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IFQ/UNIFEI
5a Lista de Problemas de Fis403
— Fı́sica Geral III —
o
2 Semestre de 2015
Questões
1) Podemos aplicar a lei de Ampère para um percurso de integração que passa através de um
condutor?
2) Um fio longo retilı́neo é percorrido por uma corrente estacionária i. A lei de Ampère vale no caso
de um caminho de integração que a) engloba o fio mas não é circular? b) que não engloba o fio? c)
que engloba o fio, mas não pertence a um único plano? Discuta.
3) Nos circuitos eletrônicos é comum enrolar um no outro dois fios que transportam correntes de
mesma intensidade e sentidos opostos, a fim de diminuir a influência de seus efeitos magnéticos em
pontos afastados. Por que isto dá resultado?
Problemas
1) Sendo S uma superfı́cie não fechada qualquer e ` o seu contorno, mostre que
Z
I
B·n̂ dS = A·dr.
S
2)
a)
b)
c)
`
Determine, num ponto qualquer do espaço, o potencial vetor A produzido por
um fio retilı́neo infinito percorrido por uma corrente I;
um solenoide infinito de raio a e n espiras por unidade de comprimento;
dois fios retilı́neos
infinitos percorridos pela mesma corrente I em sentidos opostos.
1
, ρ0 = cte, se o fio estiver ao longo do eixo z. b) se z for o eixo do solenoide: A = µ0 nIρ ϕ̂, se ρ < a, e
2
µ0 nIa2
µ0 I
r2
A=
ϕ̂, se ρ > a. c)
ln
ẑ, onde r1 e r2 são as distâncias do ponto em questão até cada um dos fios e ẑ é o versor
2ρ
2π
r1
paralelo aos fios.
Resp:
a) ẑ
µ0 I
ln
2π
ρ0
ρ
3) Uma corrente I percorre uma espira circular definida por ρ = a, z = 0. Determine o vetor
potencial magnético A num ponto muito próximo de seu eixo de simetria, r = z ẑ + %, onde % é um
pequeno vetor perpendicular ao eixo (|%| a, |%| z). A seguir obtenha, a partir deste potencial,
2
a indução magnética B no eixo de simetria da espira. Resp: A = 4(aµ20 Ia
ẑ×%
+ z2 )
4) Duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, possuem raios iguais a 4,0 cm e 2,0 m e são
ambas percorridas por correntes iguais a 25 A. Determine, justificando as aproximações que tiver
que fazer:
a) o fluxo magnético que a menor produz na maior;
b) o fluxo magnético que a maior produz na menor.
Resp: a) 39,5 pWb b) idem.
5) Numa região cilı́ndrica de raio a do espaço existe uma corrente cuja densidade volumétrica é dada
por
a
J = J0 ϕ̂
ρ
onde J0 e a são constantes e ρ é a distância ao eixo de simetria da distribuição de correntes. Determine
o campo magnético B num ponto qualquer do espaço. Resp: B = µ0 J0 a ln(a/ρ) ẑ, para ρ < a e B = 0, para ρ > a
6) Um cabo condutor muito longo de raio R é percorrido por uma corrente de densidade uniforme
J ao longo do eixo z positivo. Paralelo ao eixo do cabo, a uma distância b e por toda a extensão
deste, existe uma região oca em forma de um túnel de raio a, sendo a + b < R. Mostre que o campo
magnético na cavidade tem indução uniforme e vale
1
Bc = µ0 J×b,
2
onde b = b ρ̂ denota o vetor radial do eixo do cabo até o eixo da cavidade.(Sugestão: use o princı́pio
da superposição) .
7) Uma corrente total i0 flui através de um cabo condutor muito longo de raio a. Este condutor
está envolvido coaxialmente por um outro condutor em forma de cilindro vazado, de raios interno
e externo iguais a b e c (a < b < c), respectivamente. A mesma corrente i0 flui através da casca
cilı́ndrica em sentido oposto àquela do cabo condutor interno. Determinar o campo magnético a)
µ0 i0
0 i0 ρ
ϕ̂
b)B =
ϕ̂
para ρ < a, b) para a < ρ < b, c) para b < ρ < c e d) para ρ > c. Resp: a)B = µ2πa
2
2πρ
c) B =
µ 0 i0
2πρ
c2 − ρ 2
c2 − b 2
ϕ̂
d)B = 0
.
8) Faz-se um plano condutor infinito juntando lado a lado um número infinito de fios retilı́neos
infinitamente longos, com uma densidade n por unidade de comprimento, transportando cada um
uma corrente I. A figura abaixo representa um corte transversal nesse plano, mostrando os condutores
emergindo da página em ângulo reto. As linhas de indução terão o formato mostrado na figura.
a) Justifique este fato.
b) Determine o vetor campo magnético num ponto qualquer do espaço.
-
Resp: B =
-
1
µ0 nI.
2
9) Uma chapa de espessura a, infinita nas outras dimensões, tem as superfı́cies planas delimitadas
entre plano z = −a/2 e z = a/2. A chapa é percorrida por uma corrente cuja densidade volumétrica
é
J = J0 x̂,
constante e uniforme ao longo de toda a chapa. Determine o o vetor indução magnética em todas as
regiões do espaço (z < −a/2, |z| < a/2, z > a/2).
Resp: B = −µ0 J0 a/2 ŷ, z > a/2,
B = µ0 J0 a/2 ŷ, z < −a/2,
B = −µ0 J0 z ŷ, |z| < a/2
10) Numa região cilı́ndrica de raio a do espaço existe uma corrente cuja densidade superficial é dada
por
a
J = J0 ẑ
ρ
onde J0 e a são constantes e ρ é a distância ao eixo de simetria da distribuição de correntes. Determine
2
o campo magnético B num ponto qualquer do espaço. Resp: B = µ0 J0 a ϕ̂, para ρ < a e B = µ0 Jρ0 a ϕ̂, para ρ > a
11) Um condutor cilı́ndrico muito longo de raio R produz um campo magnético no seu interior dado
por
100µ0 4R2
πρ 2Rρ
πρ
B = ϕ̂
sen
−
cos
, ρ < R.
ρ
π2
2R
π
2R
Determine a densidade de corrente e a corrente total no condutor, bem como o campo magnético
πρ
fora do condutor. Resp: J = ẑ 100 sen 2R
,
I = 255R2 (A).
12) Numa região do espaço o vetor potencial magnético é dado por A =
a corrente que o produziu.
2,0
ẑ Wb/m. Especifique
ρ2
Resp: J = 6,4.106 /ρ4 ẑ A/m2
13) Um cabo condutor cilı́ndrico muito longo e oco (raio interno a e externo 2a) é percorrido por
2a
uma corrente cuja densidade é dada por
I0 ρ
J = 3 ẑ,
πa
fio fino
a
P
sendo ρ a distância ao eixo do cabo.
a) Determine B em todas as regiões do espaço.
b) Um fio retilı́neo muito longo e fino é colocado a uma distância
6a
6a do eixo do cabo condutor, paralelamente. Qual deve ser a corrente no fio (indique na figura) para
que o campo magnético em qualquer ponto situado a meia distância entre o fio e o eixo do condutor
µ0 I0
7µ0 I0
14
seja nulo?Resp: a) B = 0, para ρ < a; B = 3πa
(ρ3 − a3 ) ϕ̂, para a < ρ < 2a; B =
ϕ̂, para ρ > 2a.
b) I =
I0 .
3ρ
3πρ
3
14) Um toroide é enrolado uniformemente como mostra a figura. O número total de espiras é N
e os raios interno e externo são, respectivamente, a e b. Determine a indução magnética dentro do
enrolamento toroidal.
Resp: B =
µ0 N I
2πρ
15) Um cilindro infinito de raio a gira em torno de seu eixo de simetria com velocidade angular ω
constante. Determinar o campo magnético dentro e fora do cilindro nas seguintes situações:
a) o cilindro encontra-se carregado com uma densidade superficial de cargas σ;
b) o cilindro encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de cargas ρ0 uniforme;
c) o cilindro encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de cargas ρv = ρ0 a/ρ e uma
densidade superficial de cargas σ. Resp: a)µ0 σωa ẑ, b) µ0 ρ20 ω (a2 − ρ2 ) ẑ
16) Um cilindro dielétrico muito longo e de raio a encontra-se permanentemente polarizado com
a
polarização radial dada por P = P0 ρ̂. Ele gira em torno de seu eixo com velocidade angular
ρ
constante ω. Determine o campo magnético num ponto qualquer no interior do cilindro, não muito
próximo das suas extremidades. Resp: B = µ0 P0 aω ẑ
17) Determine o fluxo magnético através do contorno retangular mostrado na figura, criado por uma
corrente I que flui através do condutor retilı́neo muito longo e
0 Ih
muito fino. Resp: ΦB = − µ2π
ln(1 + b/a)
I6
6
h
a-
b
?
-