Exercícios de Estatística 1 Revisão - Administração

Estatística Aplicada
Administração
p(A) = n(A) / n(U)
EXERCÍCIOS - REVISÃO
ESPAÇO AMOSTRAL - EVENTOS – PROBABILIDADE
Prof. Carlos Alberto Stechhahn
2014
1. Tema: Noções de Probabilidade
1) Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:
a) sair o número 5:
Neste tipo de exercício devemos primeiro escrever o ESPAÇO AMOSTRAL.
Temos que para o lançamento de um dado as seguintes possibilidades:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 ESPAÇO AMOSTRAL
Temos ainda:
n(U) = 6
 número de elementos de U (são seis as possibilidades)
Sobre a possibilidade de sair o número 5:
A = {5}
 temos um evento A e queremos que seja o número 5, logo:
n(A) = 1
 número de elementos do conjunto A
Portanto, a probabilidade procurada será igual a:
𝑝(5) =
𝑛(𝐴) 1
=
𝑛(𝑈) 6
b) Expresse o resultado do item a) em %.
Para escrevermos o resultado em % devemos multiplicar o resultado por 100.
1
𝑝(5) = . 100 = 16,67%
6
Obs.: o resultado foi arredondado para duas casas depois da vírgula.
2) Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:
a) sair um número ímpar:
Neste tipo de exercício devemos primeiro escrever o ESPAÇO AMOSTRAL.
Temos que para o lançamento de um dado as seguintes possibilidades:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 ESPAÇO AMOSTRAL
Temos ainda:
n(U) = 6
 número de elementos de U (são seis as possibilidades)
Sobre a possibilidade de sair um número ímpar:
A = {1,3,5}
n(A) = 3
 temos um evento A e queremos que seja um número ímpar, logo:
 número de elementos do conjunto A
Portanto, a probabilidade procurada será igual a:
𝑝(5) =
𝑛(𝐴) 3 1
= = = 0,5
𝑛(𝑈) 6 2
b) Expresse o resultado do item a) em %.
Para escrevermos o resultado em % devemos multiplicar o resultado por 100.
𝑝(5) = 0,5.100 = 50%
Obs.: Tendo em vista que num dado temos 3 números ímpares e 3 números pares possíveis de acontecer,
logo, a probabilidade de sair um número par será igual a probabilidade de sair um número ímpar (50%).
c) Sair um número menor que 3:
A = {1, 2}
U = {1,2,3,4,5,6}
n(A) = 2
n(U) = 6
Portanto:
𝑝(𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 2) =
𝑛(𝐴) 2 1
= = = 0,33
𝑛(𝑈) 6 3
3) Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:
a) sair a soma 8.
Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no
dado 1 e j = número no dado 2.
É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo
ocorrendo com j.
U = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma igual a 8"
possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 5/36.
Chamaremos o evento "soma igual a 8" de evento A:
A = {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}
O conjunto U (ESPAÇO AMOSTRAL) tem 36 elementos (ou seja 36 pares ordenados) e o conjunto A tem 5
elementos, logo:
n(U) = 36
e
n(A) = 5
Portanto a probabilidade pedida: p(soma 8) será
𝑝(𝑠𝑜𝑚𝑎 8) =
𝑛(𝐴)
5
=
≈ 0,14 = 14%
𝑛(𝑈) 36
b) Sair soma 2: n(A) = 1 e n(U) = 36
Para sair soma 2 temos somente uma possibilidade, ou seja, o evento A = {(1,1)} e no lançamento de dois
dados o espaço amostral é o mesmo do item b) acima, logo:
𝑝(𝑠𝑜𝑚𝑎 1) =
𝑛(𝐴)
1
=
≈ 0,14 = 14%
𝑛(𝑈) 36
4. Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com
reposição, calcule as probabilidades seguintes:
a) sair bola azul
Resolução:
O espaço amostral A para bolas azuis é A = {6} e o total é 20.
O conjunto A, acima, está escrito entre { }, no entanto, poderíamos usar o diagrama de Venn:
A
n(A) = 6
n(U) = 20
Portanto, a probabilidade de sair uma bola azul, num total de 20 é:
𝑝(𝑎𝑧𝑢𝑙) =
6
= 0,3 = 30%
20
b) sair bola vermelha
O espaço amostral V para bolas vermelhas é V = {10} e o total é 20. Portanto:
𝑝(𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎) =
𝑛(𝑉) 10 1
=
= = 0,5 = 50%
𝑛(𝑈) 20 2
5. Em uma certa comunidade existem dois jornais C e D. Sabe-se que 4000 pessoas são assinantes do jornal
J, 3000 são assinantes de P, 1000 são assinantes de ambos e 500 não lêem jornal. Qual a probabilidade de
que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais?
SOLUÇÃO:
Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral. Teremos:
n(U) = n(C U D) + N.º de pessoas que não lêem jornais.
n(U) = n(C) + N(D) – N(C D) + 500
n(U) = 4000 + 3000 – 1000 + 500
n(U) = 7500
Portanto, a probabilidade procurada será igual a:
p = 1000/7500 = 10/75 = 0,1333 = 13,33%
Exercícios Propostos:
1. Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 40.
Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo.
Resposta: p(primo) = 0,3
2. Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 20 bolas amarelas. Qual
é a probabilidade desta bola ser verde?
Resposta: p(verde) = 0,2
3. Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas
caírem com a mesma face para cima?
Resposta: 25%
4. No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de não sair o número 6.
Resposta: 5/6
5. Lançado simultaneamente dois dados, qual a probabilidade de que a soma seja 7?
Resposta: 16,66%
6. Ao retirarmos uma bola de uma urna que contém 20 bolas numeradas de 1 a 20, qual a
probabilidade de a bola ser um número múltiplo de 3 ou ser primo?
Resposta: 13/20
7. Numa pesquisa sobre preferência entre dois refrigerantes, Coca-Cola e Guaraná,
obtivemos o seguinte resultado:
20 tomam Guaraná
15 tomam Coca-Cola
08 tomam os dois
03 não tomam nenhum dos dois
Sorteando-se uma pessoa ao acaso, calcule a probabilidade de ela tomar Guaraná ou CocaCola?
Resposta: 5/6
8. Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em
cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma
sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja
sucessor de b?
Resposta: 7/27
9.Dados os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7,
construímos todos os números que podem ser representados usando dois deles (sem rep
etir). Escolhendo ao acaso (aleatoriamente) um dos números
formados, qual a probabilidade de o número sorteado ser cinco?
Resposta: 1/7
10. Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro todo vermelho
e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira
ao acaso um cartão do bolso e o mostra a um jogador. Qual a probabilidade de a face que o
juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador ser amarela?
Resposta: 1/6
11. Lançamos um dado. Qual a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5?
Resposta: 1/3
12. Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. Qual
a probabilidade de o bilhete sorteado ser maior que 40 ou número par?
Resposta: 3/10
13. Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300
fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante
do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol?
Resposta: 2/5
14. O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois
quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa
quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações
possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela
possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?
Resposta: 13/28