MOVIMENTO OSCILATÓRIO Estamos familiarizados com diversos

MOVIMENTO OSCILATÓRIO
Estamos familiarizados com diversos tipos de movimentos oscilatórios periódicos
mais exemplos de movimento oscilatório
Outros exemplos de movimento oscilatório
Electrões vibram em torno do núcleo
frequência alta: ~1014 - 1017 Hz
Os núcleos das moléculas vibram
frequência intermediária: ~1011 - 1013 Hz
Vibrações das moléculas de água
mais exemplos de movimento oscilatório
Num sólido os átomos vibram em torno
da sua posição de equilíbrio
MOVIMENTO PERIÓDICO
O movimento periódico é o movimento dum corpo que se repete regularmente
O corpo volta a uma dada posição depois dum certo intervalo de tempo fixo
O MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES (MHS)
É um tipo especial de movimento periódico e acontece quando a força que age sobre
a partícula
 é proporcional ao deslocamento da partícula em relação a posição de
equilíbrio
 e é dirigida sempre para a posição de equilíbrio
Fs  kx
MOVIMENTO DO SISTEMA MASSA-MOLA
Um bloco de massa m é ligado a uma mola
O bloco se desloca numa superfície horizontal
sem atrito
Quando a mola não está esticada nem
comprimida, o bloco está na posição de
equilíbrio x = 0
Vimos anteriormente que pela Lei de Hooke que
Fs  kx
k é a constante elástica
Fs
 força restauradora
x 
deslocamento
A força restauradora está sempre dirigida
para o ponto de equilíbrio  é sempre oposta
ao deslocamento
O movimento do sistema massa-mola é um movimento harmónico simples
•
O bloco é deslocado para a direita de
x=0
– A posição é positiva
A força restauradora é dirigida para a
esquerda
•
•
•
•
•
•
O bloco está na posição de equilíbrio
x=0
A mola não está nem esticada nem
comprimida
A força é 0
O bloco é deslocado para a esquerda
de x = 0
– A posição é negativa
A força restauradora é dirigida para a
direita
ACELERAÇÃO
De acordo com a segunda lei de Newton
Fs  ma  -kx  ma  a  
k
x
m
A aceleração é proporcional ao deslocamento do bloco
O sentido da aceleração é oposto ao sentido do deslocamento
Num corpo que se mova com um movimento harmónico simples, a aceleração é
proporcional ao seu deslocamento mas tem um sentido oposto ao deslocamento
A aceleração não é constante  as equações cinemáticas não podem ser aplicadas
Se o bloco é largado de uma posição x = A, então a aceleração inicial é
O bloco continua até x = - A onde a sua aceleração é
Quando o bloco passa pelo ponto de equilíbrio,
k
a A
m
a0
k
a A
m
MOVIMENTO DO BLOCO
O bloco continua a oscilar entre –A e +A
A força é conservativa
Na ausência de atrito, o movimento continua para sempre
Sistemas reais estão sujeitos a atrito, portanto não oscilam indefinidamente !
REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES
Tratamos o bloco como sendo uma partícula
Escolhemos que a oscilação ocorre ao longo do eixo
Aceleração 
 a   x
2
d 2x
k
a 2  x
dt
m
ou
x

Definimos
2 
k
m
d 2x
2



x
2
dt
Precisamos de uma função que satisfaça a equação diferencial de segunda ordem
Procuramos uma função x(t) cuja segunda derivada é a mesma que a função original
2
com um sinal negativo e multiplicada por 
AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN E COS RESPEITAM ESTES REQUISITOS !
Podemos construir uma solução com uma ou ambas as funções
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
A seguinte função cos é uma solução da equação
xt   A cost   
onde
A,  e 
são constantes
A é a amplitude do movimento esta é
a posição máxima da partícula quer na
direcção positiva quer negativa
 é a frequência angular
Unidade rad/s

é a fase (constante) ou o
ângulo de fase inicial
 0
•
Se a partícula está em x = A para t = 0, então
•
A fase do movimento é a quantidade
•
x(t) é períodica e o seu valor é o mesmo cada vez
que t aumenta de 2 radianos
t   
EXPERIÊNCIA
A caneta ligada ao corpo oscilante desenha
uma curva sinusoidal no papel que está em
movimento
Verifica-se assim a curva co-seno, considerada anteriormente
DEFINIÇÕES
•
O período, T, é o intervalo de tempo
necessário para que a partícula faça um ciclo
completo do seu movimento
Os valores de x e v da partícula no instante t
são iguais aos valores de x e v em t + T
T
•

O inverso do período chama-se frequência
A frequência representa o nº de oscilações executadas pela partícula por unidade
de tempo
1 
ƒ 
T 2
•
2
A unidade é o ciclo por segundo = hertz (Hz)
EQUAÇÕES DO MOVIMENTO NO MHS
x (t )  A cos ( t   )
dx
v
  A sin ( t   )
dt
d 2x
a  2   2 A cos ( t   )
dt
k
vmax   A 
A
m
k
2
amax   A  A
m
Exemplo
x (t )  A cos ( t   )
dx
v
  A sin ( t   )
dt
d 2x
a  2   2 A cos ( t   )
dt
As condições iniciais em t = 0 são
x (0)= A
v (0) = 0
Isto implica  = 0
Extremos da aceleração : ± 2A
Extremos da velocidade : ± A
ENERGIA NO MHS
Energia do sistema massa-mola
•
Energia cinética
como  2 
k
k
 m 2
m

K  12 mv2  12 m A sin t    
2
K  12 kA2 sin 2 t   
•
1
2
2 2
2
t   

A
sin
2
k

Energia Potencial
U  12 kx2  12 k  A cost   
2
U  12 kA2 cos 2 t   
•
Energia Mecânica
EM  K  U  12 kA2
OSCILAÇÕES AMORTECIDAS
Nos sistemas realistas, estão presentes o ATRITO
indefinidamente
 o movimento não oscila
Neste caso, a energia mecânica do sistema diminui no tempo e o movimento é
conhecido como movimento amortecido
Um exemplo de movimento amortecido
A força de atrito pode ser expressa como
Fatrito  bv
b é o coeficiente de amortecimento
A equação do movimento amortecido é
F  ma  kx  bv
d 2x
dx
m 2  kx  b
dt
dt

um objecto está ligado a uma mola e
submerso num líquido viscoso
OSCILAÇÕES FORÇADAS
É possível compensar a perda de energia de um sistema
amortecido aplicando uma força externa
F  F0 cos f t
A equação do movimento
oscilações forçadas é
amortecido
d 2x
dx
m 2  kx  b  F0 cos  f t
dt
dt
para
F
A amplitude de uma oscilação forçada é
A

F0 m
2
f

 02  4 2 2f
2
 onde  0 é a frequência angular
natural do oscilador
 onde  f é a frequência angular da
força aplicada no oscilador
RESSONÂNCIA
Quando a frequência angular da força aplicada é igual à frequência angular natural
(
 f   0 ) ocorre um aumento na amplitude A
A

F0 m
2
f

 02  4 2 2f
Exemplo
2
Tacoma bridge

Amáximo
Chama-se RESSONÂNCIA a esse
aumento espectacular na amplitude