Microsoft Word - NOÇÕES DE PROBABILIDADE

NOÇÕES DE PROBABILIDADE
O estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situações, prevermos a possibilidade de ocorrência
de determinados fatos.
EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
Experimentos aleatórios são aqueles que tem resultados imprevisíveis.
ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO
Espaço amostral é o conjunto dos resultados possíveis para aquele experimento.
Ex.: 1) Quando lançamos uma moeda, temos duas possibilidades:
- obter cara
- obter coroa
O espaço amostral do experimento é E= {cara, coroa}
2) Jogando um dado ideal e anotando a face voltada para cima, teremos o espaço amostral E= {1,2,3,4,5,6}
Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado evento.
Ex.: Um casal pretende ter 3 filhos. Determinar:
a) o espaço amostral que representa as possibilidades de filhos em relação ao sexo masculino(M) ou feminino(F).
O espaço amostral é: E = {(M, M, M), (M, M, F), (M, F, M), (M, F, F), (F, M, M), (F, M, F), (F, F, M), (F, F, F)}
b) o evento A, da ocorrência de 3 filhos do sexo masculino.
A= {(M, M, M)}
c) o evento B, da ocorrência de 2 filhos do sexo feminino e um do masculino.
B= {(M, F, F), (F, M, F), (F, F, M)}
Exercícios propostos
1) Um experimento é realizado lançando-se três moedas distintas. (DICA: Para indicar a cara e a coroa da moeda,
utilize as letras C e K, respectivamente.)
Determine:
a) o espaço amostral
b) o evento A, da ocorrência de apenas uma cara,
c) o evento B, da ocorrência de pelo menos duas coroas
d) o evento D, da não ocorrência de cara
2) Dois dados distintos são lançados simultaneamente. Determine:
a) o espaço amostral
b) o evento A, em que a soma dos números é maior que ou igual a 10
c) o evento B, em que a soma dos números é menor que 2
d) o evento C, em que a soma dos números é menor que 13
3) Em uma urna são colocadas cartões numerados de 1 a 4. Se dois cartões são sorteados aleatoriamente, um após o
outro, determinar:
a) o espaço amostral quando esse experimento é realizado sem reposição.
b) o evento A, da ocorrência de dois números pares.
c) o evento B, da ocorrência do 1º número sorteado ser maior que o 2º.
d) o evento C, da ocorrência do produto dos números sorteados ser menor que 5.
1
PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE UM EVENTO
Probabilidade de um evento A representa a “chance” de ocorrer esse evento A.
p(A) 
n(A)
n(E)
, em que
p(A) = probabilidade do evento A
n(A) = número de elementos de A
n(E) = número de elementos de E
Se p(A) = 0, A será chamado evento impossível,
Se p(A) = 1, A será chamado evento certo.
A probabilidade é um número entre zero e um, inclusive, o que significa que no mínimo não há nenhuma hipótese
do evento acontecer e no máximo o evento sempre ocorrerá:
0 ≤ p(A) ≤ 1
Normalmente representam-se probabilidades através de frações, mas também podem ser representadas por
números decimais, ou por porcentagens.
Exemplos
1) Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número divisor de 6?
espaço amostral: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
evento A: A={ 1, 2, 3, 6 }
n(A) = 4 
n(A)
4
2
  ou 66,6%
 p(A) 
n(E) 6 3
n(E) = 6 
2) Dispondo de um baralho completo, qual a probabilidade de retirar ao acaso uma carta de ouros?
Um baralho é formado por 52 cartas, divididas em 4 naipes: ouros, copas, espadas e paus, sendo 13 cartas de cada
naipe.
n(E) = 52 
13 1
 p(A)  52  4
n(A)  13 
3) Em uma fábrica foi retirada uma amostra de 18 peças de certo produto. Após análise, verificou-se que 2 peças
eram defeituosas. Determine a probabilidade de, ao retirar ao acaso 3 peças da amostra, nenhuma ser defeituosa.
 O número de maneiras distintas de retirar 3 peças da amostra é dado pela combinação das 18 peças tomadas
3 a 3, ou seja, C18,3.
18 !
18.17.16.15 ! 4896
n(E) = C18,3 =


 816
3!.(18  3) !
6.15 !
6
 O número de maneiras distintas de retirar 3 peças não defeituosas da amostra é dado pela combinação das
16 não defeituosas tomadas 3 a 3. Chamando de A esse evento, temos:
16 !
16.15.14.13! 3360
C16,3 =


 560
3!.(16  3) !
6.13!
6
Dessa forma, a probabilidade de, ao retirar 3 peças, nenhuma ser defeituosa é dada por:
560
= 68,63%
816
2
Exercícios:
1) No intervalo 0  x < 27, com x  Z, ao sortearmos um número, qual a probabilidade de esse número ser:
a) ímpar?
b) múltiplo de 5?
c) menor que 10?
d) o número 0? e) um número de 11 a 19?
2) (UFJF-MG) Respondendo a um chamado de um centro de hemodiálise, 140 pessoas se apresentaram imediatamente. Um levantamento do tipo sanguíneo dessas pessoas indicou que 27 tinham o tipo sanguíneo O, 56 o tipo A,
29 o tipo AB, e o restante, o tipo B. Qual a probabilidade de que uma pessoa deste grupo, selecionada ao acaso,
tenha o tipo sanguíneo B ?
3) Qual a probabilidade de sorteio de uma bola que não seja branca em uma urna que contém 6 bolas brancas,
2 azuis e 4 amarelas?
4) Em um avião viajam 40 brasileiros, 20 japonese, 8 norte americanos e 3 árabes. Escolhendo ao acaso um
passageiro, determine a probabilidade de ele:
a) ser árabe
b) não ser árabe
c) ser japonês ou norte americano d) ser argentino
5) De um congresso, participam arquitetos, decoradores e engenheiros, conforme o quadro a seguir.
Homem
Mulher
Total
Arquiteto
8
12
20
Decorador
14
3
17
Engenheiro
21
4
25
Total
43
19
62
Ao final do congresso, um participante será sorteado e receberá um prêmio. Qual a probabilidade de o participante
premiado:
a) ser mulher b) ser engenheiro c) ser homem e arquiteto d) não ser decorador
6) Um grupo de amigos organiza uma loteria cujos bilhetes são formados por 4 algarismos distintos. Qual a
probabilidade de uma pessoa que possui os bilhetes 1387 e 7502 ser premiada, sendo que nenhum bilhete tem
como algarismo inicial o zero?
7) lançando-se 2 dados simultaneamente, qual a chance de ocorrerem números iguais?
8) Um número é escolhido ao acaso entre os 100 inteiros, de 1 a 100. Qual a probabilidade do número ser múltiplo
de 11?
9) Jogando-se 2 dados simultaneamente, qual a probabilidade de se obter um número par na soma das faces?
10) Considere os números de três algarismos obtidos das permutações dos algarismos 5, 6 e 7. Ao ser sorteada uma
dessas permutações, calcule a probabilidade de que o número obtido seja:
a) par
b) ímpar
c) maior que 700
d) menor que 650
11) Considere um conjunto de 10 frutas em que 3 estão estragadas. Escolhendo aleatoriamente 2 frutas desse
conjunto, determine a probabilidade de:
a) ambas não estarem estragadas
b) pelo menos uma estar estragada.
3
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS (REGRA DO OU)
Para que ocorra a união de dois eventos devemos ter o mesmo espaço amostral. Vamos considerar duas situações
possíveis da união de A com B (A U B).
Se a intersecção entre os conjuntos A e B é um conjunto vazio, isto é, os conjuntos não possuem termos em comum,
podemos definir que A U B = A + B, considerando que o espaço amostral seja diferente de zero chegamos à seguinte
conclusão:
p(A U B) = p(A) + p(B)
Se a intersecção entre os conjuntos A e B formam um conjunto não vazio, indica que eles possuem elementos em
comum, dessa forma a probabilidade da união desses dois eventos pode ser definida como A U B = A+B – (A ∩ B),
então:
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
Exemplos:
1) Em uma urna existem 10 bolas, numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso. Determine a probabilidade de
seu número ser par ou maior que 4.
Resolução
A(número par)= {2,4,6,8, 10}  n(A)=5
E= {1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}  n(E) = 10
B(maior que 4)= {5,6,7,8,9,10}  n(B)=6
A  B={6,8, 10)  n(A  B)=3
p(AUB) = p(A) + p(B) - p(A n B)
p(AUB) =
5
10

6
10

3
10
 p(A  B) 
8
10
2) Considerando a mesma situação anterior, qual a probabilidade de a bola retirada ser um número primo ou um
número maior que 8?
Resolução
E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}  n(E)=10
A(número primo) ={2,3,5,7}  n(A)=4
B(número maior que 8)={9, 10}  n(B)=2
A  B = Ø  n(A  B) = O
p(AUB) =
4
10

2
10
 0  p(A U B) 
6
10
3) Um experimento consiste em dois lançamentos de um dado. Calcule a probabilidade da soma dos números
obtidos ser maior que 8 ou o produto ser ímpar.
Resolução
n(E) = 6 .6 = 36.
Representando por A o evento em que a soma dos números é maior que 8 e por B o evento em que o produto dos
números obtidos é ímpar, temos:
• A = {(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} e n(A) = 10
• B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3,1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} e n(B) = 9
• A  B ={(5,5)} e n(A  B) =1
Assim, a probabilidade de obter a soma dos números maior que 8 ou o produto ser ímpar é dada por:
p(AUB) = p(A) + p(B) - p(A  B) =
10
36

9
36

1
36

18
36
= 50%
4) Em um grupo, 50 pessoas pertencem ao clube A, 70 ao clube B, 30 ao clube C, 20 pertencem aos clubes A e B, 22
aos clubes A e C, 18 aos clubes B e C e 10 pertencem aos três clubes. Escolhida, ao acaso pessoas presentes, calcule a
probabilidade de ela:
a) pertencer aos três clubes;
b) pertencer somente ao clube C;
c) pertencer a dois clubes, pelo menos;
d) não pertencer ao clube B.
4
Exercícios:
1) Em uma urna existem 10 bolas coloridas. As brancas estão numeradas de 1 a 6 e as vermelhas, de 7 a 10.
Retirando-se uma bola, qual a probabilidade de ela ser branca ou de seu número ser maior que 7?
2) Uma caixa contém 1 000 bolas, numeradas de 1 a 1 000. Qual a probabilidade de se tirar, ao acaso, a bola
contendo um número par ou um número de 2 algarismos?
3) Em uma urna temos bolas brancas, amarelas, vermelhas e pretas. O número de bolas amarelas é o dobro do
número de bolas brancas, e o de bolas vermelhas, o triplo. Determine a probabilidade de ser retirada uma bola
preta, sabendo-se que o número de pretas é o dobro do número de amarelas.
4) Em uma escola de 1 200 alunos, 550 gostam apenas de rock, 230 apenas de samba e 120 gostam de rock e samba.
Escolhendo-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade de ele gostar de samba ou de rock?
5) Uma empresa fez uma pesquisa para saber a preferência dos usuários em relação a duas operadoras de telefone
celular. Dos entrevistados, 72 utilizam a operadora A, 64 a B, e 46 as duas operadoras. Sabendo que foram
entrevistadas 150 pessoas, qual a probabilidade de, ao se sortear uma pessoa, ela ser cliente da operadora A ou B?
6) (FGV-SP) Roberto J., administrador recém-formado, envia um currículo para duas empresas A e B, à procura de
emprego. A probabilidade de ser aceito pela empresa A é 25% e a de ser aceito pela B é 20%; a probabilidade de ser
aceito por ambas é 8%.
a) Qual a probabilidade de ser aceito por ao menos uma das empresas?
b) Qual a probabilidade de ser aceito por exatamente uma empresa?
7) Numa enquete foram entrevistadas 80 pessoas sobre os meios de transporte que utilizavam para ir ao
trabalho e/ou à escola. Quarenta e duas responderam ônibus, 28 responderam carro e 30 responderam moto. Doze
utilizavam-se de ônibus e carro, 14 de carro e moto e 18 de ônibus e moto. Cinco utilizavam-se dos três. Qual é a
probabilidade de que uma dessas pessoas, selecionada ao acaso, utilize:
a) Somente ônibus?
b) moto ou carro?
c) Carro e ônibus, mas não moto?
d) Nenhum dos três veículos?
e) Apenas um desses veículos?
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Exemplos:
1) Para levantar informações em relação ao hábito de leitura de uma turma, um professor de Literatura perguntou
aos 36 alunos se já haviam lido algum livro de Manuel Bandeira ou de Clarice Lispector. Desses alunos, 18 leram
algum livro de Manuel Bandeira, 10 leram algum livro de Clarice Lispector, 8 leram livros dos dois e 16 não leram
livros desses autores.
a) Realizando um sorteio entre os alunos que leram algum livro de Manuel Bandeira (M), qual a probabilidade de ele
ter lido também algum livro de Clarice Lispector (C)?
Nesse caso, o espaço amostral é M (18 alunos), pois consideramos todos os alunos
M
C
que leram um livro de Manuel Bandeira. Dentre esses alunos, consideramos
aqueles que leram algum livro de Clarice Lispector (8 alunos).
10
8
2
Assim, a probabilidade é dada por:
p(C/M) 
8
 44%
18
b) Realizando um sorteio entre os alunos que leram algum livro de Clarice Lispector (c), qual a probabilidade de ele
ter lido também algum livro de Manuel Bandeira (M)?
Nesse caso, o espaço amostral é C (10 alunos), pois consideramos todos os alunos que leram um livro de Clarice
Lispector. Dentre esses alunos, consideramos aqueles que leram algum livro de Manuel Bandeira (8 alunos).
Assim, a probabilidade é dada por: p(M/C) 
8
 80%
10
2) Em uma urna temos 100 bolas, numeradas de 1 a 100. Sabe-se que a bola sorteada é par. Calcule a probabilidade
de ser um múltiplo de 10.
Resolução
10
A: o número é par  n(A) = 50
p (B/A) = =20%
B: o número é múltiplo de 10  n(B) = 10
50
5
Exercícios:
1) Um garoto tem 10 balas de hortelã e 5 balas de limão no bolso. Supondo que as balas são do mesmo formato e
tamanho, qual a probabilidade de o garoto tirar duas balas de hortelã consecutivamente, sem reposição?
2) Um levantamento feito com 200 funcionários de uma empresa apresentou o seguinte resultado.
Fumante
Não
fumante
Total
Homem
Mulher
Total
70
10
80
30
90
120
100
100
200
Sorteia-se um funcionário ao acaso:
a) Qual a probabilidade de que seja homem? E de que seja
mulher?
b) Se o sorteio for feito entre os não fumantes, qual a
probabilidade de que seja homem? E de que seja mulher?
3) Em um congresso de ciências, os participantes foram classificados da seguinte maneira:
Físicos Químicos Biólogos
Homens
35
30
45
Mulheres
20
40
40
Considere o evento em que é escolhida ao acaso uma dessas pessoas e calcule as probabilidades.
a) P(H/F)
b) P(Q/M)
c) P(M/B)
d) p( M /B)
e) p( H / F )
3) Para testar um novo medicamento contra certa doença e seus efeitos colaterais, foi realizado um teste com 200
pessoas, sendo 25% sadias e as restantes portadoras da doença. Nesse teste, 160 pessoas tomaram o remédio, e as
restantes, placebo. Sabendo que 35 pessoas sadias tomaram placebo, qual é a probabilidade de escolher uma
pessoa:
a) que tomou o remédio entre as pessoas sadias?
b) que tomou placebo entre as pessoas doentes?
c) doente entre as que tomaram placebo?
d) sadia entre as que não tomaram placebo?
4) Em uma travessa há 20 pastéis, sendo 20% deles recheados com carne, 30% com palmito, 25% com frango e os
restantes com queijo, não sendo possível identificar o recheio sem abri-los. Uma pessoa escolheu um pastel ao acaso
e o comeu. Em seguida, escolheu um outro ao acaso e também o comeu. Qual a probabilidade de ela ter comido
primeiro um pastel de carne e depois um de queijo?
5) Dois jogadores, Kleber e Arnaldo, lançam um dado, uma única vez cada um. Vence o jogo quem tirar o maior
número. Sabendo que Kleber tirou 4, qual a probabilidade de:
a) Kleber vencer o jogo? B) haver empate?
C) Arnaldo vencer o jogo?
EVENTOS INDEPENDENTES
Dois eventos A e B são independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não
depende da ocorrência do outro. Assim para dois eventos independentes, temos:
)
p(A  B = p(A) . p(B)
Exemplos:
1) Considere uma urna contendo 7 bolas, numeradas de 1 a 7. Calcule a probabilidade de retirarmos a bola 1 e, em
seguida, sem a reposição desta, a bola 2.
Resolução
A probabilidade de sair a bola 1 na primeira retirada é p(A)=
1
7
.
Restando 6 bolas na urna, a probabilidade de ocorrer a bola 2 na segunda, tendo ocorrido a bola 1 na primeira, é
p(B/A) =
1
6
.
Como devem ocorrer os dois eventos, temos:
p(A  B) = p(A) . p(B/A)=
1 1
.
7 6
=
1
42
6
2) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 19 anos é 2/5, a de sua mulher é de 2/3. Determine a
probabilidade de que daqui a 19 anos:
a) ambos estejam vivos;
b) nenhum esteja vivo;
c) somente o homem esteja vivo;
d) somente a mulher esteja viva.
Resolução
p(H) = 2/5
P( H ) = 3/5
p(M) = 2/3
p( M )=1/3
a) p(H  M) = p(H). p(M)= 2/5 . 2/3 = 4/15
b) P( H  M ) = 3/5 1/3 = 3/15 =1/5
c) p(H  M ) = 2/5 . 1/3 = 2/15
d) p( H  M) = 3/5 . 2/3 = 6/15 = 2/5
1) Um lote de peças para automóveis contém 60 peças novas e 10 usadas. Escolhe-se 1 peça ao acaso e, em seguida,
sem reposição da primeira, uma outra é retirada. Determine a probabilidade de as 2 peças serem usadas.
2) De cada lote de 20 peças produzidas por uma máquina que está com um pequeno problema de regulagem,
4 apresentam algum tipo de defeito. Retirando-se aleatoriamente 2 peças de um desses lotes, sem reposição, calcule
a probabilidade de se retirar:
a) duas peças perfeitas
b) uma peça perfeita e uma defeituosa
c) duas peças defeituosas
3) Dois amigos foram caçar. Sabe-se que um deles tem 45% de probabilidade de acertar em qualquer caça ,
enquanto que o outro tem 60%. Qual a probabilidade de em cada tiro disparado:
a) ambos acerterem na mesma caça?
b) nenhum acertar na mesma caça?
c) a caça ser atingida?
4) (FGV-SP) Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são suspeitas e submetidas a uma análise
detalhada; entre estas verificou-se que 20% são fraudulentas.
Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas.
a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser suspeita e fraudulenta?
b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade de ela ter sido suspeita?
5) Num recipiente adequado estão colocadas 7 bolas, sendo 3 pretas e 4 brancas. Retirando do recipiente
aleatoriamente uma bola, repondo-a após anotada a sua cor e repetindo essa operação mais duas vezes, calcule a
probabilidade de que as três bolas retiradas sejam brancas.
6) (Uriesp-SP) Um piloto de Fórmula 1 estima que suas chances de subir ao pódio numa dada prova são de 60% se
chover no dia da prova e de 20% se não chover. O Serviço de Meteorologia prevê que a probabilidade de chover
durante a prova é de 75%. Nessas condições, calcule a probabilidade de que o piloto venha a subir ao pódio.
7) (UENF-RJ) Uma pesquisa realizada em um hospital indicou que a probabilidade de um paciente morrer no prazo de
um mês, após determinada operação de câncer, é igual a 20%. Se três pacientes são submetidos a essa operação,
calcule a probabilidade de, nesse prazo:
a) todos sobreviverem;
b) apenas dois sobreviverem.
7
8
9