Combinatória

MA 224 Z - Resolução de Problemas Matemáticos
2o semestre de 2016
Lista 8 - Combinatória
Questão 1 (TP, Capı́tulo 6) Escrevemos os números naturais de 1 a 2016. Quantas vezes será escrito o algarismo 0
(zero) ?
Questão 2 (TP, Capı́tulo 6)
(a) Mostre que um número natural k tem uma quantidade ı́mpar de divisores positivos se e somente se k é um quadrado
perfeito.
(b) Num corredor (bem extenso) há 900 portas, numeradas de 1 a 900, todas fechadas. Um grupo de 900 pessoas, de
novo numeradas de 1 a 900, atravessa um por um o corredor. A pessoa de número k reverte todas as portas (isto
é, abre as fechadas e fecha as abertas) cujo número é divisı́vel por k, para todo k. Após a última pessoa do grupo,
quais portas estarão abertas ?
Questão 3 (Vestibular UNICAMP) As placas dos 10.000 carros num paı́s são formadas por 4 algarismos, de 0000 a 9999
(o paı́s deve ser bem pequeno. . . ) Uma placa é considerada ”de sorte”se os algarismos aparecem em ordem crescente ou
em ordem decrescente, sem repetição. Por exemplo, 1359 e 8764 são placas de sorte, mas 1223 e 1354 não o são.
Quantas placas de sorte há naquele paı́s?
Questão 4 Sejam x1 , x2 , . . . , xk variáveis, quantos monômios xd11 xd22 · · · xdkk de grau total d podemos formar ?
Questão 5 Escrevemos os números de 1 a 2016 um após o outro:
1234567891011121314151617 . . . 99100101 . . . 2013201420152016
e obtemos um número bem grande.
(a) Quantos algarismos tem o número acima ?
(b) Apagamos, no número acima, começando da esquerda, todos os algarismos que estão em posição par (isto é, o
segundo, o quarto, o sexto, o oitavo, o décimo, o décimo segundo e assim por diante). No número obtido (de
comprimento ”mais ou menos”a metade do inicial) apagamos os algarismos em posição ı́mpar (primeiro, terceiro,
quinto etc.), em seguida os algarismos em posição par, depois em posição ı́mpar etc.
No final vai sobrar apenas um algarismo. Em que posição do número inicial este algarismo estava ?
(c) Qual o algarismo que sobrou no item (b) ?
Questão 6 (TP, Capı́tulo 6) Escrevemos números de 5 dı́gitos em cartões (um número pode começar de 0). Os algarismos
0, 1, 8 não alteram quando virados de cabeça para baixo; o número 6 vira 9 quando de cabeça para baixo, e vice versa.
Qual a quantidade mı́nima de cartões necessários para representar todos os números de 5 dı́gitos (de 00000 a 99999) ?
Questão 7 (TPE, Capı́tulo 7) Cada peça de dominó tem um par de números, de 0 a 6, não necessariamente distintos.
Quantas peças deve ter num conjunto completo de dominó ? E se os números forem de 0 a 8 ?
Questão 8 (TPE, Capı́tulo 7) De quantas maneiras podemos colorir os 4 quadrantes de um cı́rculo, dispondo de 5 cores
distintas, de tal modo que cada quadrante seja de uma cor só, e dois quadrantes cuja fronteira comum consiste de uma
linha (não ponto), sejam coloridos de cores diferentes ?
Questão 9 (TPE, Capı́tulo 7) De quantas maneiras podemos formar palavras num alfabeto de 26 letras, onde a letra A
aparece na palavra, mas não pode ocupar a primeira posição ? E se não permitirmos repetição de letras ?
Questão 10 (PROFMAT, Exame de Acesso 2011) Um time esportivo consiste de 10 jogadores, 6 titulares e 4 reservas.
O jogo começou com o time titular. Podem ser feitas no máximo 3 substituições durante o intervalo entre os dois tempos
do jogo. Quantos times distintos podem iniciar o segundo tempo ?
Referência: TPE = Temas e Problemas Elementares.
TP = Temas e Problemas.