P2 - Instituto de Física / UFRJ

Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica – Fı́sica III – 2012/1
Segunda Prova (P2): 18/06/2012
Versão: A
4. Considere uma espira retangular pela qual passa uma corrente
elétrica estacionária de intensidade I. O sistema de eixos foi
escolhido de modo que a espira se encontra no plano X Z e o
sentido da corrente na espira está indicado na figura.
6. Considere três anéis circulares muito finos: (I) um condutor;
(II) um isolante, e (III) um com metade condutora e metade isolante. Eles são colocados, em repouso, separadamente,
numa região de campo magnético não estacionário, uniforme,
perpendicular ao plano do anel. Em que casos, surge uma
força eletromotriz ao longo do anel?
Formulário
I=
Z
J · n̂ dA ,
J = nqv ,
F = qE + qv × B ,
(a)
I
dF = Idℓ × B ,
S
I
C
Seção 1.
B · dℓ = µ0 Ienc + µ0 ǫ0
dΦE
,
dt
Eind = −
dΦB
,
dt
dB =
S
ΦB [1] = LI1 + M I2 ,
uB =
µ0 Idℓ × r̂
4π
r2
1 B2
2 µ0
Sabe-se que o campo magnético na região onde a espira se encontra é dado por B(r) = By (x) ŷ, tal que o gráfico de By (x)
contra x está mostrado a seguir.
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
2. Um capacitor de placas paralelas e circulares está inicialmente
descarregado. A partir de um certo instante, ele começa a
ser carregado por uma corrente não estacionária. Durante
tal processo de carga, considere as seguintes afirmativas: (I) o
campo elétrico entre as placas é diferente de zero; (II) o campo
magnético entre as placas é zero, e (III) o campo magnético
fora das placas é diferente de zero. Indique a alternativa que
registra qual(is) dessas afirmações é(são) correta(s).
1. Uma espira retangular, condutora, se move numa região de
campo magnético gerado por um fio retilı́neo muito longo,
transportando uma corrente estacionária, como mostra a figura. A espira percorre a trajetória 1 → 2 → 3 → 4. Determine o sentido da corrente induzida ao longo da espira em
cada uma das partes da trajetória.
(a)
B· n̂ dA = 0 ,
horário, não há corrente, anti-horário, não há corrente.
(b)
anti-horário, não há corrente, horário, não há corrente.
(c)
não há corrente, horário, não há corrente, antihorário.
(d)
não há corrente, anti-horário, não há corrente,
horário.
(e)
horário, não há corrente, não há corrente, antihorário.
(f)
anti-horário, não há corrente, anti-horário, não há corrente.
(a)
I.
(b)
II.
III.
(a)
I e II.
(b)
Ela aponta no sentido de ŷ.
(e)
I e III.
(c)
Ela aponta no sentido de ẑ.
(f)
II e III.
(d)
Ela aponta no sentido de −x̂.
I, II e III.
(e)
Ela aponta no sentido de −ŷ.
(h)
Nenhuma.
3. Um acelerador de partı́culas é projetado para desviar um
próton de massa M e carga e, que incide com velocidade
v i = v0 x̂ e que deverá ser defletido para sair com uma nova
velocidade v f = −v0 ŷ, conforme mostra a figura. Determine
o vetor campo magnético B para que isso aconteça.
B=−
(b)
B
(e)
(f)
1
M v0
ẑ.
ed
M v0
=
ẑ.
ed
M v0
ẑ.
=−
eL
M v0
ẑ.
=
eL
M v0
=−
ẑ.
e(d + L)
M v0
=
ẑ.
e(d + L)
(a)
B
B
B
(d)
I e II.
(e)
I e III.
(f)
II e III.
(g)
I, II e III.
(h)
Nenhum deles.
Ela aponta no sentido de x̂.
(g)
(d)
III.
Com respeito a força magnética resultante sobre a espira, é
correto afirmar que
(c)
B
II.
(c)
7. Considere um circuito ôhmico, com capacitância e autoindutância desprezı́veis. Através de uma superfı́cie fixa delimitada por tal circuito, o fluxo do campo magnético varia no
tempo como mostra a figura abaixo.
(d)
(c)
I.
(b)
(f)
Ela aponta no sentido de −ẑ.
(g)
Ela é nula.
Indique a alternativa que melhor representa a correspondente
corrente induzida ao longo do circuito.
(a)
5. Considere as seguintes três afirmativas: (I) num dado circuito,
a força eletromotriz auto-induzida é sempre de sentido oposto
ao da corrente total existente; (II) para um indutor dado, fixo,
o trabalho realizado para estabelecer uma corrente de intensidade final I através dele, desde um valor inicial nulo, é linearmente proporcional a I, e (III) se, num dado ponto do espaço,
simplesmente invertermos o vetor campo magnético, a densidade de energia associada ao campo magnético em tal ponto
será quadruplicada. Qual(is) de tais afirmações está(estão)
correta(s)?
(a)
I.
(b)
II.
(c)
III.
(d)
I e II.
(e)
I e III.
(f)
II e III.
(g)
I, II e III.
(h)
Nenhuma.
(b)
(c)
(d)
2
8. Considere dois fios retilı́neos, longos, paralelos, separados por
uma distância a, pelos quais passam correntes estacionárias
I e 2I, no mesmo sentido. É correto afirmar que o campo
magnético resultante será nulo em uma reta coplanar com os
fios e paralela aos mesmos que esteja localizada
(a)
a uma distância a/2 de cada um dos fios.
(b)
a uma distância 2a/3 do fio com corrente 2I e a/3 do
fio com corrente I.
(c)
a uma distância a/4 do fio com corrente 2I e 3a/4 do
fio com corrente I.
(d)
a uma distância a/4 do fio com corrente I e 3a/4 do
fio com corrente 2I.
(e)
O campo magnético resultante devido aos dois fios não
será nulo em ponto algum.
10. Considere uma espira circular, de raio a, na presença de um
campo magnético constante (uniforme e estacionário) B =
B0 ẑ, como mostra a figura. O vetor unitário n̂, perpendicular
ao plano da espira, forma um ângulo θ com o vetor unitário ẑ.
Através da espira, circula uma corrente estacionária de intensidade I, no sentido anti-horário. Determine o fluxo do campo
magnético através da espira, o módulo da força magnética e o
módulo do torque resultantes sobre ela.
9. Considere o circuito da figura abaixo, constituı́do por segmentos retilı́neos (I, III, V e VI) e segmentos de arco de cı́rculos
(II, IV e VII) concêntricos com o ponto C, percorridos por
uma corrente estacionária I, com o sentido assinalado. Indique quais de tais segmentos dão uma contribuição não nula
para o campo magnético resultante no ponto C.
(a)
2. [2,5 pontos] Um solenóide ideal, com n voltas por unidade de comprimento (axial) e seção transversal circular de raio rs , é percorrido por
uma corrente elétrica cuja intensidade varia no tempo de acordo com
i(t) = bt (b = const > 0). Dentro do solenóide, em um plano perpendicular ao seu eixo, com raio re , coloca-se uma espira circular condutora
de resistência R. A auto-indutância da espira e a indutância mútua entre essa e o solenóide são desprezı́veis. Considere, ademais, que a lei de
Ampére usual possa ser aplicada.
(a) Determine o (vetor) campo magnético B dentro do solenóide, produzido pela corrente i(t). [0,5 ponto]
(b) Qual é a intensidade da corrente induzida na espira? [0,5 ponto]
(c) Qual é o sentido de tal corrente induzida? [0,5 ponto]
(d) Determine o (vetor) campo elétrico E induzido na espira. [1,0 ponto]
Justifique toda a sua argumentação.
‘
(a)
ΦB = 0, F = 0, τ = IBπa2 sen θ.
(b)
ΦB = Bπa2 , F = 0, τ = IBπa2 .
(c)
ΦB = Bπa2 cos θ, F = 0, τ = IBπa2 .
(d)
ΦB = Bπa2 , F = 2IaB, τ = 0.
(e)
ΦB = Bπa2 cos θ, F = 0, τ = IBπa2 sen θ.
(f)
ΦB = Bπa2 sen θ, F = 0, τ = IBπa2 cos θ.
II, III, IV, V e VII.
(b)
I, III, V e VI.
(c)
II, IV e VII.
(d)
I, II, IV, VI e VII.
(e)
Todos criam campo magnético não nulo em C.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos]
(a) Determine o (vetor) campo magnético B r a uma distância r de um
fio retilı́neo longo percorrido por uma corrente elétrica estacionária de
intensidade i. [0,8 ponto]
(b) Determine o (vetor) campo magnético B c no centro de uma espira
circular de raio a percorrida por uma corrente elétrica estacionária de
intensidade i. [0,9 ponto]
(c) A figura mostra um fio retilı́neo longo, paralelo ao eixo Z que é
percorrido por uma corrente elétrica estacionária i e apresenta uma
dobra circular de raio a, pertencente ao plano XY . Sabendo que o fio é
recoberto por um esmalte isolante, utilize os resultados obtidos nos itens
anteriores para determinar o campo magnético B resultante no centro
da dobra circular. [0,8 ponto]
Justifique toda sua argumentação.
3
4
corte lateral
corte superior
Gabarito para Versão A
Seção 1.
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
7.
1. (a)
2. (e)
3. (f)
(c)
4. (d)
5. (h)
8. (b)
9. (a)
10. (e)
6. (g)
Considerando a aplicação desta lei na avaliação do campo magnético para um ponto que esteja a uma distância R do fio podemos
assumir que d~ℓ = dz ẑ e ~r = R x̂ − z ẑ então
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
d~ℓ × ~r = dz ẑ × (R x̂ − z ẑ) = R dz ŷ .
1. Resolução:
Por sua vez, observando que
(a) [0,8 ponto] O campo magnético produzido pela corrente elétrica que percorre um fio retilı́neo muito longo pode ser obtido
usando as leis de Biot e Savart ou de Àmpere. Pela lei de Biot e Savart teremos que
~ = µo i
B
4π
Z
C
d~ℓ × ~r
r3
tan (π − θ) = − tan θ = z/R
=⇒
z = −R tan θ
dz = R sec2 θ dθ
=⇒
além do fato de que
r2 = R2 + z 2 = R2 (1 + tan2 θ) = R2 sec2 θ ,
podemos obter a expressão para o campo magnético devido ao fio através de
~ e ~r estão ilustrados na figura 1a.
onde, para o nosso caso, os vetores dℓ
~ f = µo i
B
4π
Z
0
π
R2 sec2 θ
µo i
dθ ŷ =
R3 sec3 θ
4πR
o que resulta em
Z
+π
2
cos θ dθ ŷ =
−π
2
µo i
4πR
~ f (R) = µo i ŷ .
B
2πR
No caso do uso da lei de Ampère, teremos que
I
(
+ π2 )
µo i
sen θ
(1 + 1) ŷ
ŷ =
4πR
−π
2
~ ~ℓ = µo i .
B.d
~ o = µo (~v × ~r)/r3 e sendo o fio retilı́neo,
Levando em conta que cada portador de carga no fio produz um campo dado por B
4π
concluimos que o produto vetorial nesta expressão fornecerá ~v × ~r = vR θ̂. Ou seja, sempre apontará no sentido de θ̂ o que nos
~ f = Bf (r) θ̂ . Em virtude
remete à conclusão de que o campo deve apresentar simetria axial em relação ao fio resultando em ter B
desta simetria podemos escolher como circuito amperiano cı́rculos concêntricos ao fio orientados no sentido anti-horário e contidos
no plano XY (vide figura 1b). Com isso teremos que d~ℓ = r dθ θ̂ e a aplicação da lei de Àmpere resultará em
I
Z 2π
Z 2π
~ f .d~ℓ =
B
Bf (r) θ̂ . r dθ θ̂ = Bf (r) r
dθ = 2πr B(r) = µo i
0
1
0
2
e assim
~ f (r) = µo i θ̂ .
B
2πr
Para obtermos o resultado definitivo devemos observar que, no caso do problema proposto, r = R e θ̂ = ŷ, resultando em ter
~ f (R) = µo i ŷ .
B
2πR
b) [0,9 ponto] Devemos obter o campo magnético produzido no centro de uma espira circular de raio a quando esta for percorrida
por uma corrente elétrica i usando a lei de Biot e Savart
~ = µo i
B
4π
Z
C
d~ℓ × ~r
r3
~ e ~r estão ilustrados na figura 1c. Portanto, nestas condições teremos que d~ℓ = a dθ θ̂ e ~r = −a r̂
onde, neste caso, os vetores dℓ
de forma que
d~ℓ × ~r = −a2 dθ θ̂ × r̂ = a2 dθ ẑ .
Utilizando, agora, estas relações na expressão para a lei de Biot e Savart, encontraremos que
Z 2π 2 Z
µo i
a dθ
µo i 2π
~ c (a) = µo i
~ c (a) = µo i ẑ
B
dθ ẑ =
2π ẑ
=⇒
B
ẑ =
3
4π 0
a
4πa 0
4πa
2a
Portanto, usando os resultados obtidos nos dois itens anteriores teremos que
µo i
~
B(a)
=
(ŷ + πẑ) .
2πa
2. Resolução:
(a) Como o campo magnético fora do solenoide é nulo, e como o campo é constante e uniforme em seu interior, a curva Amperiana
adequada é um retângulo de lados L (ao longo do solenoide) e altura h.
O campo magnético pode ser escrito como
~ = B k̂.
B
Pela lei de Ampère, o único pedaço que contribui para a integral de linha é o pedaço de comprimento L no interior do solenoide,
desta forma
I
Z
Z L
~ · d~l =
~ · d~l =
B
B
Bdz = BL = µ0 IintL = µ0 i(t) N,
L
0
onde N é o número de fios dentro do comprimento L. Podemos agora definir a quantidade n = N/L, que é o número de fios por
unidade de comprimento, e chegamos a
~
B(t)
= µ0 n i(t) k̂.
(b) Pela lei de Faraday temos
dΦB
,
dt
e precisamos calcular o fluxo magnético através da espira de raio re . Como o campo é uniforme sobre a espira, este fluxo será dado
por
ZZ
ZZ
~
dA = B(t)A = B(t)πre2
B(t)
· n̂ dA = B(t)
ΦB (t) =
E=−
espira
espira
Assim a f.e.m. induzida será
E=−
dB(t)
di(t)
dΦB
= −πre2
= −πre2 µ0 n
= −πre2 µ0 nb.
dt
dt
dt
A corrente induzida será então
Iind =
πre2 µ0 nb
.
R
(c) O sentido da corrente fica determinado pela lei de Lenz. Como o fluxo através da espira está aumentando, a corrente induzida
será no sentido horário (contrário ao sentido das correntes no solenoide).
(d) Da lei de Faraday podemos ainda escrever
I
~ · d~l = − dΦB = −πre2 µ0 nb,
E
dt
C
~ · d~l deve ser
onde a curva C está orientada positivamente. Como o fluxo está aumentando, fica claro que o produto escalar E
~ estará na direção de −ϕ̂. Para calcular seu módulo, lembramos que
negativo, e o campo E
I
~ · d~l = −E2πre = − dΦB = −πr2 µ0 nb,
E
e
dt
C
ou seja,
E=
c) [0,8 ponto] Neste caso, devido ao fio estar recoberto pelo verniz isolante, o campo magnético produzido pela corrente elétrica i
no centro da volta circular de raio a será obtido pela soma vetorial
~
~ c (a) + B
~ f (a) .
B(a)
=B
3
na direção de −ϕ̂, ou, de maneira vetorial
re
µ0 nb
2
~ = − re µ0 nb ϕ̂.
E
2
4