Derivadas de funções trigonométricas, exponenciais e de suas

FUV – Derivadas
Derivadas de funções trigonométricas, exponenciais e de suas
inversas.
Rodrigo Hausen
v. 2015-3-6
1/24
Funções exponenciais
n
1
Considere a sequência de números en = (1 + ) , n ∈ N∗
n
e1 = 2 < e2 = 2,25 < e3 ≈ 2,37 < . . . < ek < ek+1 < . . .
v. 2015-3-6
2/24
Funções exponenciais
n
1
Considere a sequência de números en = (1 + ) , n ∈ N∗
n
e1 = 2 < e2 = 2,25 < e3 ≈ 2,37 < . . . < ek < ek+1 < . . .
Definição. O número de Euler é a constante real e tal que
n
1
e = lim (1 + ) ,
n→∞
n
v. 2015-3-6
n ∈ N∗
2/24
Funções exponenciais
n
1
Considere a sequência de números en = (1 + ) , n ∈ N∗
n
e1 = 2 < e2 = 2,25 < e3 ≈ 2,37 < . . . < ek < ek+1 < . . .
Definição. O número de Euler é a constante real e tal que
n
1
e = lim (1 + ) ,
n→∞
n
n ∈ N∗
O número existe pois o limite existe: a sequência en é crescente e
possui cota superior (Teorema da Convergência Monótona – Bases
Matemáticas).
v. 2015-3-6
2/24
Funções exponenciais
n
1
Considere a sequência de números en = (1 + ) , n ∈ N∗
n
e1 = 2 < e2 = 2,25 < e3 ≈ 2,37 < . . . < ek < ek+1 < . . .
Definição. O número de Euler é a constante real e tal que
n
1
e = lim (1 + ) ,
n→∞
n
n ∈ N∗
O número existe pois o limite existe: a sequência en é crescente e
possui cota superior (Teorema da Convergência Monótona – Bases
Matemáticas).
(Não se preocupe se você não lembra deste Teorema. Apenas
precisamos lembrar que o número e, conforme definido acima,
existe.)
O número e é irracional. Seu valor é 2.71828 . . .
(uma dízima não periódica).
v. 2015-3-6
2/24
Funções exponenciais
n
1
Considerando que o limite e = lim (1 + ) existe, podemos
n→∞
n
demonstrar que
x n
e x = lim (1 + )
n→∞
n
(exercício 4a da lista 2)
v. 2015-3-6
3/24
Funções exponenciais
n
1
Considerando que o limite e = lim (1 + ) existe, podemos
n→∞
n
demonstrar que
x n
e x = lim (1 + )
n→∞
n
(exercício 4a da lista 2)
Definição. A função exponencial de base e, ou função
exponencial natural, denotada por exp, é a função real tal que
exp(x ) = e x .
v. 2015-3-6
3/24
Funções exponenciais
n
1
Considerando que o limite e = lim (1 + ) existe, podemos
n→∞
n
demonstrar que
x n
e x = lim (1 + )
n→∞
n
(exercício 4a da lista 2)
Definição. A função exponencial de base e, ou função
exponencial natural, denotada por exp, é a função real tal que
exp(x ) = e x .
Obs.: para toda constante c > 0, onde c ≠ 1, podemos definir a
função exponencial de base c, a função real f tal que
f (x ) = c x .
v. 2015-3-6
3/24
Propriedades das Funções Exponenciais
se 0 < c < 1, então c x é decrescente
v. 2015-3-6
4/24
Propriedades das Funções Exponenciais
se 0 < c < 1, então c x é decrescente
se c > 1, então c x é crescente
v. 2015-3-6
4/24
Propriedades das Funções Exponenciais
se 0 < c < 1, então c x é decrescente
se c > 1, então c x é crescente
em ambos os casos, f (x ) = c x é bijetora
v. 2015-3-6
4/24
Propriedades das Funções Exponenciais
se 0 < c < 1, então c x é decrescente
se c > 1, então c x é crescente
em ambos os casos, f (x ) = c x é bijetora
portanto, existe função inversa para a exponencial de base c
v. 2015-3-6
4/24
Propriedades das Funções Exponenciais
se 0 < c < 1, então c x é decrescente
se c > 1, então c x é crescente
em ambos os casos, f (x ) = c x é bijetora
portanto, existe função inversa para a exponencial de base c
a inversa da função exponencial de base c é chamada
logaritmo de base c, denotada logc
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4/24
Propriedades das Funções Exponenciais
se 0 < c < 1, então c x é decrescente
se c > 1, então c x é crescente
em ambos os casos, f (x ) = c x é bijetora
portanto, existe função inversa para a exponencial de base c
a inversa da função exponencial de base c é chamada
logaritmo de base c, denotada logc
logc (y ) = x se, e somente se, y = c x
v. 2015-3-6
4/24
Propriedades das Funções Exponenciais
se 0 < c < 1, então c x é decrescente
se c > 1, então c x é crescente
em ambos os casos, f (x ) = c x é bijetora
portanto, existe função inversa para a exponencial de base c
a inversa da função exponencial de base c é chamada
logaritmo de base c, denotada logc
logc (y ) = x se, e somente se, y = c x
no caso em que a constante c é o número de Euler e,
escrevemos ln(y ) para denotar loge (y ), e chamamos a função
inversa de logaritmo natural:
ln(y ) = x se, e somente se, y = e x
v. 2015-3-6
4/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Propriedades algébricas: Seja c > 0 tal que c ≠ 1.
c x > 0 para todo x
v. 2015-3-6
5/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Propriedades algébricas: Seja c > 0 tal que c ≠ 1.
c x > 0 para todo x
logc (x ) está definido apenas para x > 0
v. 2015-3-6
5/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Propriedades algébricas: Seja c > 0 tal que c ≠ 1.
c x > 0 para todo x
logc (x ) está definido apenas para x > 0
c x +y = c x ⋅ c y
v. 2015-3-6
5/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Propriedades algébricas: Seja c > 0 tal que c ≠ 1.
c x > 0 para todo x
logc (x ) está definido apenas para x > 0
c x +y = c x ⋅ c y
logc (x ⋅ y ) = logc (x ) + logc (y )
v. 2015-3-6
5/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Propriedades algébricas: Seja c > 0 tal que c ≠ 1.
c x > 0 para todo x
logc (x ) está definido apenas para x > 0
c x +y = c x ⋅ c y
logc (x ⋅ y ) = logc (x ) + logc (y )
cx
c x −y = y
c
v. 2015-3-6
5/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Propriedades algébricas: Seja c > 0 tal que c ≠ 1.
c x > 0 para todo x
logc (x ) está definido apenas para x > 0
c x +y = c x ⋅ c y
logc (x ⋅ y ) = logc (x ) + logc (y )
cx
c x −y = y
c
x
logc ( ) = logc (x ) − logc (y )
y
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5/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Propriedades algébricas: Seja c > 0 tal que c ≠ 1.
c x > 0 para todo x
logc (x ) está definido apenas para x > 0
c x +y = c x ⋅ c y
logc (x ⋅ y ) = logc (x ) + logc (y )
cx
c x −y = y
c
x
logc ( ) = logc (x ) − logc (y )
y
x y
(c ) = c x ⋅y
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5/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Propriedades algébricas: Seja c > 0 tal que c ≠ 1.
c x > 0 para todo x
logc (x ) está definido apenas para x > 0
c x +y = c x ⋅ c y
logc (x ⋅ y ) = logc (x ) + logc (y )
cx
c x −y = y
c
x
logc ( ) = logc (x ) − logc (y )
y
x y
(c ) = c x ⋅y
logc (x y ) = y logc (x )
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5/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Continuação das propriedades algébricas:
Sendo c > 0, c ≠ 1, note que e y = c se, e só se, y = ln(c)
v. 2015-3-6
6/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Continuação das propriedades algébricas:
Sendo c > 0, c ≠ 1, note que e y = c se, e só se, y = ln(c)
Logo: c x =
v. 2015-3-6
6/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Continuação das propriedades algébricas:
Sendo c > 0, c ≠ 1, note que e y = c se, e só se, y = ln(c)
Logo: c x = (e y )x =
v. 2015-3-6
6/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Continuação das propriedades algébricas:
Sendo c > 0, c ≠ 1, note que e y = c se, e só se, y = ln(c)
Logo: c x = (e y )x = (e ln(c) )x =
v. 2015-3-6
6/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Continuação das propriedades algébricas:
Sendo c > 0, c ≠ 1, note que e y = c se, e só se, y = ln(c)
Logo: c x = (e y )x = (e ln(c) )x = e x ln(c)
v. 2015-3-6
6/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Continuação das propriedades algébricas:
Sendo c > 0, c ≠ 1, note que e y = c se, e só se, y = ln(c)
Logo: c x = (e y )x = (e ln(c) )x = e x ln(c)
Ou seja:
c x = e x ln(c)
v. 2015-3-6
6/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Continuação das propriedades algébricas:
Sendo c > 0, c ≠ 1, note que e y = c se, e só se, y = ln(c)
Logo: c x = (e y )x = (e ln(c) )x = e x ln(c)
Ou seja:
c x = e x ln(c)
Da última propriedade, obtemos:
ln(x )
logc (x ) =
ln(c)
v. 2015-3-6
6/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Continuação das propriedades algébricas:
Sendo c > 0, c ≠ 1, note que e y = c se, e só se, y = ln(c)
Logo: c x = (e y )x = (e ln(c) )x = e x ln(c)
Ou seja:
c x = e x ln(c)
Da última propriedade, obtemos:
ln(x )
logc (x ) =
ln(c)
Isto quer dizer que, se soubermos calcular a função exponencial
natural e o logaritmo natural, podemos calcular as funções
exponencial e logaritmo em qualquer base.
v. 2015-3-6
6/24
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Continuação das propriedades algébricas:
Sendo c > 0, c ≠ 1, note que e y = c se, e só se, y = ln(c)
Logo: c x = (e y )x = (e ln(c) )x = e x ln(c)
Ou seja:
c x = e x ln(c)
Da última propriedade, obtemos:
ln(x )
logc (x ) =
ln(c)
Isto quer dizer que, se soubermos calcular a função exponencial
natural e o logaritmo natural, podemos calcular as funções
exponencial e logaritmo em qualquer base.
Vamos, então, calcular as derivadas de exp e ln.
v. 2015-3-6
6/24
Derivada da Função Exponencial Natural
Vamos começar com um caso simples: encontrar exp′ (0),
a derivada da função exponencial natural para x = 0.
v. 2015-3-6
7/24
Derivada da Função Exponencial Natural
Vamos começar com um caso simples: encontrar exp′ (0),
a derivada da função exponencial natural para x = 0.
Pela definição:
exp′ (0) =
v. 2015-3-6
7/24
Derivada da Função Exponencial Natural
Vamos começar com um caso simples: encontrar exp′ (0),
a derivada da função exponencial natural para x = 0.
Pela definição:
exp′ (0) = lim
exp(0 + h) − exp(0)
=
h→0
h
v. 2015-3-6
7/24
Derivada da Função Exponencial Natural
Vamos começar com um caso simples: encontrar exp′ (0),
a derivada da função exponencial natural para x = 0.
Pela definição:
exp(0 + h) − exp(0)
eh − 1
= lim
h→0
h→0
h
h
exp′ (0) = lim
v. 2015-3-6
7/24
Derivada da Função Exponencial Natural
Vamos começar com um caso simples: encontrar exp′ (0),
a derivada da função exponencial natural para x = 0.
Pela definição:
exp(0 + h) − exp(0)
eh − 1
= lim
h→0
h→0
h
h
exp′ (0) = lim
Podemos demonstrar que, para todo h ∈ (−1; 1) ∖ {0}, vale:
1+h <
v. 2015-3-6
eh
< 1 + h + h2
7/24
Derivada da Função Exponencial Natural
Vamos começar com um caso simples: encontrar exp′ (0),
a derivada da função exponencial natural para x = 0.
Pela definição:
exp(0 + h) − exp(0)
eh − 1
= lim
h→0
h→0
h
h
exp′ (0) = lim
Podemos demonstrar que, para todo h ∈ (−1; 1) ∖ {0}, vale:
1+h <
eh
< 1 + h + h2
h < e h − 1 < h + h2
v. 2015-3-6
(subtraindo 1)
7/24
Derivada da Função Exponencial Natural
Vamos começar com um caso simples: encontrar exp′ (0),
a derivada da função exponencial natural para x = 0.
Pela definição:
exp(0 + h) − exp(0)
eh − 1
= lim
h→0
h→0
h
h
exp′ (0) = lim
Podemos demonstrar que, para todo h ∈ (−1; 1) ∖ {0}, vale:
1+h <
eh
< 1 + h + h2
h < e h − 1 < h + h2
Se 1 > h > 0, então: 1 <
v. 2015-3-6
eh − 1
<1+h
h
(subtraindo 1)
(dividindo por h)
7/24
Derivada da Função Exponencial Natural
Vamos começar com um caso simples: encontrar exp′ (0),
a derivada da função exponencial natural para x = 0.
Pela definição:
exp(0 + h) − exp(0)
eh − 1
= lim
h→0
h→0
h
h
exp′ (0) = lim
Podemos demonstrar que, para todo h ∈ (−1; 1) ∖ {0}, vale:
1+h <
< 1 + h + h2
eh
h < e h − 1 < h + h2
Se 1 > h > 0, então: 1 <
eh − 1
<1+h
h
Se −1 < h < 0, então: 1 >
v. 2015-3-6
eh − 1
>1+h
h
(subtraindo 1)
(dividindo por h)
(idem)
7/24
Derivada da Função Exponencial Natural
Se 0 < h < 1, então 1 <
v. 2015-3-6
eh − 1
< 1 + h.
h
8/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
< 1 + h.
h
Usando Teorema do Confronto para limite pela direita:
Se 0 < h < 1, então 1 <
v. 2015-3-6
8/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
< 1 + h.
h
Usando Teorema do Confronto para limite pela direita:
Se 0 < h < 1, então 1 <
Como
v. 2015-3-6
lim 1 = 1
h→0+
e
lim (1 + h) = 1,
h→0+
8/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
< 1 + h.
h
Usando Teorema do Confronto para limite pela direita:
Se 0 < h < 1, então 1 <
Como
v. 2015-3-6
lim+ 1 = 1
h→0
e
lim+ (1 + h) = 1,
h→0
então
lim+
h→0
eh − 1
= 1.
h
8/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
< 1 + h.
h
Usando Teorema do Confronto para limite pela direita:
Se 0 < h < 1, então 1 <
Como
lim+ 1 = 1
h→0
e
lim+ (1 + h) = 1,
h→0
então
lim+
h→0
eh − 1
= 1.
h
h
Se −1 < h < 0, então 1 >
v. 2015-3-6
e −1
> 1 + h.
h
8/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
< 1 + h.
h
Usando Teorema do Confronto para limite pela direita:
Se 0 < h < 1, então 1 <
Como
lim+ 1 = 1
h→0
e
lim+ (1 + h) = 1,
h→0
então
lim+
h→0
eh − 1
= 1.
h
h
e −1
> 1 + h.
h
Usando Teorema do Confronto para limite pela esquerda:
Se −1 < h < 0, então 1 >
v. 2015-3-6
8/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
< 1 + h.
h
Usando Teorema do Confronto para limite pela direita:
Se 0 < h < 1, então 1 <
Como
lim+ 1 = 1
h→0
e
lim+ (1 + h) = 1,
h→0
então
lim+
h→0
eh − 1
= 1.
h
h
e −1
> 1 + h.
h
Usando Teorema do Confronto para limite pela esquerda:
Se −1 < h < 0, então 1 >
Como
v. 2015-3-6
lim 1 = 1
h→0−
e
lim (1 + h) = 1,
h→0−
8/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
< 1 + h.
h
Usando Teorema do Confronto para limite pela direita:
Se 0 < h < 1, então 1 <
Como
lim+ 1 = 1
h→0
e
lim+ (1 + h) = 1,
h→0
então
lim+
h→0
eh − 1
= 1.
h
h
e −1
> 1 + h.
h
Usando Teorema do Confronto para limite pela esquerda:
Se −1 < h < 0, então 1 >
Como
v. 2015-3-6
lim− 1 = 1
h→0
e
lim− (1 + h) = 1,
h→0
então
lim−
h→0
eh − 1
= 1.
h
8/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
< 1 + h.
h
Usando Teorema do Confronto para limite pela direita:
Se 0 < h < 1, então 1 <
Como
lim+ 1 = 1
h→0
e
lim+ (1 + h) = 1,
h→0
então
lim+
h→0
eh − 1
= 1.
h
h
e −1
> 1 + h.
h
Usando Teorema do Confronto para limite pela esquerda:
Se −1 < h < 0, então 1 >
Como
lim− 1 = 1
h→0
e
lim− (1 + h) = 1,
h→0
então
lim−
h→0
eh − 1
= 1.
h
Conclusão:
lim+
h→0
v. 2015-3-6
eh − 1
eh − 1
= lim−
= 1,
h→0
h
h
logo
eh − 1
=1
h→0
h
lim
8/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
< 1 + h.
h
Usando Teorema do Confronto para limite pela direita:
Se 0 < h < 1, então 1 <
Como
lim+ 1 = 1
h→0
e
lim+ (1 + h) = 1,
h→0
então
lim+
h→0
eh − 1
= 1.
h
h
e −1
> 1 + h.
h
Usando Teorema do Confronto para limite pela esquerda:
Se −1 < h < 0, então 1 >
Como
lim− 1 = 1
h→0
e
lim− (1 + h) = 1,
h→0
então
lim−
h→0
eh − 1
= 1.
h
Conclusão:
lim+
h→0
v. 2015-3-6
eh − 1
eh − 1
= lim−
= 1,
h→0
h
h
logo
eh − 1
=1
h→0
h
exp′ (0) = lim
8/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
=1.
h→0
h
Já temos que exp′ (0) = lim
v. 2015-3-6
9/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
=1.
h→0
h
Já temos que exp′ (0) = lim
Vamos partir para o cálculo de exp′ (x ).
exp′ (x ) = lim
exp(x + h) − exp(x )
h→0
h
v. 2015-3-6
9/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
=1.
h→0
h
Já temos que exp′ (0) = lim
Vamos partir para o cálculo de exp′ (x ).
exp′ (x ) = lim
exp(x + h) − exp(x )
h→0
h
x +h
x
e
−e
= lim
h→0
h
v. 2015-3-6
9/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
=1.
h→0
h
Já temos que exp′ (0) = lim
Vamos partir para o cálculo de exp′ (x ).
exp′ (x ) = lim
exp(x + h) − exp(x )
h→0
h
x +h
x
e
−e
ex ⋅ eh − ex
= lim
= lim
h→0
h→0
h
h
v. 2015-3-6
9/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
=1.
h→0
h
Já temos que exp′ (0) = lim
Vamos partir para o cálculo de exp′ (x ).
exp′ (x ) = lim
exp(x + h) − exp(x )
h→0
h
x +h
x
e
−e
ex ⋅ eh − ex
= lim
= lim
h→0
h→0
h
h
e x (e h − 1)
= lim
h→0
h
v. 2015-3-6
9/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
=1.
h→0
h
Já temos que exp′ (0) = lim
Vamos partir para o cálculo de exp′ (x ).
exp′ (x ) = lim
exp(x + h) − exp(x )
h→0
h
x +h
x
e
−e
ex ⋅ eh − ex
= lim
= lim
h→0
h→0
h
h
h
e x (e h − 1)
e
−1
= lim
= e x lim
h→0
h→0
h
h
v. 2015-3-6
9/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
=1.
h→0
h
Já temos que exp′ (0) = lim
Vamos partir para o cálculo de exp′ (x ).
exp′ (x ) = lim
exp(x + h) − exp(x )
h→0
h
x +h
x
e
−e
ex ⋅ eh − ex
= lim
= lim
h→0
h→0
h
h
h
e x (e h − 1)
e
−1
= lim
= e x lim
h→0
h→0
h
h
= ex
v. 2015-3-6
9/24
Derivada da Função Exponencial Natural
eh − 1
=1.
h→0
h
Já temos que exp′ (0) = lim
Vamos partir para o cálculo de exp′ (x ).
exp′ (x ) = lim
exp(x + h) − exp(x )
h→0
h
x +h
x
e
−e
ex ⋅ eh − ex
= lim
= lim
h→0
h→0
h
h
h
e x (e h − 1)
e
−1
= lim
= e x lim
h→0
h→0
h
h
= ex
Conclusão: a derivada da função exponencial natural é ela própria!
exp′ (x ) = exp(x ),
v. 2015-3-6
ou seja,
d x
e = ex
dx
9/24
Derivada da Função Exponencial com Base c
Exemplo 1. Seja F (x ) = c x , com c > 0 e c ≠ 1. Calcule F ′ (x ).
v. 2015-3-6
10/24
Derivada da Função Exponencial com Base c
Exemplo 1. Seja F (x ) = c x , com c > 0 e c ≠ 1. Calcule F ′ (x ).
Como F (x ) = c x =
v. 2015-3-6
10/24
Derivada da Função Exponencial com Base c
Exemplo 1. Seja F (x ) = c x , com c > 0 e c ≠ 1. Calcule F ′ (x ).
Como F (x ) = c x = e x ln(c)
v. 2015-3-6
10/24
Derivada da Função Exponencial com Base c
Exemplo 1. Seja F (x ) = c x , com c > 0 e c ≠ 1. Calcule F ′ (x ).
Como F (x ) = c x = e x ln(c)
Podemos escrever:
e x ln(c) = f (g(x ))
v. 2015-3-6
com
f (y ) = e y
e
g(x ) = x ln(c)
10/24
Derivada da Função Exponencial com Base c
Exemplo 1. Seja F (x ) = c x , com c > 0 e c ≠ 1. Calcule F ′ (x ).
Como F (x ) = c x = e x ln(c)
Podemos escrever:
e x ln(c) = f (g(x ))
com
f (y ) = e y
e
g(x ) = x ln(c)
Regra da Cadeia:
F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ) =
v. 2015-3-6
10/24
Derivada da Função Exponencial com Base c
Exemplo 1. Seja F (x ) = c x , com c > 0 e c ≠ 1. Calcule F ′ (x ).
Como F (x ) = c x = e x ln(c)
Podemos escrever:
e x ln(c) = f (g(x ))
com
f (y ) = e y
e
g(x ) = x ln(c)
Regra da Cadeia:
F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ) = e x ln c ln(c) =
v. 2015-3-6
10/24
Derivada da Função Exponencial com Base c
Exemplo 1. Seja F (x ) = c x , com c > 0 e c ≠ 1. Calcule F ′ (x ).
Como F (x ) = c x = e x ln(c)
Podemos escrever:
e x ln(c) = f (g(x ))
com
f (y ) = e y
e
g(x ) = x ln(c)
Regra da Cadeia:
F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ) = e x ln c ln(c) = c x ln(c)
v. 2015-3-6
10/24
Derivada da Função Exponencial com Base c
Exemplo 1. Seja F (x ) = c x , com c > 0 e c ≠ 1. Calcule F ′ (x ).
Como F (x ) = c x = e x ln(c)
Podemos escrever:
e x ln(c) = f (g(x ))
com
f (y ) = e y
e
g(x ) = x ln(c)
Regra da Cadeia:
F ′ (x ) = f ′ (g(x ))g ′ (x ) = e x ln c ln(c) = c x ln(c)
Conclusão:
Se F (x ) = c x , então F ′ (x ) = c x ln(c).
v. 2015-3-6
10/24
Derivada da Função Logarítmica
Exemplo 2. Calcule a derivada da função ln (logarítmica natural).
v. 2015-3-6
11/24
Derivada da Função Logarítmica
Exemplo 2. Calcule a derivada da função ln (logarítmica natural).
Como ln é a inversa de exp, então para todo x > 0 vale:
exp(ln(x )) = x
(exp ○ ln)(x ) = x
v. 2015-3-6
pois (f −1 ○ f )(x ) = x
11/24
Derivada da Função Logarítmica
Exemplo 2. Calcule a derivada da função ln (logarítmica natural).
Como ln é a inversa de exp, então para todo x > 0 vale:
exp(ln(x )) = x
(exp ○ ln)(x ) = x
(exp ○ ln)′ (x ) = 1
v. 2015-3-6
pois (f −1 ○ f )(x ) = x
derivando
11/24
Derivada da Função Logarítmica
Exemplo 2. Calcule a derivada da função ln (logarítmica natural).
Como ln é a inversa de exp, então para todo x > 0 vale:
exp(ln(x )) = x
(exp ○ ln)(x ) = x
′
(exp ○ ln)′ (x ) = 1
′
exp (ln(x )) ln (x ) = 1
v. 2015-3-6
pois (f −1 ○ f )(x ) = x
derivando
regra da cadeia
11/24
Derivada da Função Logarítmica
Exemplo 2. Calcule a derivada da função ln (logarítmica natural).
Como ln é a inversa de exp, então para todo x > 0 vale:
exp(ln(x )) = x
(exp ○ ln)(x ) = x
′
(exp ○ ln)′ (x ) = 1
′
exp (ln(x )) ln (x ) = 1
′
exp(ln(x )) ln (x ) = 1
v. 2015-3-6
pois (f −1 ○ f )(x ) = x
derivando
regra da cadeia
exp′ = exp
11/24
Derivada da Função Logarítmica
Exemplo 2. Calcule a derivada da função ln (logarítmica natural).
Como ln é a inversa de exp, então para todo x > 0 vale:
exp(ln(x )) = x
(exp ○ ln)(x ) = x
′
(exp ○ ln)′ (x ) = 1
′
exp (ln(x )) ln (x ) = 1
′
exp(ln(x )) ln (x ) = 1
x ln′ (x ) = 1
v. 2015-3-6
pois (f −1 ○ f )(x ) = x
derivando
regra da cadeia
exp′ = exp
exp(ln(x )) = x
11/24
Derivada da Função Logarítmica
Exemplo 2. Calcule a derivada da função ln (logarítmica natural).
Como ln é a inversa de exp, então para todo x > 0 vale:
exp(ln(x )) = x
(exp ○ ln)(x ) = x
′
(exp ○ ln)′ (x ) = 1
′
exp (ln(x )) ln (x ) = 1
′
exp(ln(x )) ln (x ) = 1
x ln′ (x ) = 1
1
ln′ (x ) =
x
v. 2015-3-6
pois (f −1 ○ f )(x ) = x
derivando
regra da cadeia
exp′ = exp
exp(ln(x )) = x
11/24
Derivada da Função Logarítmica
Exemplo 2. Calcule a derivada da função ln (logarítmica natural).
Como ln é a inversa de exp, então para todo x > 0 vale:
exp(ln(x )) = x
(exp ○ ln)(x ) = x
′
(exp ○ ln)′ (x ) = 1
′
exp (ln(x )) ln (x ) = 1
′
exp(ln(x )) ln (x ) = 1
x ln′ (x ) = 1
1
ln′ (x ) =
x
pois (f −1 ○ f )(x ) = x
derivando
regra da cadeia
exp′ = exp
exp(ln(x )) = x
Conclusão:
ln′ (x ) =
v. 2015-3-6
1
,
x
ou seja,
d
1
ln(x ) =
dx
x
11/24
Funções exponenciais e logarítmicas
exp(x ) = e x ;
x
ln inversa de exp;
f (x ) = c , com c > 0 e c ≠ 1;
v. 2015-3-6
logc inversa de f
12/24
Funções exponenciais e logarítmicas
exp(x ) = e x ;
x
ln inversa de exp;
f (x ) = c , com c > 0 e c ≠ 1;
logc inversa de f
Para funções exponenciais e logarítmicas naturais:
d x
e = ex
dx
v. 2015-3-6
12/24
Funções exponenciais e logarítmicas
exp(x ) = e x ;
x
ln inversa de exp;
f (x ) = c , com c > 0 e c ≠ 1;
logc inversa de f
Para funções exponenciais e logarítmicas naturais:
d x
e = ex
dx
1
d
ln(x ) =
dx
x
v. 2015-3-6
12/24
Funções exponenciais e logarítmicas
exp(x ) = e x ;
x
ln inversa de exp;
f (x ) = c , com c > 0 e c ≠ 1;
logc inversa de f
Para funções exponenciais e logarítmicas naturais:
d x
e = ex
dx
1
d
ln(x ) =
dx
x
Para funções exponenciais e logarítmicas de base c,
escreva em termos de exp, ln e aplique Regra da Cadeia.
v. 2015-3-6
12/24
Funções exponenciais e logarítmicas
exp(x ) = e x ;
x
ln inversa de exp;
f (x ) = c , com c > 0 e c ≠ 1;
logc inversa de f
Para funções exponenciais e logarítmicas naturais:
d x
e = ex
dx
1
d
ln(x ) =
dx
x
Para funções exponenciais e logarítmicas de base c,
escreva em termos de exp, ln e aplique Regra da Cadeia.
d x
c =
dx
v. 2015-3-6
12/24
Funções exponenciais e logarítmicas
exp(x ) = e x ;
x
ln inversa de exp;
f (x ) = c , com c > 0 e c ≠ 1;
logc inversa de f
Para funções exponenciais e logarítmicas naturais:
d x
e = ex
dx
1
d
ln(x ) =
dx
x
Para funções exponenciais e logarítmicas de base c,
escreva em termos de exp, ln e aplique Regra da Cadeia.
d x ln(c)
d x
e
=
c =
dx
dx
v. 2015-3-6
12/24
Funções exponenciais e logarítmicas
exp(x ) = e x ;
x
ln inversa de exp;
f (x ) = c , com c > 0 e c ≠ 1;
logc inversa de f
Para funções exponenciais e logarítmicas naturais:
d x
e = ex
dx
1
d
ln(x ) =
dx
x
Para funções exponenciais e logarítmicas de base c,
escreva em termos de exp, ln e aplique Regra da Cadeia.
d x ln(c)
d x
e
= e x ln(c) ln(c) =
c =
dx
dx
v. 2015-3-6
12/24
Funções exponenciais e logarítmicas
exp(x ) = e x ;
x
ln inversa de exp;
f (x ) = c , com c > 0 e c ≠ 1;
logc inversa de f
Para funções exponenciais e logarítmicas naturais:
d x
e = ex
dx
1
d
ln(x ) =
dx
x
Para funções exponenciais e logarítmicas de base c,
escreva em termos de exp, ln e aplique Regra da Cadeia.
d x ln(c)
d x
e
= e x ln(c) ln(c) = c x ln(c)
c =
dx
dx
v. 2015-3-6
12/24
Funções exponenciais e logarítmicas
exp(x ) = e x ;
x
ln inversa de exp;
f (x ) = c , com c > 0 e c ≠ 1;
logc inversa de f
Para funções exponenciais e logarítmicas naturais:
d x
e = ex
dx
1
d
ln(x ) =
dx
x
Para funções exponenciais e logarítmicas de base c,
escreva em termos de exp, ln e aplique Regra da Cadeia.
d x ln(c)
d x
e
= e x ln(c) ln(c) = c x ln(c)
c =
dx
dx
d
logc (x ) =
dx
v. 2015-3-6
12/24
Funções exponenciais e logarítmicas
exp(x ) = e x ;
x
ln inversa de exp;
f (x ) = c , com c > 0 e c ≠ 1;
logc inversa de f
Para funções exponenciais e logarítmicas naturais:
d x
e = ex
dx
1
d
ln(x ) =
dx
x
Para funções exponenciais e logarítmicas de base c,
escreva em termos de exp, ln e aplique Regra da Cadeia.
d x ln(c)
d x
e
= e x ln(c) ln(c) = c x ln(c)
c =
dx
dx
d
d ln(x )
logc (x ) =
(
)=
dx
dx ln(c)
v. 2015-3-6
12/24
Funções exponenciais e logarítmicas
exp(x ) = e x ;
x
ln inversa de exp;
f (x ) = c , com c > 0 e c ≠ 1;
logc inversa de f
Para funções exponenciais e logarítmicas naturais:
d x
e = ex
dx
1
d
ln(x ) =
dx
x
Para funções exponenciais e logarítmicas de base c,
escreva em termos de exp, ln e aplique Regra da Cadeia.
d x ln(c)
d x
e
= e x ln(c) ln(c) = c x ln(c)
c =
dx
dx
d
d ln(x )
1
logc (x ) =
(
)=
dx
dx ln(c)
x ln(c)
v. 2015-3-6
12/24
Funções trigonométricas
Considere um ponto P(a,b) no círculo unitário: a2 + b 2 = 1.
v. 2015-3-6
13/24
Funções trigonométricas
Considere um ponto P(a,b) no círculo unitário: a2 + b 2 = 1.
Considere o ângulo ∠POR medido em radianos
_
= comprimento do arco PR, medido contra o sentido do relógio
medida ∠POR = x radianos
v. 2015-3-6
13/24
Funções trigonométricas
Considere um ponto P(a,b) no círculo unitário: a2 + b 2 = 1.
Considere o ângulo ∠POR medido em radianos
_
= comprimento do arco PR, medido contra o sentido do relógio
medida ∠POR = x radianos
P
b x
O
Definimos:
v. 2015-3-6
cos(x ) = a,
a
R
sen(x ) = b,
13/24
Funções trigonométricas
Considere um ponto P(a,b) no círculo unitário: a2 + b 2 = 1.
Considere o ângulo ∠POR medido em radianos
_
= comprimento do arco PR, medido contra o sentido do relógio
medida ∠POR = x radianos
P
b x
O
Definimos:
v. 2015-3-6
cos(x ) = a,
a
sen(x ) = b,
P1
c
R
tan(x ) = c =
13/24
Funções trigonométricas
Considere um ponto P(a,b) no círculo unitário: a2 + b 2 = 1.
Considere o ângulo ∠POR medido em radianos
_
= comprimento do arco PR, medido contra o sentido do relógio
medida ∠POR = x radianos
P
b x
O
Definimos:
v. 2015-3-6
cos(x ) = a,
a
sen(x ) = b,
P1
c
R
tan(x ) = c =
sen(x )
cos(x )
13/24
Funções trigonométricas
Considere um ponto P(a,b) no círculo unitário: a2 + b 2 = 1.
Considere o ângulo ∠POR medido em radianos
_
= comprimento do arco PR, medido contra o sentido do relógio
medida ∠POR = x radianos
d
O
Definimos:
cos(x ) = a,
P
P1
b x
a
sen(x ) = b,
R
tan(x ) = c =
sen(x )
cos(x )
sec(x ) = d =
v. 2015-3-6
13/24
Funções trigonométricas
Considere um ponto P(a,b) no círculo unitário: a2 + b 2 = 1.
Considere o ângulo ∠POR medido em radianos
_
= comprimento do arco PR, medido contra o sentido do relógio
medida ∠POR = x radianos
d
O
Definimos:
sec(x ) = d =
v. 2015-3-6
cos(x ) = a,
P
P1
b x
a
sen(x ) = b,
R
tan(x ) = c =
sen(x )
cos(x )
1
cos(x )
13/24
Funções trigonométricas
Considere um ponto P(a,b) no círculo unitário: a2 + b 2 = 1.
Considere o ângulo ∠POR medido em radianos
_
= comprimento do arco PR, medido contra o sentido do relógio
medida ∠POR = x radianos
P2
P e
b x
O
Definimos:
sec(x ) = d =
v. 2015-3-6
cos(x ) = a,
1
cos(x )
a
sen(x ) = b,
R
tan(x ) = c =
sen(x )
cos(x )
csc(x ) = e =
13/24
Funções trigonométricas
Considere um ponto P(a,b) no círculo unitário: a2 + b 2 = 1.
Considere o ângulo ∠POR medido em radianos
_
= comprimento do arco PR, medido contra o sentido do relógio
medida ∠POR = x radianos
P2
P e
b x
O
Definimos:
sec(x ) = d =
v. 2015-3-6
cos(x ) = a,
1
cos(x )
a
sen(x ) = b,
csc(x ) = e =
R
tan(x ) = c =
sen(x )
cos(x )
1
sen(x )
13/24
Funções trigonométricas
Considere um ponto P(a,b) no círculo unitário: a2 + b 2 = 1.
Considere o ângulo ∠POR medido em radianos
_
= comprimento do arco PR, medido contra o sentido do relógio
medida ∠POR = x radianos
P2
f
P
b x
O
Definimos:
sec(x ) = d =
v. 2015-3-6
cos(x ) = a,
1
cos(x )
a
sen(x ) = b,
csc(x ) = e =
1
sen(x )
R
tan(x ) = c =
sen(x )
cos(x )
cot(x ) = f =
13/24
Funções trigonométricas
Considere um ponto P(a,b) no círculo unitário: a2 + b 2 = 1.
Considere o ângulo ∠POR medido em radianos
_
= comprimento do arco PR, medido contra o sentido do relógio
medida ∠POR = x radianos
P2
f
P
b x
O
Definimos:
sec(x ) = d =
v. 2015-3-6
cos(x ) = a,
1
cos(x )
a
sen(x ) = b,
csc(x ) = e =
1
sen(x )
R
sen(x )
cos(x )
1
cot(x ) = f =
tan(x )
tan(x ) = c =
13/24
Funções trigonométricas
Já demonstramos que
v. 2015-3-6
d
sen(x ) = cos(x )
dx
14/24
Funções trigonométricas
d
sen(x ) = cos(x )
dx
π
Como cos(x ) = sen (x + ) e
2
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b), então:
Já demonstramos que
d
cos(x ) =
dx
v. 2015-3-6
14/24
Funções trigonométricas
d
sen(x ) = cos(x )
dx
π
Como cos(x ) = sen (x + ) e
2
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b), então:
Já demonstramos que
d
cos(x ) =
dx
d
π
sen (x + )
dx
2
=
v. 2015-3-6
14/24
Funções trigonométricas
d
sen(x ) = cos(x )
dx
π
Como cos(x ) = sen (x + ) e
2
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b), então:
Já demonstramos que
d
cos(x ) =
dx
=
v. 2015-3-6
d
π
sen (x + )
dx
2
π
cos (x + ) ⋅ 1
2
regra da cadeia
14/24
Funções trigonométricas
d
sen(x ) = cos(x )
dx
π
Como cos(x ) = sen (x + ) e
2
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b), então:
Já demonstramos que
d
cos(x ) =
dx
d
π
sen (x + )
dx
2
π
regra da cadeia
= cos (x + ) ⋅ 1
2
= cos(x ) cos(π/2) − sen(x ) sen(π/2)
=
v. 2015-3-6
14/24
Funções trigonométricas
d
sen(x ) = cos(x )
dx
π
Como cos(x ) = sen (x + ) e
2
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b), então:
Já demonstramos que
d
cos(x ) =
dx
d
π
sen (x + )
dx
2
π
regra da cadeia
= cos (x + ) ⋅ 1
2
= cos(x ) cos(π/2) − sen(x ) sen(π/2)
=
v. 2015-3-6
cos(x ) ⋅ 0 − sen(x ) ⋅ 1
14/24
Funções trigonométricas
d
sen(x ) = cos(x )
dx
π
Como cos(x ) = sen (x + ) e
2
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b), então:
Já demonstramos que
d
cos(x ) =
dx
d
π
sen (x + )
dx
2
π
regra da cadeia
= cos (x + ) ⋅ 1
2
= cos(x ) cos(π/2) − sen(x ) sen(π/2)
=
cos(x ) ⋅ 0 − sen(x ) ⋅ 1
= − sen(x )
v. 2015-3-6
14/24
Funções trigonométricas
d
tan(x ) =
dx
d sen(x )
(
)
dx cos(x )
=
v. 2015-3-6
15/24
Funções trigonométricas
d
tan(x ) =
dx
=
d sen(x )
(
)
dx cos(x )
sen′ (x ) cos(x ) − sen(x ) cos′ (x )
cos2 (x )
regra do quociente
=
v. 2015-3-6
15/24
Funções trigonométricas
d
tan(x ) =
dx
=
=
d sen(x )
(
)
dx cos(x )
sen′ (x ) cos(x ) − sen(x ) cos′ (x )
cos2 (x )
cos(x ) cos(x ) + sen(x ) sen(x )
cos2 (x )
regra do quociente
=
v. 2015-3-6
15/24
Funções trigonométricas
d
tan(x ) =
dx
=
=
=
d sen(x )
(
)
dx cos(x )
sen′ (x ) cos(x ) − sen(x ) cos′ (x )
cos2 (x )
cos(x ) cos(x ) + sen(x ) sen(x )
cos2 (x )
cos2 (x ) + sen2 (x )
cos2 (x )
regra do quociente
=
v. 2015-3-6
15/24
Funções trigonométricas
d
tan(x ) =
dx
=
=
=
=
d sen(x )
(
)
dx cos(x )
sen′ (x ) cos(x ) − sen(x ) cos′ (x )
regra do quociente
cos2 (x )
cos(x ) cos(x ) + sen(x ) sen(x )
cos2 (x )
cos2 (x ) + sen2 (x )
cos2 (x )
1
pois sen2 (x ) + cos2 (x ) = 1
2
cos (x )
=
v. 2015-3-6
15/24
Funções trigonométricas
d
tan(x ) =
dx
=
=
=
=
=
v. 2015-3-6
d sen(x )
(
)
dx cos(x )
sen′ (x ) cos(x ) − sen(x ) cos′ (x )
regra do quociente
cos2 (x )
cos(x ) cos(x ) + sen(x ) sen(x )
cos2 (x )
cos2 (x ) + sen2 (x )
cos2 (x )
1
pois sen2 (x ) + cos2 (x ) = 1
2
cos (x )
sec2 (x )
pois sec2 (x ) = 1/ cos2 (x )
15/24
Funções trigonométricas
Para casa: calcular as derivadas de csc, sec e cot usando as
derivadas já calculadas e identidades trigonométricas.
Completamos assim nossa tabela:
d
sen(x ) = cos(x )
dx
d
cos(x ) = − sen(x )
dx
d
tan(x ) = sec2 (x )
dx
v. 2015-3-6
d
csc(x ) = − csc(x ) cot(x )
dx
d
sec(x ) = sec(x ) tan(x )
dx
d
cot(x ) = − csc2 (x )
dx
16/24
Funções trigonométricas inversas
Restringindo-se o domínio de cada função trigonométrica,
podemos construir as suas inversas.
arcsen ∶ [−1, 1] → [−π/2, π/2]
arccos ∶ [−1, 1] → [0, π]
arctan ∶ R → [−π/2, π/2]
arccot ∶ R → [0, π]
arcsec ∶ (−∞, − 1] ∪ [1, + ∞) → [0, π] ∖ {π/2}
arccsc ∶ (−∞, − 1] ∪ [1, + ∞) → [−π/2, π/2] ∖ {0}
v. 2015-3-6
17/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
Para derivar as funções trigonométricas, consideraremos apenas
intervalos abertos nos domínios:
arcsen′ ∶ (−1, 1) → [−π/2, π/2]
arccos′ ∶ (−1, 1) → [0, π]
arctan′ ∶ R → [−π/2, π/2]
arccot′ ∶ R → [0, π]
arcsec′ ∶ (−∞, − 1) ∪ (1, + ∞) → [0, π] ∖ {π/2}
arccsc′ ∶ (−∞, − 1) ∪ (1, + ∞) → [−π/2, π/2] ∖ {0}
Precisaremos de novas identidades para as funções trigonométricas
inversas.
v. 2015-3-6
18/24
Identidades para funções trigonométricas inversas
A partir das definições das funções trigonométricas, de suas
inversas, e de identidades trigonométricas, podemos provar novas
identidades para as inversas.
v. 2015-3-6
19/24
Identidades para funções trigonométricas inversas
A partir das definições das funções trigonométricas, de suas
inversas, e de identidades trigonométricas, podemos provar novas
identidades para as inversas.
√
Exemplo 3. Demonstre que cos(arcsen(x )) = 1 − x 2
v. 2015-3-6
19/24
Identidades para funções trigonométricas inversas
A partir das definições das funções trigonométricas, de suas
inversas, e de identidades trigonométricas, podemos provar novas
identidades para as inversas.
√
Exemplo 3. Demonstre que cos(arcsen(x )) = 1 − x 2
Sabemos que cos2 (x ) = 1 − sen2 (x ). Portanto:
v. 2015-3-6
19/24
Identidades para funções trigonométricas inversas
A partir das definições das funções trigonométricas, de suas
inversas, e de identidades trigonométricas, podemos provar novas
identidades para as inversas.
√
Exemplo 3. Demonstre que cos(arcsen(x )) = 1 − x 2
Sabemos que cos2 (x ) = 1 − sen2 (x ). Portanto:
2
[cos(arcsen(x ))]
v. 2015-3-6
=
19/24
Identidades para funções trigonométricas inversas
A partir das definições das funções trigonométricas, de suas
inversas, e de identidades trigonométricas, podemos provar novas
identidades para as inversas.
√
Exemplo 3. Demonstre que cos(arcsen(x )) = 1 − x 2
Sabemos que cos2 (x ) = 1 − sen2 (x ). Portanto:
2
[cos(arcsen(x ))]
2
= 1 − [sen(arcsen(x ))]
=
v. 2015-3-6
19/24
Identidades para funções trigonométricas inversas
A partir das definições das funções trigonométricas, de suas
inversas, e de identidades trigonométricas, podemos provar novas
identidades para as inversas.
√
Exemplo 3. Demonstre que cos(arcsen(x )) = 1 − x 2
Sabemos que cos2 (x ) = 1 − sen2 (x ). Portanto:
2
[cos(arcsen(x ))]
2
= 1 − [sen(arcsen(x ))]
= 1 − [x ]2
v. 2015-3-6
19/24
Identidades para funções trigonométricas inversas
A partir das definições das funções trigonométricas, de suas
inversas, e de identidades trigonométricas, podemos provar novas
identidades para as inversas.
√
Exemplo 3. Demonstre que cos(arcsen(x )) = 1 − x 2
Sabemos que cos2 (x ) = 1 − sen2 (x ). Portanto:
2
[cos(arcsen(x ))]
2
= 1 − [sen(arcsen(x ))]
= 1 − [x ]2
2
Ou seja, [cos(arcsen(x ))] = 1 − x 2 .
v. 2015-3-6
19/24
Identidades para funções trigonométricas inversas
A partir das definições das funções trigonométricas, de suas
inversas, e de identidades trigonométricas, podemos provar novas
identidades para as inversas.
√
Exemplo 3. Demonstre que cos(arcsen(x )) = 1 − x 2
Sabemos que cos2 (x ) = 1 − sen2 (x ). Portanto:
2
[cos(arcsen(x ))]
2
= 1 − [sen(arcsen(x ))]
= 1 − [x ]2
2
Ou seja, [cos(arcsen(x ))] = 1 − x 2 .
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
√
cos(arcsen(x )) = 1 − x 2 .
v. 2015-3-6
∎
19/24
Identidades para funções trigonométricas inversas
A partir das definições das funções trigonométricas, de suas
inversas, e de identidades trigonométricas, podemos provar novas
identidades para as inversas.
√
Exemplo 3. Demonstre que cos(arcsen(x )) = 1 − x 2
Sabemos que cos2 (x ) = 1 − sen2 (x ). Portanto:
2
[cos(arcsen(x ))]
2
= 1 − [sen(arcsen(x ))]
= 1 − [x ]2
2
Ou seja, [cos(arcsen(x ))] = 1 − x 2 .
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
√
cos(arcsen(x )) = 1 − x 2 .
∎
Usamos raciocínio√semelhante para demonstrar
sen(arccos(x )) = 1 − x 2
v. 2015-3-6
19/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
Na aula passada derivamos arcsen usando a estratégia de derivação
para funções inversas via Regra da Cadeia.
Hoje vamos usar a mesma estratégia para arccos e arctan.
1
Exemplo 4. Demonstre que arccos′ (x ) = − √
1 − x2
v. 2015-3-6
20/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
Na aula passada derivamos arcsen usando a estratégia de derivação
para funções inversas via Regra da Cadeia.
Hoje vamos usar a mesma estratégia para arccos e arctan.
1
Exemplo 4. Demonstre que arccos′ (x ) = − √
1 − x2
(cos ○ arccos)(x ) = x
v. 2015-3-6
cos inversa de arccos
20/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
Na aula passada derivamos arcsen usando a estratégia de derivação
para funções inversas via Regra da Cadeia.
Hoje vamos usar a mesma estratégia para arccos e arctan.
1
Exemplo 4. Demonstre que arccos′ (x ) = − √
1 − x2
(cos ○ arccos)(x ) = x
′
(cos ○ arccos) (x ) = 1
v. 2015-3-6
cos inversa de arccos
derivando dos dois lados
20/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
Na aula passada derivamos arcsen usando a estratégia de derivação
para funções inversas via Regra da Cadeia.
Hoje vamos usar a mesma estratégia para arccos e arctan.
1
Exemplo 4. Demonstre que arccos′ (x ) = − √
1 − x2
(cos ○ arccos)(x ) = x
′
(cos ○ arccos) (x ) = 1
′
− sen(arccos(x )) ⋅ arccos (x ) = 1
v. 2015-3-6
cos inversa de arccos
derivando dos dois lados
regra da cadeia
20/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
Na aula passada derivamos arcsen usando a estratégia de derivação
para funções inversas via Regra da Cadeia.
Hoje vamos usar a mesma estratégia para arccos e arctan.
1
Exemplo 4. Demonstre que arccos′ (x ) = − √
1 − x2
(cos ○ arccos)(x ) = x
′
(cos ○ arccos) (x ) = 1
′
− sen(arccos(x )) ⋅ arccos (x ) = 1
√
− 1 − x 2 ⋅ arccos′ (x ) = 1
v. 2015-3-6
cos inversa de arccos
derivando dos dois lados
regra da cadeia
identidade trigonométrica
20/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
Na aula passada derivamos arcsen usando a estratégia de derivação
para funções inversas via Regra da Cadeia.
Hoje vamos usar a mesma estratégia para arccos e arctan.
1
Exemplo 4. Demonstre que arccos′ (x ) = − √
1 − x2
(cos ○ arccos)(x ) = x
cos inversa de arccos
′
(cos ○ arccos) (x ) = 1
derivando dos dois lados
′
− sen(arccos(x )) ⋅ arccos (x ) = 1
√
− 1 − x 2 ⋅ arccos′ (x ) = 1
arccos′ (x ) = − √
v. 2015-3-6
regra da cadeia
identidade trigonométrica
1
1 − x2
∎
20/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
Na aula passada derivamos arcsen usando a estratégia de derivação
para funções inversas via Regra da Cadeia.
Hoje vamos usar a mesma estratégia para arccos e arctan.
1
Exemplo 4. Demonstre que arccos′ (x ) = − √
1 − x2
(cos ○ arccos)(x ) = x
cos inversa de arccos
′
(cos ○ arccos) (x ) = 1
derivando dos dois lados
′
− sen(arccos(x )) ⋅ arccos (x ) = 1
√
− 1 − x 2 ⋅ arccos′ (x ) = 1
arccos′ (x ) = − √
regra da cadeia
identidade trigonométrica
1
1 − x2
∎
Domínio arccos ′ : (−1, 1)
v. 2015-3-6
20/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
1
.
1 + x2
2
Obs.: será necessária a identidade sec (x ) = 1 + tan2 (x )
Exemplo 5. Demonstre que arctan′ (x ) =
v. 2015-3-6
21/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
1
.
1 + x2
2
Obs.: será necessária a identidade sec (x ) = 1 + tan2 (x )
Exemplo 5. Demonstre que arctan′ (x ) =
(tan ○ arctan)(x ) = x
v. 2015-3-6
tan inversa de arctan
21/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
1
.
1 + x2
2
Obs.: será necessária a identidade sec (x ) = 1 + tan2 (x )
Exemplo 5. Demonstre que arctan′ (x ) =
(tan ○ arctan)(x ) = x
′
(tan ○ arctan) (x ) = 1
v. 2015-3-6
tan inversa de arctan
derivando
21/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
1
.
1 + x2
2
Obs.: será necessária a identidade sec (x ) = 1 + tan2 (x )
Exemplo 5. Demonstre que arctan′ (x ) =
(tan ○ arctan)(x ) = x
′
(tan ○ arctan) (x ) = 1
2
′
sec (arctan(x )) ⋅ arctan (x ) = 1
v. 2015-3-6
tan inversa de arctan
derivando
regra da cadeia
21/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
1
.
1 + x2
2
Obs.: será necessária a identidade sec (x ) = 1 + tan2 (x )
Exemplo 5. Demonstre que arctan′ (x ) =
(tan ○ arctan)(x ) = x
′
(tan ○ arctan) (x ) = 1
2
′
sec (arctan(x )) ⋅ arctan (x ) = 1
[1 + tan2 (arctan(x ))] ⋅ arctan′ (x ) = 1
v. 2015-3-6
tan inversa de arctan
derivando
regra da cadeia
identidade trigonométrica
21/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
1
.
1 + x2
2
Obs.: será necessária a identidade sec (x ) = 1 + tan2 (x )
Exemplo 5. Demonstre que arctan′ (x ) =
(tan ○ arctan)(x ) = x
′
(tan ○ arctan) (x ) = 1
2
′
sec (arctan(x )) ⋅ arctan (x ) = 1
[1 + tan2 (arctan(x ))] ⋅ arctan′ (x ) = 1
[1 + x 2 ] ⋅ arctan′ (x ) = 1
v. 2015-3-6
tan inversa de arctan
derivando
regra da cadeia
identidade trigonométrica
tan inversa de arctan
21/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
1
.
1 + x2
2
Obs.: será necessária a identidade sec (x ) = 1 + tan2 (x )
Exemplo 5. Demonstre que arctan′ (x ) =
(tan ○ arctan)(x ) = x
′
(tan ○ arctan) (x ) = 1
2
′
sec (arctan(x )) ⋅ arctan (x ) = 1
[1 + tan2 (arctan(x ))] ⋅ arctan′ (x ) = 1
[1 + x 2 ] ⋅ arctan′ (x ) = 1
arctan′ (x ) =
v. 2015-3-6
1
1 + x2
tan inversa de arctan
derivando
regra da cadeia
identidade trigonométrica
tan inversa de arctan
∎
21/24
Derivadas de funções trigonométricas inversas
Para casa: calcular as derivadas de arctan, arccsc, arcsec e arccot
usando as derivadas já calculadas e a estratégia usada para derivar
arcsen e arccos. Tenha em mãos uma tabela de identidades
trigonométricas.
1
d
arcsen(x ) = √
dx
1 − x2
d
1
arccos(x ) = − √
dx
1 − x2
1
d
arctan(x ) =
dx
1 + x2
d
1
arccsc(x ) = − √
dx
x x2 − 1
d
1
arcsec(x ) = √
dx
x x2 − 1
d
1
arccot(x ) = −
dx
1 + x2
Obs.: o livro do Stewart usa a notação sen−1 , cos−1 , tan−1 , csc−1 ,
sec−1 , cot−1 para as funções trigonométricas inversas.
v. 2015-3-6
22/24
Conclusão
usando apenas as definições e propriedades das funções
exponenciais, trigonométricas e de suas inversas é possível
encontrar as suas derivadas
v. 2015-3-6
23/24
Conclusão
usando apenas as definições e propriedades das funções
exponenciais, trigonométricas e de suas inversas é possível
encontrar as suas derivadas
para as inversas, derive f ○ f −1 pela Regra da Cadeia, como
vimos nesta aula e na aula passada
v. 2015-3-6
23/24
Conclusão
usando apenas as definições e propriedades das funções
exponenciais, trigonométricas e de suas inversas é possível
encontrar as suas derivadas
para as inversas, derive f ○ f −1 pela Regra da Cadeia, como
vimos nesta aula e na aula passada
não decore fórmulas, pois isto é inútil!
se necessário, tenha à mão uma tabela de identidades e
derivadas para funções exponenciais, trigonométricas e suas
inversas
v. 2015-3-6
23/24
Conclusão
usando apenas as definições e propriedades das funções
exponenciais, trigonométricas e de suas inversas é possível
encontrar as suas derivadas
para as inversas, derive f ○ f −1 pela Regra da Cadeia, como
vimos nesta aula e na aula passada
não decore fórmulas, pois isto é inútil!
se necessário, tenha à mão uma tabela de identidades e
derivadas para funções exponenciais, trigonométricas e suas
inversas
na falta de uma tabela, você pode usar algumas poucas
propriedades básicas (identidades como cos2 (x ) + sen2 (x ) = 1,
limites fundamentais, etc.) e derivar você mesmo usando as
técnicas desta aula
v. 2015-3-6
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Para casa
Releia o final da seção 3.1 (funções exponenciais) e as seções
3.4 e 3.8 do Stewart.
Extra: leia a seção 3.9 (funções hiperbólicas)
Exercícios: lista 3, todos até o 19; lista 4, exs. 1, 2 e 3.
Vídeos no site.
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