probabilidade. 25 de abril de 2017

PROBABILIDADE
Chama-se evento todo subconjunto de
um espaço amostral.
Introdução
Há
certos
fenômenos
(ou
experimentos) que, embora sejam
repetidos muitas vezes e sob condições
idênticas, não apresentam os mesmos
resultados. Por exemplo, no lançamento
de uma moeda perfeita, o resultado é
imprevisível; não se pode determiná-lo
antes de ser realizado. Aos fenômenos
(ou experimentos) desse tipo damos o
nome de fenômenos aleatórios (ou
casuais).
Pelo fato de não sabermos o
resultado exato de um fenômeno
aleatório é que buscamos os resultados
prováveis, as chances, as probabilidades
de um determinado resultado ocorrer. A
teoria das probabilidades é um ramo da
Matemática que cria, elabora e pesquisa
modelos para estudar experimentos ou
fenômenos aleatórios.
Espaço amostral
Em
um
experimento
(ou
fenômeno) aleatório, o conjunto
formado por todos os resultados
possíveis é chamado espaço amostral,
que vamos indicar por U .
Exemplos:
1) No lançamento de uma moeda:
U  cara, coroa
2) No lançamento de um dado:
U  1, 2, 3, 4, 5, 6
Evento
Exemplos:
1) No lançamento de um dado, por
exemplo, em relação à face voltada para
cima, podemos ter os eventos:
 O número é par: 2, 4, 6
 O número é menor que 5:
U  1, 2, 3, 4
 O número é 8:  
2) Uma urna contém 10 bolas
numeradas de 1 a 10. Retira-se uma
bola ao acaso e observa-se o número
indicado. Descrever de forma explícita
os seguintes conjuntos e dar o número
de elementos cada um:
a) O espaço amostral U
b) O evento A : o número da bola é
ímpar
c) O vento B : o número da bola é
múltiplo de 3
Solução:
a) O conjunto de todos os resultados
possíveis é representado pelo
seguinte
espaço
amostral:
O
U  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
número de elementos desse conjunto
é nU   10
b) Se o número da bola é ímpar, temos
o evento: A  1, 3, 5, 7, 9 . O número
de elementos desse conjunto é n A  5
c) Se o número da bola é múltiplo de 3,
temos o evento: B  3, 6, 9 . O
número de elementos desse conjunto
é nB  3
Eventos mutuamente exclusivos
1
nU 
Dizemos que dois eventos A e B
são mutuamente exclusivos quando a
realização de um exclui a possibilidade
de realização do outro.
Exemplo
Uma urna contém 10 bolas
numeradas de 1 a 10. Retira-se uma
bola ao acaso e observa-se o número
indicado. Descrever de forma explícita
os seguintes eventos:
 O evento A : o número da bola é
múltiplo de 3
 O evento B : o número da bola é
múltiplo de 5
Temos que seu espaço amostral é
U  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Observe que os eventos A  3, 6, 9 e
B  5, 10 são mutuamente exclusivos,
pois, ao acontecer o evento A exclui-se
a possibilidade de acontecer o evento B
e, ao acontecer o evento B exclui-se a
possibilidade de acontecer o evento A .
Probabilidade de um evento em um
espaço amostral finito.
Dado um experimento aleatório,
sendo U o seu espaço amostral, vamos
admitir que todos os elementos de U
tenham a mesma chance de acontecer,
ou seja, que U é um conjunto
equiprovável.
Chamamos de probabilidade de
um evento A  A  U  o número real P A ,
tal que: P A  n A , onde: n A é o
nU 
número de elementos do conjunto A; e
é o número de elementos do
conjunto U .
Em outras palavras,
P( A) 
número de casos favoáveis
número total de casos possíveis
.
Exemplo
No lançamento de dois dados,
qual a probabilidade de a soma nos dois
dados ser maior que 8?
Observe o espaço amostral U desse
evento:
Como
é
um
espaço
U
equiprovável e nU   36 , a probabilidade
de cada evento simples é 1 .
36
E
Vamos chamar de
o evento “a
soma nos dois dados é maior que 8”.
nE   10 .
A probabilidade do evento
dada por: PE   nE   10
nU  36
E
é
PROBABILIDADE
DE
UM
EVENTO
EM
UM
ESPAÇO
AMOSTRAL FINITO.
EXERCÍCIOS
2
01- Entre os voluntários que trabalharão
na Olimpíada do Rio 2016, considere
que 60% residem no Rio de Janeiro, que
o restante reside fora do Rio de Janeiro,
que o número de homens é igual ao
número de mulheres e que 30% dos
homens residem no Rio de Janeiro.
Tomando ao acaso um desses
voluntários, assinale a alternativa que
apresenta, corretamente, a probabilidade
de ser uma mulher e de ela morar fora
do Rio de Janeiro.
a) 1
b)
c)
d)
e)
8
3
20
3
5
4
5
7
8
02- Em uma central de atendimento,
cem
pessoas
receberam
senhas
numeradas de 1 até 100. Uma das
senhas é sorteada ao acaso. Qual é a
probabilidade de a senha sorteada ser
um número de 1 a 20?
a) 1
b)
c)
d)
e)
100
19
100
20
100
21
100
80
100
03- O gráfico de barras abaixo exibe a
distribuição da idade de um grupo de
pessoas.
a) Mostre que, nesse grupo, a média de
idade dos homens é igual à média de
idade das mulheres.
b) Escolhendo ao acaso um homem e
uma mulher desse grupo, determine a
probabilidade de que a soma de suas
idades seja igual a 49 anos.
04- Uma caixa contém luminárias
coloridas, sendo que cada uma delas
possui duas cores diferentes, uma cor na
cúpula e outra na base. A tabela mostra
as cores das luminárias e suas
respectivas quantidades.
Retirando-se
aleatoriamente
uma
luminária dessa caixa, a probabilidade
de que ela tenha a cor amarela ou a cor
verde em uma de suas partes é
a) 52
b)
c)
d)
e)
1
2
3
5
3
4
4
5
3
05- Em uma urna vazia foram colocadas
fichas iguais, em cada uma das quais foi
escrito apenas um dos anagramas da
palavra HOSPITAL. A probabilidade de
que, ao sortear-se uma única ficha dessa
urna, no anagrama nela marcado as
letras inicial e final sejam ambas
consoantes é
a) 145
b)
c)
d)
3
7
4
7
9
14
06- Em uma urna são depositadas x
bolas pretas e 20 bolas brancas. Em
uma segunda urna são colocadas 50
bolas a mais que na primeira, das quais
3x são pretas. Retira-se, ao acaso, uma
única bola de cada urna. Se a
probabilidade P da bola retirada ser
preta for a mesma para cada urna, o
valor de P é:
a) 20%
b) 25%
c) 10%
d) 15%
e) 30%
07- Seis médicos M1, M2, M3, M4, M5 e
M6 participam de um sorteio para
compor a equipe de três médicos de um
plantão de sábado em uma clínica. A
probabilidade de que M1 seja sorteado e
M5 não seja sorteado é de:
a) 1
b)
3
1
4
c)
d)
e)
2
5
3
5
3
10
08- Em um curso de computação, uma
das atividades consiste em criar um
jogo da memória com as seis cartas
mostradas a seguir.
Inicialmente, o programa embaralha as
cartas e apresenta-as viradas para baixo.
Em seguida, o primeiro jogador vira
duas cartas e tenta formar um par.
A probabilidade de que o primeiro
jogador forme um par em sua primeira
tentativa é
a) 12
b)
c)
d)
e)
1
3
1
4
1
5
1
6
09- Um dado convencional e uma
moeda, ambos não viciados, serão
lançados simultaneamente. Uma das
faces da moeda está marcada com o
número 3, e a outra com o número 6. A
probabilidade de que a média aritmética
entre o número obtido da face do dado e
o da face da moeda esteja entre 2 e 4 é
igual a
(A) 1
(B)
3
2
3
4
(C)
(D)
(E)
1
2
3
4
1
4
10- Foi feita uma pesquisa sobre o
estado onde nasceu cada professor de
uma escola. Os resultados estão
representados no gráfico abaixo.
a) V/ F/ V/ V/ F
b) V/ V/ F/ F/ F
c) F/ F/ V/ F/ V
d) V/ V/ V/ F/ F
e) V/ F/ F/ V/ V
11- Um dado é lançado ao acaso. Qual é
a probabilidade de que o número da
face superior seja um divisor de 6?
a) 12
b) 13
c)
d)
Analisando o gráfico, marque V para
verdadeiro ou F para falso e, em
seguida, assinale a alternativa que
apresenta a sequência correta.
(
) A escola tem um total de 40
professores.
(
) Escolhendo ao acaso um desses
professores, a probabilidade de ter
nascido no Paraná é 0,4.
(
) 30 professores não nasceram na
Bahia.
(
) A probabilidade de escolher ao
acaso um desses professores e ele ser da
região Sul do Brasil é 0,45.
(
) A porcentagem dos professores
que nasceram em São Paulo é de 20%.
2
3
1
6
12- Um caixa eletrônico de certo banco
dispõe apenas de cédulas de 20 e 50
reais. No caso de um saque de 400
reais, a probabilidade do número de
cédulas entregues ser ímpar é igual a
a) 1/4
b) 2/5
c) 2/3
d) 3/5
13- As esferas metálicas M, N, P e Q
ilustradas a seguir são idênticas, mas
possuem temperaturas diferentes.
Duas dessas esferas serão escolhidas ao
acaso e colocadas em contato até que o
equilíbrio térmico seja atingido. A
probabilidade de que a temperatura no
equilíbrio não seja negativa é
a) 13
b)
c)
1
2
2
3
5
d)
e)
3
4
5
6
14- Estão, em uma repartição, 7
pessoas, entre elas, Ricardo e José.
Escolhendo-se ao acaso um grupo de 4
pessoas, a probabilidade de que Ricardo
ou José, apenas um deles, pertença ao
grupo é de:
a) 2
b)
c)
d)
7
3
7
4
7
5
7
15- O gamão é um jogo de tabuleiro
muito antigo, para dois oponentes, que
combina a sorte, em lances de dados,
com estratégia, no movimento das
peças.
Pelas
regras
adotadas,
atualmente, no Brasil, o número total de
casas que as peças de um jogador
podem avançar, numa dada jogada, é
determinado
pelo
resultado
do
lançamento de dois dados. Esse número
é igual à soma dos valores obtidos nos
dois dados, se esses valores forem
diferentes entre si; e é igual ao dobro da
soma, se os valores obtidos nos dois
dados forem iguais. Supondo que os
dados
não sejam
viciados, a
probabilidade de um jogador poder
fazer suas peças andarem pelo menos
oito casas em uma jogada é
a) 13
b)
c)
5
12
17
36
d)
e)
1
2
19
36
16- Sandra comprou uma caixa de balas
sortidas. Na caixa, havia 8 balas de
sabor menta, 6 balas de sabor morango,
6 balas de sabor caramelo e 4 balas de
sabor tangerina. A probabilidade de
Sandra escolher na caixa, ao acaso, uma
bala de tangerina é
a) 17
b)
c)
d)
e)
1
6
1
5
1
4
1
3
17- Dois
dados
são
jogados
simultaneamente. A probabilidade de se
obter soma igual a 10 nas faces de cima
é
a) 181
b)
c)
d)
e)
1
12
1
10
1
6
1
5
18-
Pretende-se colocar, sobre um tabuleiro
como o da figura acima, nove peças de
mesma forma e tamanho, das quais
quatro são brancas e cinco são pretas.
6
Cada casa do tabuleiro será ocupada por
uma só peça. Supondo que as peças são
colocadas ao acaso, a probabilidade de
os quatro cantos do tabuleiro serem
ocupados por quatro peças pretas é:
a) 5
b)
c)
d)
e)
120
5
126
9
120
9
126
24
125
19- Paula ganhou de Felipe doze
colares, cinco deles de pena e sete deles
de contas. Paula ganhou de Samir
dezoito colares, dez deles de pena e oito
deles de contas. Paula guarda todos
esses colares – e somente esses – em
sua caixa de jóias. Paula resolveu
retirar, ao acaso, um colar de sua caixa
de jóias. A probabilidade de que seja
um colar de pena dado por Felipe é de:
a) 3/2
b) 1/6
c) 4/5
d) 2/5
20- Dois dados cúbicos, não viciados,
com faces numeradas de 1 a 6, serão
lançados
simultaneamente.
A
probabilidade de que sejam sorteados
dois números consecutivos, cuja soma
seja um número primo, é de
a) 2
b)
c)
d)
9
1
3
4
9
5
9
e)
2
3
21- Uma caixa contém bolas azuis,
brancas e amarelas, indistinguíveis a
não ser pela cor. Na caixa existem 20
bolas brancas e 18 bolas azuis.
Retirando–se ao acaso uma bola da
caixa, a probabilidade de ela ser
amarela é 1 . Então, o número de bolas
3
amarelas é
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
GABARITO
01- A
02- C
03-
b) Para que a soma das idades seja igual
a 49 anos, as escolhas são: um homem
de 24 anos e uma mulher de 25 anos,
com 1  1  1 possibilidade, ou um homem
de 25 anos e uma mulher de 24 anos,
com 2  3  6 possibilidades. Temos então
1  6  7 possibilidades e, como o total de
pares possíveis é igual a 16 14 , a
probabilidade requerida é dada por
7
1

.
16  14
32
7
04- C
05- A
06- A
07- E
08- D
09- A
10- E
11- C
12- B
13- E
14- C
15- C
16- B
17- B
18- B
19- B
20- A
21- B
PROBABILIDADE DO EVENTO
COMPLEMENTAR
EXERCÍCIO
01- No lançamento simultâneo de dois
dados honestos, a probabilidade de não
sair soma 5, é igual a:
a) 8
b)
c)
d)
e)
9
4
9
1
9
5
6
5
9
GABARITO
01- A
8