Lista 1

Cálculo das Probabilidades I - Lista 1 - Definições básicas e
métodos de contagem - 2015/2
Prof. Hugo Carvalho
01/10/2015
Questão 1: Suponha que uma carta é selecionada de um baralho de 20 cartas que contém 10 cartas
vermelhas numeradas de 1 a 10 e 10 cartas azuis numeradas também de 1 a 10. Considere os eventos:
• A = {uma carta com número par é selecionada}
• B = {uma carta azul é selecionada}
• C = {uma carta com número menor que 5 é selecionada}
Descreva o espaço amostral S e descreva cada um dos seguintes eventos tanto com palavras quanto como
sub-conjuntos de S:
a) A ∩ B ∩ C
b) B ∩ C
d) A ∩ (B ∪ C)
c
e) Ac ∩ B c ∩ C c
c) A ∪ B ∪ C
Questão 2: Suponha que um número real x é escolhido e considere os eventos abaixo:
• A = {x : 1 ≤ x ≤ 5}
• B = {x : 3 < x ≤ 7}
• C = {x : x ≤ 0}
Descreva cada um dos eventos como um sub-conjunto de números reais:
a) Ac
d) Ac ∩ B c ∩ C c
b) A ∪ B
c) B ∩ C c
e) (A ∪ B) ∩ C
Questão 3: Um modelo simplificado para o sistema de tipos sanguı́neos de seres humanos possui quatro
tipos: A, B, AB e O. Existem dois antı́genos, anti-A e anti-B, que reagem com o sangue de uma pessoa de
maneira diferente, dependendo do seu tipo sanguı́neo: anti-A reage com sangue do tipo A e AB, mas não
com B e O; anti-B reage com sangue do tipo B e AB, mas não com A e O. Suponha que o sangue de uma
pessoa é retirado e testado com os dois antı́genos. Seja A o evento onde o sangue reage com anti-A e B o
evento onde o sangue reage com anti-B. Classifique o tipo sanguı́neo de uma pessoa usando os eventos A, B
e seus complementos.
Questão 4: Uma urna contém duas bolas vermelhas e três bolas pretas. As vermelhas são numeradas com
os números 1 e 2 e as pretas são numeradas com 3, 4 e 5. Três bolas são retiradas da urna sem reposição.
Considere os eventos:
1
• A = {a maioria das bolas retiradas é preta}
• B = {a soma dos números nas bolas retiradas é maior que ou igual a 10}
Esses eventos são mutuamente exclusivos? Justifique a sua resposta.
Questão 5: Uma célula de energia consiste de duas sub-células, onde cada uma pode prover de 0 até 5
volts, independente do que a outra provê. A célula é funcional se e somente se a soma das voltagens providas
pelas sub-células é pelo menos 6 volts. Um experimento consiste em medir e anotar as voltagens das duas
sub-células. Considere os eventos:
• A = {a célula de energia é funcional}
• B = {as duas sub-células têm a mesma voltagem}
• C = {a primeira sub-célula tem uma voltagem estritamente maior que a segunda}
• D = {a célula de energia não é funcional, porém precisa de menos de um volt para se tornar funcional}
Faça o que se pede abaixo:
a) Defina o espaço amostral S para o experimento como um conjunto de pares ordenados, de modo que
seja possı́vel para você expressar os quatro eventos acima como sub-conjuntos de S.
b) Expresse cada um dos eventos A, B, C e D como sub-conjuntos de S.
c) Expresse o seguinte conjunto em termos de A, B, C e/ou D:
{(x, y) : x = y e x + y ≤ 5}.
d) Expresse o seguinte evento em termos de A, B, C e/ou D:
a célula de energia não é funcional e a segunda sub-célula tem uma voltagem estritamente maior que
a primeira.
Questão 6: Prove as seguintes relações envolvendo conjuntos:
a) Se A ⊂ B, então B c ⊂ Ac
b) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c
c) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c
d) A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B c )
e) Se {An } n = 1, 2, ... é uma coleção de conjuntos, então
!c
!c
∞
∞
∞
∞
[
\
\
[
Ai
=
Aci , e
Ai
=
Aci
i=1
i=1
i=1
i=1
Questão 7: Uma bola é escolhida de uma caixa contendo bolas vermelhas, brancas, azuis, amarelas e verdes.
Se a probabilidade de uma bola vermelha ser escolhia é de 1/5 e a probabilidade de uma bola branca ser
escolhida é de 2/5, qual é a probabilidade de se escolher uma bola azul, amarela ou verde?
Questão 8: Se 50% das famı́lias em uma certa cidade assinam o jornal da manhã, 65% das famı́lias assinam
o jornal da tarde e 85% das famı́lias assinam pelo menos um dos dois jornais, qual é a porcentagem de
famı́lias que assinam a ambos os jornais?
Questão 9: Considere novamente os tipos sanguı́neos e seus antı́genos conforme descritos na Questão 3.
Suponha que, para uma dada pessoa, a probabilidade do sangue tipo O é de 0.5, a probabilidade do tipo A
é de 0.34 e a probabilidade do tipo B é de 0.12.
2
a) Calcule a probabilidade de cada um dos antı́genos reagir com o sangue dessa pessoa.
b) Calcule a probabilidade de que ambos os antı́genos reajam com o sangue dessa pessoa.
Questão 10: Um número é escolhido no conjunto {1, 2, 3, ...} com probabilidade:

4

se i = 1
7
2
P (i) = 7
se i = 2

 1 i−2
se i ≥ 3
8
Calcule P (i ≥ 4).
Questão 11: Considere dois eventos A e B tais que P (A) = 1/3 e P (B) = 1/2. Determine os valores de
P (B ∩ Ac ) para cada uma das condições abaixo:
a) A e B são disjuntos
b) A ⊂ B
c) P (A ∩ B) = 1/8
Questão 12: Considere dois eventos A e B com P (A) = 0.4 e P (B) = 0.7. Determine os valores máximos
e mı́nimos que P (A ∩ B) pode assumir, e sob quais condições cada um desses valores é atingido.
Questão 13: Prove que para quaisquer dois eventos A e B, a probabilidade de exatamente um dos dois
eventos acontecer é dada pela expressão
P (A) + P (B) − 2P (A ∩ B).
Questão 14: Para o espaço amostral S = {0, 1, 2, ...} é proposta a seguinte lei de probabilidade:
P (i) = e−2
2i
.
i!
Tal lei é de fato uma lei de probabilidade?
+∞ i
X
x
Dica: ex =
i!
i=0
Questão 15: Dois dados honestos são lançados. Qual a probabilidade de...
a) ...a soma dos dois números ser ı́mpar?
b) ...a soma dos dois números ser par?
c) ...que o valor absoluto da diferença dos dois números ser menor que três?
Questão 16: Uma escola tem estudantes nas séries 1, 2, 3, 4, 5 e 6. As séries 2, 3, 4, 5 e 6 têm todas o
mesmo número de estudantes, mas a série 1 tem o dobro desse número. Se um estudante é selecionado ao
acaso da lista de todos os estudantes na escola, qual é a probabilidade de que ele esteja na série 3? E qual é
a probabilidade de que ele esteja em uma série de número ı́mpar?
Questão 17: Considere um experimento onde uma moeda honesta e um dado honesto são lançados.
a) Descreva o espaço amostral para esse experimento.
b) Qual é a probabilidade de que uma cara seja obtida na moeda e um número ı́mpar seja obtido no dado?
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Questão 18: Três classes diferentes contém 20, 18 e 25 estudantes, respectivamente, e nenhum estudante
faz parte de mais de uma classe. Se um time será composto por um estudante de cada uma das três classes,
de quantas maneiras distintas o time pode ser montado?
Questão 19: De quantas formas distintas as letras A, B, C, D e E podem ser ordenadas?
Questão 20: Quatro dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de que os quatro números
sejam distintos?
Questão 21: Seis dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de que cada um dos seis
números distintos apareça exatamente uma vez?
Questão 22: Se 12 bolas são jogadas ao acaso em 20 caixas, qual é a probabilidade de que nenhuma caixa
receba mais de uma bola?
Questão 23: Em um prédio de sete andares, um elevador parte do térreo com cinco passageiros. Se cada
passageiro é igualmente provável de sair em cada andar e os passageiros saem independentemente um do
outro, qual é a probabilidade de não mais que um passageiro sair a cada andar?
Questão 24: Uma caixa contém 100 bolas, das quais r são vermelhas. Suponha que as bolas são retiradas
da caixa uma de cada vez, de modo aleatório e sem reposição. Determine a probabilidade de...
a) ...a primeira bola retirada ser vermelha.
b) ...a 50a. bola retirada ser vermelha.
c) ...a última bola retirada ser vermelha.
Questão 25: No Brasil, as placas de carro são da forma ABC1234 (3 letras seguidas de 4 números). Quantas
placas distintas podem ser formadas dessa forma?
Questão 26: Cada ano começa em algum dos 7 dias da semana, e cada ano é bissexto ou não. Quantos
calendários diferentes são possı́veis para um ano?
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