espaço vetorial

Espaços Vetoriais
Denomina-se espaço vetorial sobre um corpo
ao conjunto V   , tal que:
Definição:
1) Existe uma adição com as seguintes propriedades:
: VV  V
 u, v   u  v
A1) Associativa:
u, v, w  V , u   v  w   u  v   w
A2) Comutativa:
u, v  V , u  v  v  u
A3) Elemento Neutro:
0  V  u  V , u  0  0  u  u
A4) Elemento Oposto: u  V,  u   V u   u    u   u  0
2) Existe uma Multiplicação por Escalar, com as
seguintes propriedades:
: R V  V
 , v    v
M1)  ,   R ,v  V     v     v
M2)  ,   R ,u  V      u   u   u
M3)   R , u, v  V    u  v    u   v
M4) 1 R  v  V  1 v   v
Notação:
 V ,  , 
◦ Observações:
1.
Os elementos do conjunto dos reais são
chamados ESCALARES.
2.
Os elementos do Espaço Vetorial
chamados VETORES.
3.
Nesta disciplina estaremos sempre
trabalhando com Espaços Vetoriais Reais.
são
Exemplos de Espaços Vetoriais
1. O conjunto de vetores do plano.
2. A reta real.
3. O espaço vetorial  C`, , , sendo as
operações definidas da seguinte forma:
Adição:
 a  bi    c  di    a  c   b  d  i  , a, b, c, d R
Multiplicação por Escalar:
  a  bi    a  bi,   R, a  bi  C
4. O conjunto das n-uplas reais, com as
operações de adição e multiplicação por
escalar usuais.

5.
R n   x1 , x2 ,..., xn  x1 , x2 ,..., xn  R , ,

O conjunto das matrizes com as operações de
adição e multiplicação por escalar usuais das
matrizes.
 M  R , , 
mn
6. O conjunto dos polinômios de grau  n
 n

i
Pn  R    ai x ai  R 
 i 0

 an x n  an 1 x n 1  ...  a2 x 2  a1 x  a0
ai  R
Contra-Exemplos
1. Considere o conjunto dos números reais e
as operações abaixo definidas:
 : RR  R
 a, b   a  b
e
: RR  R
 , a     a  0
Observe que a operação não satisfaz
propriedade (M4), pois x  0, 1  x  0  x
a
2.
Considere o conjunto dos pares ordenados do
plano cartesiano e as operações abaixo definidas:
 : R2  R2  R2
  a , b  ,  c, d     a  c, b  d 
e
: R  R2  R2
2 2
 ,  a, b      a, b    a, b 
Observe que a operação
propriedade (M2), pois
não
satisfaz
a
     a, b      a, b   a   a, b 

 a   a, 2b   a   a, b  b     a, b     a, b 
Exercícios
1. Verifique se o conjunto abaixo, com as
operações definidas é um espaço vetorial:
 : R2  R2  R2
 x , y  ,  x , y    x
1
1
2
: R  R2  R2
2
1
 x2 , 0 
2 2
 ,  x , y      x , y    x , y 
1
1
1
1
1
1
2.
Sejam
U eV
dois espaços vetoriais reais. Mostre
que U  V   u, v  u  U e v  V
é um espaço
vetorial em relação às operações:
u1, v1   u2 , v2   u1  u2 , v1  v2 
e
  u1 , v1   u1 ,v1 
PROPRIEDADES: Seja
 V ,  , 
1. O vetor nulo (ou elemento neutro da adição) é
sempre único.
2. Para cada vetor
u V, existe um único vetor
u  V tal que u   u   0, em outras palavras, o vetor
oposto de u é único.
3. .
  R,  .0  0, 0  V
u  V, 0.u  0, 0  R
5. .  .u  0    0 ou u  0,   R e u  V
4. .
6. .   R , u  V -   u    u    u 
7. .   R , u , v  V  ( u  v )  u  v ,
sendo que u  v  u   v  .
8. .  ,   R, u  V      u  u   u
9. Se u , v, w  V e u  v  u  w , então v  w.
SUBESPAÇO VETORIAL
Definição: Um subconjunto não vazio W  V , W   é dito
subespaço vetorial real de V (espaço vetorial) se ele
próprio é um espaço vetorial real considerando as
operações restritas a ele.
Teorema: Um subconjunto não vazio W  V , W  
é um subespaço vetorial real se, e somente se:
i)
0W
ii)
u, v  W  u  v  W
iii)
u  W ,   R   u  W
Exemplo e Contra-Exemplo de
Subespaços Vetoriais
1. . W   a, b, c  a  b  c  0 , V  R
3
W é subespaço vetorial
2.
W   p(t )  a0  a1 x  a2 x 2 a1  a2  a0  1 ,
W não é subespaço vetorial
Exercício: Verifique se o subconjunto é um
subespaço vetorial real.
 a11 a12 

W  
 a11  a22  0  a12  a21  ,
 a21 a22 

V  M2  R 