SubespaçoVetorial

1.2 SUBESPAÇOS VETORIAIS
No exemplo 1 do item 1.1.3 nós mostramos que o R3, com as operações usuais, é um espaço vetorial.
No exemplo 4 do mesmo item nós mostramos que W (W = {(0, 0, k), k  R}), com as mesmas operações, é
também um espaço vetorial. Entretanto, podemos observar que W é um subconjunto de R3 que é, ele
próprio, um espaço vetorial. Na verdade, ocorre que dado um espaço vetorial V, é muitas vezes possível
formar outro espaço vetorial usando um subconjunto W de V e as operações de V. Como V é um
espaço vetorial, as operações de soma e multiplicação por um escalar sempre produzem um outro vetor
de V. Agora, para que um subconjunto W de V seja um espaço vetorial, o conjunto W deve também ser
fechado para as operações de soma e multiplicação por um escalar. Ou seja, a soma de dois elementos de W
tem que ser um elemento de W e a multiplicação de um elemento de W por um escalar tem que pertencer a
W.
1.2.1 Definição.
Um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V, se valem as seguintes
propriedades:
(i) O vetor nulo de V está em W;
(ii) Se u  W e v  W então u + v  W;
(iii) Se u  W e   R então u  W.
Observações.
A melhor forma de verificar se W é subespaço é observando primeiro se ele contém o vetor nulo de
V. Se 0 está em W, então as propriedades (ii) e (iii) precisam ser verificadas. De outro modo, se 0 não está
em W, então W não pode ser um subespaço e assim, as propriedades (ii) e (iii) não precisam ser verificadas;
A propriedade (ii) diz que W é fechado para a soma, ou seja, a soma de dois elementos de W é
sempre um elemento de W. E a propriedade (iii) diz que W é fechado para a multiplicação por um escalar,
isto é, toda vez que um elemento de W é multiplicado por um escalar, o resultado é um elemento de W;
Todo subespaço de um espaço vetorial é ele próprio um espaço vetorial.
1.2.2 Exemplo. Consideremos, como no exemplo 2, item 1.1.4, o espaço vetorial V = R2 com as operações
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 – 1, y1 + y2 – 1)
(x1, y1) = (x1 –  + 1, y1 –  + 1).
e os seguintes subconjuntos de V:
W1 = {(1, 1)}
(lembre que (1, 1) = 0 de V)
W2 = {(x, x)  R2 / x  R}
W3 = V.
Verifiquemos que W1, W2 e W3 são subespaços vetoriais de V.
 Sejam u = (1, 1)  W1, v = (1, 1)  W1 e   R;
0 = (1, 1)  W1;
u + v = (1 + 1 – 1, 1 + 1 – 1) = (1, 1)  W1;
u = (.1 –  + 1, .1 –  + 1) = (1, 1)  W1;
14
isto é, as propriedades da definição 1.2.1 estão verificadas em W1 que, portanto, é um subespaço vetorial de
V.
 Sejam u = (a, a)  W2, v = (b, b)  W2 e   R;
0 = (1, 1)  W2;
u + v = (a + b – 1, a + b – 1) = (c, c)  W2;
u = (a –  + 1, a –  + 1) = (d, d)  W2,
de forma que W2 é também um subespaço vetorial de V.
 É imediato que W3 é um subespaço vetorial de V, uma vez que todo conjunto é um subconjunto de si
mesmo.
Os subespaços W1 = {0} e W3 = V são ditos subespaços vetoriais triviais de V e W2 é dito um
subespaço próprio de V. Na verdade, todo espaço vetorial contém pelo menos dois subespaços, a saber: o
subespaço nulo e o próprio espaço, por isto ditos subespaços triviais. Os demais subespaços são ditos
próprios.
1.2.3 Exemplo. O espaço vetorial R2 não é subespaço do R3, por que o R2 não é nem mesmo subconjunto
do R3; os vetores de R3 têm três componentes, enquanto que os vetores do R2 têm apenas duas componentes.
O conjunto S = {(a, b, 0); a, b  R} é um subconjunto do R3 que se “parece” e “age” como o R2.
Temos que S é um subespaço do R3.
Prova.
Sejam u = (a1, b1, 0), v = (a2, b2, 0)  S e R.

0 = (0, 0, 0)  S

u + v = (a1, b1, 0) + (a2, b2, 0) = (a1 + a2, b1 + b2, 0)  S

u = (a1, b1, 0) = (a1, b1, 0) S.
 S é subespaço do R3.
1.2.4 Exemplos. Subespaços vetoriais do R2:
Exemplo 1. Os subespaços próprios do R2 são do tipo W = {(x, y) / y = ax}, que, geometricamente,
representam retas que passam pela origem. De fato, em
W = {(x, ax) / x  R} tomemos u = (x1, ax1) e v =
(x2, ax2) e seja   R.
15

0 = (0, 0)  W

u + v = (x1, ax1) + (x2, ax2) = (x1 + x2, ax1 + ax2) = (x1 + x2, a(x1, x2) ) = (x3, ax3)  W;

u = (x1, ax1) = (x1, ax1) = (x4, ax4)  W.
Exemplo 2. Seja, agora, W = {(x, y)  R2 / y = ax + b, b  0}, que representa, para cada par de
números reais a e b, uma reta que não passa pela origem. Temos que W não é um subespaço vetorial de R2
pois 0 = (0, 0)  W.
Exemplo 3. Um caso interessante é tomar W = {(x, y)  R2 / y = x2}, que mesmo contendo o vetor
nulo não é subespaço vetorial de R2.
Tomemos, por exemplo,
u = (1, 1)  W
v = (2, 4)  W
u + v = (3, 5)  W.
1.2.5 Exemplos. Subespaços vetoriais de R3.
Exemplo 1. Os triviais: W1 = {(0, 0, 0)} e W2 = R3.
Exemplo 2. Os próprios: retas e planos que passam pela origem, isto é:
W3 = {(x, y, z) / y = ax e z = bx}
e
W4 = {(x, y, z) / ax + by + cz = 0}.
Para mostrar que W3 é um subespaço vetorial de R3 procedemos como no exemplo 1, item 1.2.4 .
Deixamos como exercício.
Para W4, sejam u = (x, y, z) com ax + by + cz = 0, v = (x1, y1, z1) com ax1 + by1 + cz1 = 0 e k  R.
u + v = (x + x1, y + y1, z + z1)
e
a(x + x1) + b(y + y1) + c(z + z1) = (ax + by + cz) + (ax1 + by1 + cz1)
=0+0
= 0,
de modo que u + v  W4.
ku = (kx, ky, kz)
e
a(kx) + b(ky) + c(kz) = k(ax + by + cz) = k.0 = 0, ou seja, ku  W4.
Exemplo 3. Seja W5 = {(x, y, z) / x + y – z – 2 = 0} um plano em R3. Como W5 não contém a origem,
não é subespaço vetorial. Também podemos mostrar que, por exemplo, (1, 1, 0) + (0, 1, – 1) = (1, 2, – 1) 
W5 ou
2.(1, 1, 0) = (2, 2, 0)  W5.
Exemplo 4. O subconjunto W6 = {(x, x , x) / x  R+} não é um subespaço vetorial de R3, pois
16
u = (4, 2, 4)  W6 e v = (9, 3, 9)  W6 mas u + v = (13, 6, 13)  W6. 
Observemos que 0 = (0, 0, 0)  W6, o que não é suficiente para garantir que W é um subespaço
vetorial, é uma condição apenas necessária.
Atividades de Aprendizagem
1.2 Subespaços Vetoriais
1) De acordo com a definição, um subespaço vetorial é qualquer subconjunto, não vazio, de um espaço
vetorial, onde as operações de adição e produto por escalar continuam preservadas. Como você entende a
parte em negrito, dessa frase?
2) Pela definição de subconjunto, todo conjunto é subconjunto de si mesmo. Então, se V é um espaço
vetorial, quem é o seu “maior” subespaço vetorial?
3) E qual é o “menor” subespaço de um espaço vetorial?
4) Os subespaços, conforme 2 e 3 acima, são chamados os subespaços triviais de um espaço vetorial.
Escreva na forma de conjunto e apresentando o vetor genérico, os subespaços triviais dos seguintes espaços
vetoriais:
4.1)V1 = R2;
4.2) V2 = R3;
4.3) V3 = Rn;
4.4) V4 é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem 3;
4.5) V5 é o conjunto de todos os polinômios de grau 3;
5) Analise os conjuntos S abaixo e verifique, pela condição do vetor nulo, quais deles não têm chance de
ser subespaço vetorial do espaço vetorial V indicado.
5.1) V = R2. Represente, geometricamente todos os conjuntos S dados abaixo.
5.1.1) S = {(x, y); y = 2x + 3};
5.1.2) S é a reta que passa pelos pontos (1, 4) e (– 2, 3). Escreva S na forma de conjunto;
5.1.3) S = {(x, y); y = x2 – 1};
5.1.4) S = {(x, y); y = lnx};
5.1.5) S = {(x, y); y =
x };
5.1.6) S = {(x, y); y = 2x};
17
5.1.7) S = {(x, y); x  y};
5.1.8) Escreva, de forma breve, todos os subespaços do R2.
6) V = R3. Reescreva cada S abaixo na forma de conjunto.
6.1) S é o plano dos vetores (a, b, c) com a = 0;
6.2) S é o plano dos vetores (a, b, c) com b = 2;
6.3) S é o plano de equação x + y – 2z = 4;
6.4) S é o conjunto dos vetores (a, b, c) com abc = 0;
6.5) S é o conjunto dos vetores (a, b, c) com a + b + c = 0;
6.6) S é a reta de pontos (x, y, z) com x = y e z = – y;
6.7) S é a reta de pontos (x, y, z) com y = 2x e z = 3;
6.8) Escreva de forma breve todos os subespaços do R3.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES- SUBESPAÇOS VETORIAIS
E.1 Dados os conjuntos W em cada espaço vetorial V indicado proceda assim:
 Escreva três elementos de W;
 Reescreva W, apresentando o vetor genérico do item a até o item d;
 Verifique se W é subespaço vetorial de V.
a) W = { (x, y)  R2, y = – 2x }, V = R2;
b) W = { (x, y)  R2; y = – 2x + 1 }, V = R2;
c) W = { (x, y, z, t)  R4; x = y e z = 2t }, V = R4;
d) W = { (x, y, z)  R3; x – 2y – 4z = 6 }, V= R3;
e) W é o conjunto de todas as matrizes identidade de ordem nxn, para n = 2, 3, 4, ...; V = Mnxn;
f) W = { (x, y)  R2; y  0 }, V = R2;
 0 a

g) W = 
 ; a , b  R  , V = M2x2;
 b 0

h) W = { (a, a, ..., a)  Rn; a  R }, V = Rn;
i) W = { (a, 2a, 3a); a  R }, V = R3;
E.2 Seja G o conjunto de todas as funções f tais que f(0) = 1 no espaço vetorial F de todas as funções de R
em R, ou seja,
18
F = { f: R  R } e G = { f  F; f(0) = 1 }. G é subespaço vetorial de F ?
E.3 Nos problemas que seguem determine se W é ou não um subespaço do espaço vetorial:
a) V = R2; W1 = { (x, y); y  0 };
W2 = { (x, y); y < 0 };
W3 = { (x, y); y = 2 };
b) V = R3; W1 = o plano xOy;
W2 = { (x, y, z); x = y = z };
W3 = { (x, y, z); x = y };
c) V = R2; W = { (x, y); x2 + y2  1};
d) V = Mnn; W1 = { D  Mnn; D é diagonal };
W2 = { T  Mnn; T é triangular superior };
W3 = { S  Mnn; S é simétrica }.
E.4 Seja H = { (x, y, z); 2x + 3y – z = 0} e K = { (x, y, z); x – 2y + 5z = 0 }.
a) Mostre que H e K são subespaços do R3;
E.5 Verifique se os subconjuntos W1, W2 e W3 são subespaços vetoriais de V onde:
V = M22 e

 a 1  a 
 ;
0 

W1 = A  M 22 ; A  
0


 0 a 
 ;
 b 0 
W2 = A  M 22 ; A  

W3 = { A  M22; A é triangular }.
Gabarito de Algumas Questões
RE.1 Exemplos: escolha qualquer vetor que satisfaça a condição dada.
Verificação (vetor genérico):
a) W = {(x, – 2x); x  R}
Sejam u = (x1, – 2x1)  W, v = (x2, – 2x2)  W e   R:
i) u + v = (x1 + x2, – 2x1 – 2x2) = (x1 + x2, – 2(x1 + x2))  W
ii) u = (x1, – 2x2) = (x1, – 2x2)  W.
W é um subespaço vetorial de R2.
b) W = {(x, – 2x + 1); x  R}
Como (0, 0)  W, podemos concluir que o subconjunto W
não é subespaço vetorial.
19
c) W = {(y, y, 2t, t) ; y, t  R}
Sejam u = (y1, y1, 2t1, t1)  W, v = (y2, y2, 2t2, t2)  W e  
R:
i) u + v = (y1 + y2, y1 + y2, 2(t1 + t2), t1 + t2)  W
ii) u = (y1, y2, 2t1, t1)  W.
 W é subespaço vetorial de R4.
d) W = {(6 + 2y + 4z, y, z); y, z  R} Tomando y = 0 e z = 0, temos (6, 0, 0). Como (0, 0, 0)  W,
W não é subespaço vetorial do R3.
e) W não é subespaço vetorial pois, considerando todas as matrizes identidade (qualquer ordem), não temos
a soma definida quando, por exemplo, I2 + I4.
f) Contra-Exemplo: Sejam u = (2, – 1)  W,  = – 1.
u = (– 1)(2, – 1) = (– 2, 1)  W pois y = 1 > 0. Logo W não é subespaço vetorial de R2.
0
g) Sejam u  
 b1
a1 
0
  W, v  
0
 b2
0
 b1
a1   0

0   b2
0
 b1
a1   0

0   b1
i) u  v  
ii) u  
a2 
  W e R.
0 
a1  a 2 
 W
0 
a2   0

0   b1  b2
a1 
 W
0 
 W é um subespaço vetorial de M22.
h) Sejam u = (a, a, ..., a)  W, v = (b, b, ..., b)  W e   R.
i) u + v = (a + b, a + b, ..., a + b)  W
ii) u = (a, a, ..., a)  W
 W é subespaço vetorial de Rn.
j) Sejam u = (a, 2a, 3a)  W, v = (b, 2b, 3b)  W e   R.
i) u + v = (a + b, 2(a + b), 3(a + b))  W
ii) u = (a, 2a, ..., 3a)  W
 W é subespaço vetorial de R3.
RE.2 Sejam u = f(x)  G  f(0) = 1, v = g(x)  G  g(0) = 1 e   R.
i) u + v = (f + g)(x) tal que (f + g)(0) = f(0) + g(0) = 1 + 1  1  u + v  G e G não é subespaço vetorial de
F.
RE.3 a) nenhum. Observe:
vWe=–2
v  W.
b) W1, W2 e W3 são subespaços vetoriais de R3.
W1 = {(x, y, 0); x, y  R}
W2 = {(x, x, x); x  R}
W3 = {(x, x, z); x, z  R}
facilmente mostramos que se u, v  W e   R então u + v
 W e u  W.
c) Sejam u = (1, 0)  W e v = (0, 1)  W.
20
u + v = (1, 1)  W pois 12 + 12 > 1.
Logo, W não é subespaço vetorial de R2.
d) Tomando n = 2:
 a 0 

a 0 
a

  W1, v =  2
; a, b  R  . Sejam u =  1
W1 = 


 0 b 

0 
 a1  a2
  W1
i) u + v = 
b1  b2 
 0
0
0
b1 
0
  W1 e   R.
b2 
 a1 0 
  W1.
 0 b1 
ii) u = 
 W1 é subespaço vetorial de M22.
 a b 

a b 
a b 

; a, b, c  R  . Sejam u =  1 1   W2, v =  2 2   W2 e   R.
W2 = 

 0 c 
 a1  a2
 0
i) u + v = 


b1  b 
  W2
c1  c2 
0
c1 
0
c2 
 a1 b1 
  W2.
 0 c1 
ii) u = 
W2 é subespaço vetorial de M22.
 a b 

a c 
a c 

; a, b, c  R  . Sejam u =  1 1   W3, v =  2 2   W3 e   R.
W3 = 

 0 c 


 c1
b1 
 c2
b2 
 a1  a2 c1  c2 
  W3
 c1  c2 b1  b2 
i) u + v = 
 a1 c1 
  W3.
 c1 b1 
ii) u = 
 W3 é subespaço vetorial de M22.
RE.5 a)
H = {(x, y, 2x + 3y); x, y R}. Sejam u = (x1, y1, 2x1 + 3y1)  H, v = (x2, y2, 2x2 + 3y2)  H e   R.
i) u + v = (x1 + x2, y1 + y2, 2(x1 + x2) + 3(y1 + y2))  H
ii) u = (x1, y1, 2x1 + 3y1)  H.
 H é subespaço vetorial de R3.
K = {(2y – 5z, y, z); y, z  R}. Sejam u = (2y1 – 5z1, y1, z1)  K, v = (2y2 – 5z2, y2, z2)  K e   R.
i) u + v = (2(y1 + y2) – 5(z1 + z2), y1 + y2, z1 + z2)  K
ii) u = (2y1 – 5z1, y1, z1)  K.
 K é subespaço vetorial de R3.
0 0

0 0
RE.6 * W1 não é subespaço vetorial pois 
 W1.
* W2 é subespaço vetorial conforme item (g) do exercício E1.
* W3 não é subespaço vetorial.
21
CE:
2
A  
0
2
B  
3
3

1 
é uma matriz triangular (superior).
0

1 
é uma matriz triangular (inferior).
 4 3

A  B  
 3 2
 W3 pois não é uma matriz triangular.
22