MOVIMENTO OSCILATÓRIO Estamos familiarizados com diversos
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MOVIMENTO OSCILATÓRIO Estamos familiarizados com diversos tipos de movimentos oscilatórios periódicos mais exemplos de movimento oscilatório Outros exemplos de movimento oscilatório Electrões vibram em torno do núcleo frequência alta: ~1014 - 1017 Hz Os núcleos das moléculas vibram frequência intermediária: ~1011 - 1013 Hz Vibrações das moléculas de água mais exemplos de movimento oscilatório Num sólido os átomos vibram em torno da sua posição de equilíbrio MOVIMENTO PERIÓDICO O movimento periódico é o movimento dum corpo que se repete regularmente O corpo volta a uma dada posição depois dum certo intervalo de tempo fixo O MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES (MHS) É um tipo especial de movimento periódico e acontece quando a força que age sobre a partícula é proporcional ao deslocamento da partícula em relação a posição de equilíbrio e é dirigida sempre para a posição de equilíbrio Fs kx MOVIMENTO DO SISTEMA MASSA-MOLA Um bloco de massa m é ligado a uma mola O bloco se desloca numa superfície horizontal sem atrito Quando a mola não está esticada nem comprimida, o bloco está na posição de equilíbrio x = 0 Vimos anteriormente que pela Lei de Hooke que Fs kx k é a constante elástica Fs força restauradora x deslocamento A força restauradora está sempre dirigida para o ponto de equilíbrio é sempre oposta ao deslocamento O movimento do sistema massa-mola é um movimento harmónico simples • O bloco é deslocado para a direita de x=0 – A posição é positiva A força restauradora é dirigida para a esquerda • • • • • • O bloco está na posição de equilíbrio x=0 A mola não está nem esticada nem comprimida A força é 0 O bloco é deslocado para a esquerda de x = 0 – A posição é negativa A força restauradora é dirigida para a direita ACELERAÇÃO De acordo com a segunda lei de Newton Fs ma -kx ma a k x m A aceleração é proporcional ao deslocamento do bloco O sentido da aceleração é oposto ao sentido do deslocamento Num corpo que se mova com um movimento harmónico simples, a aceleração é proporcional ao seu deslocamento mas tem um sentido oposto ao deslocamento A aceleração não é constante as equações cinemáticas não podem ser aplicadas Se o bloco é largado de uma posição x = A, então a aceleração inicial é O bloco continua até x = - A onde a sua aceleração é Quando o bloco passa pelo ponto de equilíbrio, k a A m a0 k a A m MOVIMENTO DO BLOCO O bloco continua a oscilar entre –A e +A A força é conservativa Na ausência de atrito, o movimento continua para sempre Sistemas reais estão sujeitos a atrito, portanto não oscilam indefinidamente ! REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES Tratamos o bloco como sendo uma partícula Escolhemos que a oscilação ocorre ao longo do eixo Aceleração a x 2 d 2x k a 2 x dt m ou x Definimos 2 k m d 2x 2 x 2 dt Precisamos de uma função que satisfaça a equação diferencial de segunda ordem Procuramos uma função x(t) cuja segunda derivada é a mesma que a função original 2 com um sinal negativo e multiplicada por AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN E COS RESPEITAM ESTES REQUISITOS ! Podemos construir uma solução com uma ou ambas as funções REPRESENTAÇÃO GRÁFICA A seguinte função cos é uma solução da equação xt A cost onde A, e são constantes A é a amplitude do movimento esta é a posição máxima da partícula quer na direcção positiva quer negativa é a frequência angular Unidade rad/s é a fase (constante) ou o ângulo de fase inicial 0 • Se a partícula está em x = A para t = 0, então • A fase do movimento é a quantidade • x(t) é períodica e o seu valor é o mesmo cada vez que t aumenta de 2 radianos t EXPERIÊNCIA A caneta ligada ao corpo oscilante desenha uma curva sinusoidal no papel que está em movimento Verifica-se assim a curva co-seno, considerada anteriormente DEFINIÇÕES • O período, T, é o intervalo de tempo necessário para que a partícula faça um ciclo completo do seu movimento Os valores de x e v da partícula no instante t são iguais aos valores de x e v em t + T T • O inverso do período chama-se frequência A frequência representa o nº de oscilações executadas pela partícula por unidade de tempo 1 ƒ T 2 • 2 A unidade é o ciclo por segundo = hertz (Hz) EQUAÇÕES DO MOVIMENTO NO MHS x (t ) A cos ( t ) dx v A sin ( t ) dt d 2x a 2 2 A cos ( t ) dt k vmax A A m k 2 amax A A m Exemplo x (t ) A cos ( t ) dx v A sin ( t ) dt d 2x a 2 2 A cos ( t ) dt As condições iniciais em t = 0 são x (0)= A v (0) = 0 Isto implica = 0 Extremos da aceleração : ± 2A Extremos da velocidade : ± A ENERGIA NO MHS Energia do sistema massa-mola • Energia cinética como 2 k k m 2 m K 12 mv2 12 m A sin t 2 K 12 kA2 sin 2 t • 1 2 2 2 2 t A sin 2 k Energia Potencial U 12 kx2 12 k A cost 2 U 12 kA2 cos 2 t • Energia Mecânica EM K U 12 kA2 OSCILAÇÕES AMORTECIDAS Nos sistemas realistas, estão presentes o ATRITO indefinidamente o movimento não oscila Neste caso, a energia mecânica do sistema diminui no tempo e o movimento é conhecido como movimento amortecido Um exemplo de movimento amortecido A força de atrito pode ser expressa como Fatrito bv b é o coeficiente de amortecimento A equação do movimento amortecido é F ma kx bv d 2x dx m 2 kx b dt dt um objecto está ligado a uma mola e submerso num líquido viscoso OSCILAÇÕES FORÇADAS É possível compensar a perda de energia de um sistema amortecido aplicando uma força externa F F0 cos f t A equação do movimento oscilações forçadas é amortecido d 2x dx m 2 kx b F0 cos f t dt dt para F A amplitude de uma oscilação forçada é A F0 m 2 f 02 4 2 2f 2 onde 0 é a frequência angular natural do oscilador onde f é a frequência angular da força aplicada no oscilador RESSONÂNCIA Quando a frequência angular da força aplicada é igual à frequência angular natural ( f 0 ) ocorre um aumento na amplitude A A F0 m 2 f 02 4 2 2f Exemplo 2 Tacoma bridge Amáximo Chama-se RESSONÂNCIA a esse aumento espectacular na amplitude
