Cálculo das Probabilidades I - Lista 1 - Definições básicas e métodos de contagem - 2015/2 Prof. Hugo Carvalho 01/10/2015 Questão 1: Suponha que uma carta é selecionada de um baralho de 20 cartas que contém 10 cartas vermelhas numeradas de 1 a 10 e 10 cartas azuis numeradas também de 1 a 10. Considere os eventos: • A = {uma carta com número par é selecionada} • B = {uma carta azul é selecionada} • C = {uma carta com número menor que 5 é selecionada} Descreva o espaço amostral S e descreva cada um dos seguintes eventos tanto com palavras quanto como sub-conjuntos de S: a) A ∩ B ∩ C b) B ∩ C d) A ∩ (B ∪ C) c e) Ac ∩ B c ∩ C c c) A ∪ B ∪ C Questão 2: Suponha que um número real x é escolhido e considere os eventos abaixo: • A = {x : 1 ≤ x ≤ 5} • B = {x : 3 < x ≤ 7} • C = {x : x ≤ 0} Descreva cada um dos eventos como um sub-conjunto de números reais: a) Ac d) Ac ∩ B c ∩ C c b) A ∪ B c) B ∩ C c e) (A ∪ B) ∩ C Questão 3: Um modelo simplificado para o sistema de tipos sanguı́neos de seres humanos possui quatro tipos: A, B, AB e O. Existem dois antı́genos, anti-A e anti-B, que reagem com o sangue de uma pessoa de maneira diferente, dependendo do seu tipo sanguı́neo: anti-A reage com sangue do tipo A e AB, mas não com B e O; anti-B reage com sangue do tipo B e AB, mas não com A e O. Suponha que o sangue de uma pessoa é retirado e testado com os dois antı́genos. Seja A o evento onde o sangue reage com anti-A e B o evento onde o sangue reage com anti-B. Classifique o tipo sanguı́neo de uma pessoa usando os eventos A, B e seus complementos. Questão 4: Uma urna contém duas bolas vermelhas e três bolas pretas. As vermelhas são numeradas com os números 1 e 2 e as pretas são numeradas com 3, 4 e 5. Três bolas são retiradas da urna sem reposição. Considere os eventos: 1 • A = {a maioria das bolas retiradas é preta} • B = {a soma dos números nas bolas retiradas é maior que ou igual a 10} Esses eventos são mutuamente exclusivos? Justifique a sua resposta. Questão 5: Uma célula de energia consiste de duas sub-células, onde cada uma pode prover de 0 até 5 volts, independente do que a outra provê. A célula é funcional se e somente se a soma das voltagens providas pelas sub-células é pelo menos 6 volts. Um experimento consiste em medir e anotar as voltagens das duas sub-células. Considere os eventos: • A = {a célula de energia é funcional} • B = {as duas sub-células têm a mesma voltagem} • C = {a primeira sub-célula tem uma voltagem estritamente maior que a segunda} • D = {a célula de energia não é funcional, porém precisa de menos de um volt para se tornar funcional} Faça o que se pede abaixo: a) Defina o espaço amostral S para o experimento como um conjunto de pares ordenados, de modo que seja possı́vel para você expressar os quatro eventos acima como sub-conjuntos de S. b) Expresse cada um dos eventos A, B, C e D como sub-conjuntos de S. c) Expresse o seguinte conjunto em termos de A, B, C e/ou D: {(x, y) : x = y e x + y ≤ 5}. d) Expresse o seguinte evento em termos de A, B, C e/ou D: a célula de energia não é funcional e a segunda sub-célula tem uma voltagem estritamente maior que a primeira. Questão 6: Prove as seguintes relações envolvendo conjuntos: a) Se A ⊂ B, então B c ⊂ Ac b) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c c) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c d) A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) e) Se {An } n = 1, 2, ... é uma coleção de conjuntos, então !c !c ∞ ∞ ∞ ∞ [ \ \ [ Ai = Aci , e Ai = Aci i=1 i=1 i=1 i=1 Questão 7: Uma bola é escolhida de uma caixa contendo bolas vermelhas, brancas, azuis, amarelas e verdes. Se a probabilidade de uma bola vermelha ser escolhia é de 1/5 e a probabilidade de uma bola branca ser escolhida é de 2/5, qual é a probabilidade de se escolher uma bola azul, amarela ou verde? Questão 8: Se 50% das famı́lias em uma certa cidade assinam o jornal da manhã, 65% das famı́lias assinam o jornal da tarde e 85% das famı́lias assinam pelo menos um dos dois jornais, qual é a porcentagem de famı́lias que assinam a ambos os jornais? Questão 9: Considere novamente os tipos sanguı́neos e seus antı́genos conforme descritos na Questão 3. Suponha que, para uma dada pessoa, a probabilidade do sangue tipo O é de 0.5, a probabilidade do tipo A é de 0.34 e a probabilidade do tipo B é de 0.12. 2 a) Calcule a probabilidade de cada um dos antı́genos reagir com o sangue dessa pessoa. b) Calcule a probabilidade de que ambos os antı́genos reajam com o sangue dessa pessoa. Questão 10: Um número é escolhido no conjunto {1, 2, 3, ...} com probabilidade: 4 se i = 1 7 2 P (i) = 7 se i = 2 1 i−2 se i ≥ 3 8 Calcule P (i ≥ 4). Questão 11: Considere dois eventos A e B tais que P (A) = 1/3 e P (B) = 1/2. Determine os valores de P (B ∩ Ac ) para cada uma das condições abaixo: a) A e B são disjuntos b) A ⊂ B c) P (A ∩ B) = 1/8 Questão 12: Considere dois eventos A e B com P (A) = 0.4 e P (B) = 0.7. Determine os valores máximos e mı́nimos que P (A ∩ B) pode assumir, e sob quais condições cada um desses valores é atingido. Questão 13: Prove que para quaisquer dois eventos A e B, a probabilidade de exatamente um dos dois eventos acontecer é dada pela expressão P (A) + P (B) − 2P (A ∩ B). Questão 14: Para o espaço amostral S = {0, 1, 2, ...} é proposta a seguinte lei de probabilidade: P (i) = e−2 2i . i! Tal lei é de fato uma lei de probabilidade? +∞ i X x Dica: ex = i! i=0 Questão 15: Dois dados honestos são lançados. Qual a probabilidade de... a) ...a soma dos dois números ser ı́mpar? b) ...a soma dos dois números ser par? c) ...que o valor absoluto da diferença dos dois números ser menor que três? Questão 16: Uma escola tem estudantes nas séries 1, 2, 3, 4, 5 e 6. As séries 2, 3, 4, 5 e 6 têm todas o mesmo número de estudantes, mas a série 1 tem o dobro desse número. Se um estudante é selecionado ao acaso da lista de todos os estudantes na escola, qual é a probabilidade de que ele esteja na série 3? E qual é a probabilidade de que ele esteja em uma série de número ı́mpar? Questão 17: Considere um experimento onde uma moeda honesta e um dado honesto são lançados. a) Descreva o espaço amostral para esse experimento. b) Qual é a probabilidade de que uma cara seja obtida na moeda e um número ı́mpar seja obtido no dado? 3 Questão 18: Três classes diferentes contém 20, 18 e 25 estudantes, respectivamente, e nenhum estudante faz parte de mais de uma classe. Se um time será composto por um estudante de cada uma das três classes, de quantas maneiras distintas o time pode ser montado? Questão 19: De quantas formas distintas as letras A, B, C, D e E podem ser ordenadas? Questão 20: Quatro dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de que os quatro números sejam distintos? Questão 21: Seis dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de que cada um dos seis números distintos apareça exatamente uma vez? Questão 22: Se 12 bolas são jogadas ao acaso em 20 caixas, qual é a probabilidade de que nenhuma caixa receba mais de uma bola? Questão 23: Em um prédio de sete andares, um elevador parte do térreo com cinco passageiros. Se cada passageiro é igualmente provável de sair em cada andar e os passageiros saem independentemente um do outro, qual é a probabilidade de não mais que um passageiro sair a cada andar? Questão 24: Uma caixa contém 100 bolas, das quais r são vermelhas. Suponha que as bolas são retiradas da caixa uma de cada vez, de modo aleatório e sem reposição. Determine a probabilidade de... a) ...a primeira bola retirada ser vermelha. b) ...a 50a. bola retirada ser vermelha. c) ...a última bola retirada ser vermelha. Questão 25: No Brasil, as placas de carro são da forma ABC1234 (3 letras seguidas de 4 números). Quantas placas distintas podem ser formadas dessa forma? Questão 26: Cada ano começa em algum dos 7 dias da semana, e cada ano é bissexto ou não. Quantos calendários diferentes são possı́veis para um ano? 4