1772
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,07
0,0279
0,0675
0,1064
0,1443
0,1808
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,08
0,0319
0,0714
0,1103
0,1480
0,1844
0,2190
0,2518
0,2823
0,3106
0,3365
0,09
0,0359
0,0753
0,1141
0,1517
0,1879
0,2224
0,2549
0,2852
0,3133
0,3389
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,3438
0,3665
0,3869
0,4049
0,4207
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,3461
0,3686
0,3888
0,4066
0,4222
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,3485
0,3708
0,3907
0,4082
0,4236
0,4370
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,3531
0,3749
0,3944
0,4115
0,4265
0,4394
0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,3354
0,3770
0,3962
0,4131
0,4279
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,3357
0,3790
0,3980
0,4147
0,4292
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4756
0,3599
0,3810
0,3997
0,4162
0,4306
0,4429
0,4535
0,4625
0,4699
0,4761
0,3621
0,3830
0,4015
0,4177
0,4319
0,4441
0,4545
0,4633
0,4606
0,4767
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4778
0,4826
0,4864
0,4896
0,4920
0,4940
0,4955
0,4966
0.4975
0,4982
0,4783
0,4830
0,4868
0,4898
0,4922
0,4941
0,4956
0,4967
0.4976
0,4982
0,4788
0,4834
0,4871
0,4901
0,4925
0,4943
0,4957
0,4968
0.4977
0,4983
0,4793
0,4838
0,4875
0,4904
0,4927
0,4945
0,4959
0,4969
0,4977
0,4984
0,4798
0,4842
0,4878
0,4906
0,4929
0,4946
0,4960
0,4970
0,4978
0,4984
0,4803
0,4846
0,4881
0,4909
0,4931
0,4948
0,4961
0,4971
0,4979
0,4985
0,4808
0,4850
0,4884
0,4911
0,4932
0,4949
0,4962
0,4972
0,4979
0,4985
0,4812
0,4854
0,4887
0,4913
0,4934
0,4951
0,4963
0,4973
0,4980
0,4986
0,4817
0,4857
0,4890
0,4916
0,4936
0,4952
0,4964
0,4974
0,4981
0,4986
3,0 0,4986
0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
4,0 0,49997
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73
EXERCICIOS SUPLEMENTARES
MONÔMIOS E POLINÔMIOS
1) Resolva os monômios e os polinômios:
a) 2x(5x y + z) =
b) x( 5x y + z) =
c) (y + 2x) - (5x + 3y)
d) (15xy + 6xy): (3xy)
e) (5x3 – 10x2 + 3x ) : (x – 5)
f) (x3 – 4x2 - 3x + 2 ) : (x – 1)
g) (2x + 3y) (2x – 3y) =
LIMITES
1) Calcular os limites:
a)
x→2
b ) lim
x→3
c)
( x 2 − 1) =
lim
lim
x →1
x +1
x+2
x2 + 1
=
x −1
d) lim x3 - x =
x→2
x
e) lim
x → -2
3x + 1 =
5
f) lim
(x + 2) =
x → 1 ( x + 3)
g) lim
x² + 4 =
x→2 2 + x
h) lim (x² - 2)2
x→1
i) lim
2x² - x + 1
x → 1 3x - 2
2
=
73
74
j) lim 2 x 3 − x 2 =
x→ 2
k) lim x 3 + 3 =
x→ 1
l) lim
x² - 4
=
x → 2 x2 - 2x
m) lim
x² - 3x + 2 =
x→ 1
x -1
n) lim
3x3 – 4x2 – x + 2 =
x → 1 2x3 – 3x 2 + 1
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (TVM)
1) Calcular a taxa média de variação das funções abaixo nos pontos dados:
a) y = 3x + 10
[2; 5]
b) f(x) = 10x – x2
[0; 2]
2) Um estudo de eficiência conduzido pela companhia Elektra Eletronics mostrou que o número de chips
montados pelo trabalhador médio t horas após iniciar o trabalho às 8:00hs da manhã é dada por N(t) = t3
- 6t2 + 15. Quantos chips podemos esperar que um trabalhador médio em t horas monte entre 8:00 e
10:00hs ?
3) A administração da Companhia de Pneus Titan descobriu que a função demanda semanal para seus
pneus Super Titan é dada por P(x) = 144 + x2 , onde p é medido em dólares e x é medido em milhares.
Calcule a TVM do preço unitário do pneu, se a quantidade em demanda estiver entre 5mil e 8mil pneus.
4) O custo total C(x) em dólares que a Companhia Aloha tem de fabricar x pranchas de surfe por dia
(dado em milhares) é dado por C(x) = -10x2 + 300x + 130. Qual a TVM do custo para fabricação entre
2mil e 12mil pranchas?
DERIVADAS (PROPRIEDADES)
1) Derivar através das propriedades:
a) y = 3x2 + 4x – 10
b) f(x) = x7 + 2x4 + 3x5
2 .
e) f(x) = 8x – 20
d) y = x
(x +2)
16x2
2) Ache a derivada das funções:
b) f(x) = -x + 4
a) f(x) = 4x – 2x2
4
2
f) f(x) = (3x + 2) (x + 2)
g) f(x) = (2x + x2) (4x + 1)
c) y = (x2 – 1) (x2 + 1)
c) f(x) = 2x2 + 3x – 4
h) f(x) = x4 + 3
e) f(x) = x4
i) f(x) = x2 – 5x + 1
x–3
3) Calcule as derivadas sucessivas (f’’’) das funções abaixo:
a) f(x) = -2x + 4x3
b) f(x) = 3x2 - 3x + 8
c) f(x) = x8
d) f(x) = x3 – 8x2 + 4x – 1
f) y = 5x4 – x3 + 3x2
e) y = 5x5 + 4x4 – 2x3 + 2x2 + x -1
PONTO DE MÁXIMO E DE MÍNIMO
1) Determinar os pontos de máximo ou de mínimo se houver das funções abaixo.
b) f(x) = 2x3 – 2x2 - 2x
c) f(x) = x3 – 4x
d) f(x) = x2 – 4x + 3
a) y = 3x2 + 2x – 1
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ESTATISTICA - MÉDIA/MEDIANA E MODA
OsOs
dados
1)
dados da tabela abaixo, referem-se aos salários de 50
funcionários da empresa X. Com base nesses dados determine:
Salários(R$) Funcionários
l
L
(fi)
100|---200
2
200|---300
15
300|---400
6
400|---500
7
500|---600
6
600|---700
2
700|---800
1
800|---900
2
900|---1000
3
1000|---1100
4
1100|---1200
2
TOTAL
50
a) A média salarial. R. R$ 514,00
b) A moda salarial. R. R$ 259,00
R. R$ 428,57
c) A mediana.
d) A freqüência percentual dos funcionários que recebem
salário inferior a R$ 600,00. R. 72%
e) A porcentagem de funcionários que recebem salário
abaixo de R$ 800,00. R. 78%
f)
A porcentagem de funcionários que recebem salário
superior ou igual a R$ 500,00. R. 40%
a
g) A freqüência percentual da 4 classe. R. 14%
h) A amplitude da amostra. R. R$ 1100,00
A amplitude da classe. R. R$ 100,00
i)
O valor numérico entre a média salarial e a moda.
j)
R. R$ 255,00
2) Cinco baldes contêm 4L de água cada um, três outros
contêm 2L de água cada um, e, ainda dois contém 5L de água
cada um. Se toda essa água fosse distribuída igualmente entre
esses baldes, com quantos litros ficaria cada um?
R. 3,6 litros
3) Numa empresa, dez operários têm salários de R$ 2000,00
mensais; doze têm salário de R$ 1.500,00 mensais e oito
operários têm salário de R$ 1.400,00 mensais. Qual é o salário
médio ponderado desses operários?
R. R$ 1640,00
4) Entre sessenta números, vinte são iguais a 5, dez são
iguais a 6, quinze são iguais a 8, dez são iguais a 12, e cinco
são iguais a 16. Determine a média aritmética ponderada
desses números. R. 8
5) As idades dos jogadores de um time de basquetebol são
18, 23, 19, 20 e 21 anos. Qual é a média de idade desses
jogadores?
R. 20,2 anos
6) O gráfico mostra a distribuição de uma amostra de
garrafas de refrigerantes e seus respectivos volumes em
mililitros.
Número
de
Número de garrafas
400
200
100
Volume(ml)
0
280
300
320
a) Quantas garrafas compõem essa amostra?
R. 700 garrafas
b) Qual a freqüência percentual da classe “300 ml”?
R. 57,14% aproximadamente
c) qual a freqüência percentual da classe “280 ml”?
R. 14,28% aproximadamente
d) qual a freqüência percentual da classe “320 ml”?
R. 28,57% aproximadamente.
e) qual a diferença percentual entre a classe “300 ml” e a
classe “280 ml”?
R. 42,86%
f) qual é a classe modal? R. 300
7)Uma pessoa comprou 5 garrafas de suco de frutas, uma de
cada tipo. A tabela mostra o preço de cada garrafa de suco.
SUCOS
PREÇO
POR
GARRAFA
MARACUJÁ
R$
5,70
LARANJA
CAJU
ABACAXI
UVA
R$
3,50
R$
2,30
R$
3,20
?
Sabendo que nessa compra o preço médio de uma garrafa foi
de R$ 3,80, pode-se concluir que o preço da garrafa de suco
de uva é: R. (c)
a) R$ 3,80
e) R$ 4,90
b) R$ 4,20
c) R$ 4,30
d) R$ 4,70
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76
CÁLCULO DE PROBABILIDADE
1) Se extrairmos uma só bola de uma urna com 321 bolas, qual a probabilidade de extrair qualquer delas?
R. 0,3115%
2) Os arquivos de uma companhia imobiliária revelam que, num período de 16 dias, a frequência de casas
vendidas por dia foi:
Número
Número dias
vendido
0
3
1
2
2
5
3
6
TOTAL
16
Se admitirmos que o passado é representativo do futuro (o que nem sempre é o caso), determine a
probabilidade na tabela acima:
R. P(0) = 18,75%; P(1) = 12,50%; P(2) = 31,25% e P(3) = 37,50%
3) Um carregamento de 10.000 caixas de lenços de papel chega a um depósito. Cada caixa traz a
indicação “400 unidades”; mas na verificação de uma amostra de 300 caixas, constam-se 45 com menos
de 400 unidades. Estime a probabilidade de qualquer caixa da remessa ter menos de 400 unidades. R. 15%
4) Uma pesquisa de tráfego levada a efeito das 5 às 6 horas da manhã num trecho de uma estrada federal
revelou que, de 200 carros que pararam para uma verificação rotineira de segurança, 25 tinham pneus em
más condições. Estime a probabilidade de um carro que pare naquele trecho ter os pneus bons. R. 87,5%
5) Os dados metereológicos de determinada localidade indicam que, nos últimos 100 anos, a temperatura
máxima do primeiro dia de verão excedeu a 750F em 79 anos. Estime a probabilidade de que tal ocorra
no primeiro dia de verão deste ano. R. 79%
EVENTOS INDEPENDENTES:
6) Uma firma exploradora de petróleo perfura um poço quando acha que há pelo menos 25% de chance
de encontrar petróleo. Ela perfura quatro poços. Dos quais atribui às probabilidades: 0,3; 0,4; 0,7 e 0,8.
Determine:
a) Determine a probabilidade de nenhum dos poços produzirem petróleo, com base nas estimativas da
firma. R. 2,52%
b) Qual a probabilidade de os quatro poços produzirem petróleo? R. 6,72%
7) Mike tem dois velhos automóveis. Nas manhãs frias, há 20% de probabilidade de um deles não
“pegar” e 30% de outro não “pegar”. Qual a probabilidade de nenhum pegar? R. 6%
8) Rone aguarda com ansiedade o resultado de dois exames que acaba de fazer. Ele estima em 0,80 a
probabilidade de obter A em literatura Inglesa, e em 0,40 a probabilidade de obter A em Filosofia.
Determine as seguintes probabilidades:
a) grau A em ambos os exames. R. 32%
b) nenhum A. R. 12%
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS:
8.1) As probabilidades de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou sete acidentes num dia de semana entre 1 e 6 horas da
manhã são respectivamente, 0,08, 0,15, 0,20, 0,25, 0,18, 0,07 e 0,01. Determine as seguintes
probabilidades para um dia qualquer da semana naquele horário:
a) menos de três acidentes. R. 43%
76
77
b) três ou mais acidentes. R. 51%
c) exatamente três acidentes. R. 25%
d) nenhum acidente. R. 8%
e) mais de quatro acidentes. R. 8%
8.2) Suponha que temos um espaço amostral S = {E1, E2, E3, E4, E5, E6}, onde E1, E2, ....., E6 denotam
os pontos amostrais. As seguintes atribuições de probabilidades se aplicam: P(E1) = 0,05, P(E2 )= 0,20,
P(E3) = 0,20, P(E4) = 0,25, P(E5) = 0,15, P(E6) = 0,10. seja:
A = {E1, E4 }
B = {E2, E4, E6 }
C = {E2, E3, E5 }
a) Encontre P(A) ou P(B). R. 85%
b) Encontre a P(C ) ou P (A) R. 85%
c) Encontre P(B) ou P(C) R. 110%
FATORIAL
9) Se um torneio de basquetebol consiste de 36 times, de quantas maneiras podem ser conquistados os
três primeiros lugares? R. 42.840 maneiras
10) Um cardápio oferece cinco tipos de carne ou peixe, quatro de salada, três de batatas e duas de
vegetais. Quantos jantares são possíveis formar, com um tipo de cada um? R. 120 tipos
11) De quantas maneiras podemos escolher um comitê de quatro pessoas dentre oito? R. 70 maneiras
12) Joga-se uma moeda sete vezes. De quantas maneiras podem ocorrer os seguintes resultados?
a) cinco caras. R. 21 maneiras
b) quatro caras. R. 35 maneiras
c) todas caras. R. 1 maneira
d) uma cara. R. 7 manerias
13) A Pizzaria Joe oferece as seguintes escolhas de pizza: presunto, cogumelo, pimentão, enchova e
mussarela. De quantas maneiras podemos escolher dois tipos diferentes de pizza? R. 10 maneiras
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
14) Um vendedor de automóveis novos constatou que 80% dos carros vendidos são devolvidos ao
departamento mecânico para corrigir defeitos de fabricação, nos primeiros 25 dias após a venda. De 11
carros vendidos num período de 5 dias, qual é a probabilidade de que:
a) todos voltem dentro de 25 dias para reparo. R. 8,59%
b) só um não volte. R. 23,62%
15) Suponha que 8% dos cachorros-quentes vendidos num estádio de beisebol sejam pedidos sem
mostarda. Se sete pessoas pedem cachorro-quente, determine a probabilidade de que:
a) todos queiram mostarda. R. 0,000002097%
b) apenas um não a queira. R. 0,0016882%
c) determine a variância e o desvio padrão. R. 0,51520 e 0,7177
16) Sejam 0,10 a probabilidade de sucesso e 100 o número de observações. Determine à média e o
desvio padrão da distribuição. R. 10 e 3
77
78
17) Os registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas por ela emitidas são pagas
após o vencimento. De 14 faturas expedidas, determine a probabilidade de:
a) nenhuma ser paga com atraso. R. 0,00078
b) no máximo duas serem pagas com atraso. R. 3,99%
c) ao menos uma ser paga com atraso. R. 3,91%
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (Z):
18) As vendas de gasolina num depósito de atacado acusam a média de 40.000 galões diários, com um
desvio-padrão de 30.000 galões. Supondo adequada a distribuição normal, determine a probabilidade de
serem vendidos mais de 42.000 galões de gasolina por dia. R. 47,61%
19) Um fornecedor de ferro alega que seu produto apresenta resistência à tensão aproximadamente
normal com média de 50.000psi e desvio-padrão de 8.100psi. Supondo verdadeira a situação, que
percentagem de mensuração dará resultado inferior a 49.550psi? R. 48,01%
20) Uma variável aleatória está distribuída normalmente com uma média de 50 e um desvio-padrão de 5.
Qual é a probabilidade de a variável aleatória assumir um valor entre 40 e 60? R. 95,44%
21) O tempo médio que um assinante gasta lendo o jornal é de 49 minutos. Considere que o desviopadrão seja de 16 minutos e que os tempos sejam distribuídos normalmente. Qual é a probabilidade de
que um assinante gaste mais do que 30 minutos lendo o jornal? R. 11,90%
22) O volume de comercialização na Bolsa de Valores de Nova York tem crescido nos últimos anos.
Para as duas primeiras semanas de janeiro de 1998, o volume médio diário foi de 646 milhões de
ações(Barron’s, janeiro de 1998). A distribuição de probabilidade do volume diário é aproximadamente
normal com um desvio-padrão de cerca de 100 milhões de ações.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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DOWLING, E.T. – Elementos da Matemática Aplicada a Economia e Administração – Rio de Janeiro –
Editora Mac Graw Hill.
IEZZI, G.E Outros – Fundamentos da Matemática Elementar – Vols 1 e 2 – Atual Editora, 1993.
MEDEIROS e Outros – Matemática para os cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis.
Volume 1 - Editora Atlas – 5ª edição –SP.
NERY, Chico E. Totta, Fernando – Matemática Curso Completo – Editora Moderna ,1994 – SP.
FARHAT, Cecília Aparecida Vaiano – Introdução a Estatística Aplicada – S. Paulo: FTD. 1998 (coleção ensino técnico).
MARTINS, G. de A.; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. Editora Atlas, São Paulo: 1991.
VIEIRA, S.; WADA, R. Estatística – Introdução Ilustrada. 2a ed., Editora Atlas, São Paulo: 1988.
SILVA, Luiza Maria O. da; MACHADO, Maria Augusta S. – Matemática Aplicada á
Administração, Economia e Contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
TAN, S. T. Matemática Aplicada á Administração e Economia – 5ª edição – São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2001.
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