Exame de Física - 01/2011 (clique aqui)

1. A figura abaixo mostra uma barra delgada, de comprimento l e massa M, e uma pequena
esfera de massa m. O sistema está pousado sobre uma superfície horizontal sem atrito. A esfera
desloca-se para a direita com velocidade v e atinge a barra a uma distância d do seu centro de
massa em uma colisão elástica. Determine qual deve ser a distância d para que a esfera fique
em repouso após a colisão. O momento de inércia da barra em relação ao seu centro de massa é
Ml2 /12.
M
l
r
υ
m
d
2. A figura abaixo mostra uma espira quadrada, de lado a, e uma parte de um fio retilíneo, longo,
situado no plano da espira e paralelo a dois lados dela. Supondo que o fio transporta uma corrente
estacionária I, determine o fluxo do campo magnético através da espira quando o fio estiver a uma
distância r do seu lado mais próximo. Supondo que a espira se afasta do fio com velocidade v,
determine a força eletromotriz (intensidade e sentido) induzida na espira.
a
I
a
3. Um cilindro muito comprido, de raio a, possui uma densidade de corrente apontando ao longo
do seu eixo, com intensidade dada por
J(r) =
A −r/a
e
r
onde A é uma constante e r é medido a partir do eixo do cilindro. Sabendo que a corrente
total transportada pelo cilindro é I, determine a constante A. Deduza expressões para o campo
magnético nas regiões r < a e r > a (dê sua resposta em termos de I e não de A).
4. Considere um fluido puro caracterizado pelo grande potencial termodinâmico
µ
μ
Φ(T, V, μ) = V f0 (T ) exp
kB T
¶
onde f0 (T ) é uma função bem-comportada e T, V, μ são, respectivamente, a temperatura, o volume
e o potencial químico do sistema.
(a) Escreva as equações de estado nessa representação da termodinâmica.
(b) Obtenha uma expressão para a energia interna em função de T, V, N, onde N é o número
de partículas.
5. Considere o modelo de Einstein de um sólido cristalino unidimensional em contato com um
reservatório térmico a uma temperatura T . Esse modelo simplificado de um sólido é construído a
partir da hipótese de que os N átomos que formam a rede cristalina podem ser aproximados por
N osciladores harmônicos unidimensionais não-interagentes, que oscilam com a mesma frequência
fundamental ω. Dessa forma, a energia total desse modelo é descrita pelo hamiltoniano
¶
N µ
X
1
H=
nj +
~ω
2
j=1
onde nj designa o número de quanta de energia do j-ésimo oscilador. Calcule:
(a) A função de partição canônica desse modelo.
(b) A entropia por oscilador em função da temperatura.
(c) O calor específico desse modelo a baixas temperaturas.
6. Considere uma partícula de massa m em uma dimensão, descrita pela equação de Schrödinger
independente do tempo
−
~2 d2 ψ
+ V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
onde o potencial de interação é dado por V (x) = −aV0 δ(x).
(a) Mostre que a derivada da autofunção ψ(x) apresenta uma descontinuidade em x = 0. Determine essa descontinuidade em função de a, V0 , m e ψ(0).
(b) Mostre que esse sistema admite apenas uma solução de estado ligado, ou seja, com E < 0.
Calcule a energia e a autofunção correspondente a esse estado.