1a Quest˜ao 2a Quest˜ao 3a Quest˜ao 4a Quest˜ao - DECOM-UFOP

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Algoritmos e Estruturas de Dados
Alan R. R. de Freitas
Lista de Exercı́cios – Análise de Complexidade de Algoritmos
Ciência da Computação
1a Questão
O que significa dizer que uma função g(n) é O(f (n))?
2a Questão
Explique a diferença entre O(1) e O(2).
3a Questão
Prove que f (n) = 12 + 22 + ... + n2 é igual a (n3 )/3 + O(n2 )
4a Questão
Indique se as afirmativas são verdadeiras ou falsas:
(a) 2n+1 = O(2n )
(b) 22n = O(2n )
(c) 2n/2 = Θ(n)
(d) f (n) = O(u(n)) e g(n) = O(v(n)) → f (n) + g(n) = O(u(n) + v(n))
5a Questão
f (n) = Θ(g(n)) se f (n) = O(g(n)) e g(n) = O(f (n))
Mostre que max(f (n), g(n)) = Θ(f (n) + g(n))
6a Questão
Se os algoritmos A e B levam tempo a(n) = n2 − n + 549 e b(n) = 49n + 49. Para quais valores A leva menos
tempo para executar do que B?
7a Questão
Apresente um algoritmo para obter o maior e o segundo maior elementos de um conjunto. Apresente uma análise
do algoritmo. Ele é eficiente? Por quê?
8a Questão
Considere um algoritmo para inserir um elemento em um vetor ordenado de elementos. Qual o limite inferior
para este problema? Qual o melhor caso? Qual o pior caso? Qual o caso médio?
1
9a Questão
Resolver as seguintes equações de recorrência:
(a) T (n) = T (n − 1) + c, T (1) = 0 onde c é uma constante.
(b) T (n) = T (n − 1) + 2n para n ≥ 1, T (0) = 1
(c) T (n) = cT (n − 1), T (0) = k. c, k constantes, n > 0
10a Questão
Qual a equação de recorrência para um algoritmo que acha recursivamente n fatorial? Resolva. Qual a complexidade do algoritmo que resolve o problema iterativamente?
11a Questão
Do ponto de vista assintótico:
n
1 ≺ log log n ≺ log n ≺ n ≺ nc ≺ nlog n ≺ cn ≺ nn ≺ cc
Onde k ≥ 1 e 0 < < 1 < c
Indique se A é O, o, Ω, ω ou Θ de B para os pares abaixo:
A
A
A
A
A
A
A
=
=
=
=
=
=
logk n
k
n
p
(n)
2n
nlog m
log(n!)
B
B
B
B
B
B
B
O
=
=
=
=
=
=
n
cn
nsin n
2n/2
mlog n
log(nn )
2
o
Ω
ω
Θ