Cálculo das Probabilidades (CCOMP) - Lista 1 - Definições básicas e métodos de contagem - 2016/1 Prof. Hugo Carvalho 12/09/2016 Questão 1: Suponha que uma carta é selecionada de um baralho de 20 cartas que contém 10 cartas vermelhas numeradas de 1 a 10 e 10 cartas azuis numeradas também de 1 a 10. Considere os eventos: • A = {uma carta com número par é selecionada} • B = {uma carta azul é selecionada} • C = {uma carta com número menor que 5 é selecionada} Descreva o espaço amostral S e descreva cada um dos seguintes eventos tanto com palavras quanto como sub-conjuntos de S: a) A ∩ B ∩ C d) A ∩ (B ∪ C) b) B ∩ C c e) Ac ∩ B c ∩ C c c) A ∪ B ∪ C Questão 2: Um modelo simplificado para o sistema de tipos sanguı́neos de seres humanos possui quatro tipos: A, B, AB e O. Existem dois antı́genos, anti-A e anti-B, que reagem com o sangue de uma pessoa de maneira diferente, dependendo do seu tipo sanguı́neo: anti-A reage com sangue do tipo A e AB, mas não com B e O; anti-B reage com sangue do tipo B e AB, mas não com A e O. Suponha que o sangue de uma pessoa é retirado e testado com os dois antı́genos. Seja A o evento onde o sangue reage com anti-A e B o evento onde o sangue reage com anti-B. Classifique o tipo sanguı́neo de uma pessoa usando os eventos A, B e seus complementos. Questão 3: Uma urna contém duas bolas vermelhas e três bolas pretas. As vermelhas são numeradas com os números 1 e 2 e as pretas são numeradas com 3, 4 e 5. Três bolas são retiradas da urna sem reposição. Considere os eventos: • A = {a maioria das bolas retiradas é preta} • B = {a soma dos números nas bolas retiradas é maior que ou igual a 10} Esses eventos são mutuamente exclusivos? Justifique a sua resposta. Questão 4: Uma bola é escolhida de uma caixa contendo bolas vermelhas, brancas, azuis, amarelas e verdes. Se a probabilidade de uma bola vermelha ser escolhia é de 1/5 e a probabilidade de uma bola branca ser escolhida é de 2/5, qual é a probabilidade de se escolher uma bola azul, amarela ou verde? Questão 5: Se 50% das famı́lias em uma certa cidade assinam o jornal da manhã, 65% das famı́lias assinam o jornal da tarde e 85% das famı́lias assinam pelo menos um dos dois jornais, qual é a porcentagem de famı́lias que assinam a ambos os jornais? Questão 6: Considere novamente os tipos sanguı́neos e seus antı́genos conforme descritos na Questão 3. Suponha que, para uma dada pessoa, a probabilidade do sangue tipo O é de 0.5, a probabilidade do tipo A é de 0.34 e a probabilidade do tipo B é de 0.12. 1 a) Calcule a probabilidade de cada um dos antı́genos reagir com o sangue dessa pessoa. b) Calcule a probabilidade de que ambos os antı́genos reajam com o sangue dessa pessoa. Questão 7: Um número é escolhido no conjunto {1, 2, 3, ...} com probabilidade: 4 se i = 1 7 2 P (i) = 7 se i = 2 1 i−2 se i ≥ 3 8 Calcule P (i ≥ 4). Questão 8: Prove que para quaisquer dois eventos A e B, a probabilidade de exatamente um dos dois eventos acontecer é dada pela expressão P (A) + P (B) − 2P (A ∩ B). Questão 9: Para o espaço amostral S = {0, 1, 2, ...} é proposta a seguinte lei de probabilidade: P (i) = e−2 2i . i! Tal lei é de fato uma lei de probabilidade? +∞ i X x Dica: ex = i! i=0 Questão 10: Dois dados honestos são lançados. Qual a probabilidade de... a) ...a soma dos dois números ser ı́mpar? b) ...a soma dos dois números ser par? c) ...que o valor absoluto da diferença dos dois números ser menor que três? Questão 11: Uma escola tem estudantes nas séries 1, 2, 3, 4, 5 e 6. As séries 2, 3, 4, 5 e 6 têm todas o mesmo número de estudantes, mas a série 1 tem o dobro desse número. Se um estudante é selecionado ao acaso da lista de todos os estudantes na escola, qual é a probabilidade de que ele esteja na série 3? E qual é a probabilidade de que ele esteja em uma série de número ı́mpar? Questão 12: Considere um experimento onde uma moeda honesta e um dado honesto são lançados. a) Descreva o espaço amostral para esse experimento. b) Qual é a probabilidade de que uma cara seja obtida na moeda e um número ı́mpar seja obtido no dado? Questão 13: Três classes diferentes contém 20, 18 e 25 estudantes, respectivamente, e nenhum estudante faz parte de mais de uma classe. Se um time será composto por um estudante de cada uma das três classes, de quantas maneiras distintas o time pode ser montado? Questão 14: De quantas formas distintas as letras A, B, C, D e E podem ser ordenadas? Questão 15: Quatro dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de que os quatro números sejam distintos? Questão 16: Seis dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de que cada um dos seis números distintos apareça exatamente uma vez? Questão 17: Se 12 bolas são jogadas ao acaso em 20 caixas, qual é a probabilidade de que nenhuma caixa receba mais de uma bola? 2 Questão 18: Em um prédio de sete andares, um elevador parte do térreo com cinco passageiros. Se cada passageiro é igualmente provável de sair em cada andar e os passageiros saem independentemente um do outro, qual é a probabilidade de não mais que um passageiro sair a cada andar? Questão 19: Uma caixa contém 100 bolas, das quais r são vermelhas. Suponha que as bolas são retiradas da caixa uma de cada vez, de modo aleatório e sem reposição. Determine a probabilidade de... a) ...a primeira bola retirada ser vermelha. b) ...a 50a. bola retirada ser vermelha. c) ...a última bola retirada ser vermelha. Questão 20: No Brasil, as placas de carro são da forma ABC1234 (3 letras seguidas de 4 números). Quantas placas distintas podem ser formadas dessa forma? Questão 21: Cada ano começa em algum dos 7 dias da semana, e cada ano é bissexto ou não. Quantos calendários diferentes são possı́veis para um ano? 3