Matrizes e Determinantes

VESTIBULAR: RESUMOS
PROFESSOR: WALTER TADEU
MATEMÁTICA I
MATRIZES e DETERMINANTES
Definição: Matriz m x n é uma tabela de m, n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n
colunas (filas verticais).
Exemplos: 1.
1  2 3 
é uma matriz 2 x 3;
A
4 2
0
2.
 4 0
 é uma matriz 2 x2;
B  
 1 1
Como podemos notar nos exemplos 1 e 2 respectivamente, uma matriz pode ser representada por colchetes,
parênteses ou duas barras verticais.
2. Representação de uma matriz: As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus
elementos por letras minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a
coluna ocupadas pelo elemento.
a 11 a 12
a
 21 a 22
Uma matriz A do tipo m x n é representada por: A  a 31 a 32


 
a
 m1 a m 2
Exemplo 1: Seja a matriz A=
a 
ij 2 x 2 ,
a 13  a 1n 
a 23  a 2 n 
a 33  a 3n  ,

   
a m3  a mn 
onde a ij  2i  j : Genericamente, temos:
1  i  m
.

1  j  n
a 12 
a
 .
A   11
 a 21 a 22  2 x 2
a11  2(1)  1  3 

3 4 .
Utilizando a regra de formação, temos: a21  2(2)  1  5 

  A  
a12  2(1)  2  4 
5 6
a22  2(2)  2  6
3. Matrizes especiais:
3.1 Matriz linha: É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, com uma única linha.
Exemplo:
A  4 7  3 11x 4 .
4
  .
3.2 Matriz coluna: É toda matriz do tipo n x 1, isto é, com uma única coluna. Exemplo: B   1
 
 0  3x1
3.3 Matriz quadrada: É toda matriz do tipo n x n, isto é, com o mesmo número de linhas e colunas. Neste
caso, dizemos que a matriz é de ordem n.
4 7 

 ordem 2
Exemplo: C  
 2  1 2 x 2
4 1

D  0


2 7
0

3
 ordem 3

3
3x3
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Temos:
i) Diagonal principal é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que: i = j.
ii) Diagonal secundária é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i + j = n + 1..
3.4 Matriz nula: É toda matriz em que todos os elementos são nulos.
Notação:
0 0 0
O m x n . Exemplo: O 2 x 3  

0 0 0
1
3.5 Matriz diagonal: É toda matriz quadrada onde só os elementos da diagonal principal são diferentes de
zero.
 2 0
Exemplo: A 2  

0 1 
 4 0 0


B3   0 3 0  .
0 0 7


3.6 Matriz identidade: É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na diagonal principal
são nulos e os da diagonal principal são iguais a 1.
Notação: I n onde n indica a ordem da matriz identidade.
1 0 0


1, se i  j
I 3   0 1 0  ou : I n  a ij , a ij  
0, se i  j
0 0 1


1 0
Exemplo: I 2  
;
0 1 
 
3.7 Matriz transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A,
trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas.
2  1 
 2 3 0

t 
Notação: A . Exemplo: Se A  
então A = 3  2



 1  2 1
0
1 
t
t
3.8 Matriz simétrica: Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A= A .
t
OBS: Se A = - A , dizemos que a matriz A é antissimétrica.
2 3 1


Exemplo: Se A   3 2 4 
1 4 5

 3x 3
 2 3 1


A   3 2 4
1 4 5

 3x 3
t
3.9 Matriz oposta: Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A,
trocando-se o sinal de todas os seus elementos.
Notação: - A
Exemplo: Se
 3 0
  3 0
então  A = 
A


4 - 1
 4 1
3.10 Igualdade de matrizes: Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, todos os elementos
que ocupam a mesma posição são idênticos.
Notação: A = B.
Exemplo: Se
 2 0
A

 1 b 
 2 c
B
 e A = B, então c = 0 e b = 3
 1 3
OPERAÇÕES COM MATRIZES
 
Adição de Matrizes: Dadas as matrizes A= a ij
 
a matriz C = c ij
mxn ,
mxn
 
e B = b ij
mxn ,
chamamos de soma das matrizes A e B
tal que c ij  a ij  b ij , para todo 1  i  m e todo 1  i  n .
Notação: A + B = C
 
Subtração de Matrizes: Dadas as matrizes A= a ij
mxn
 
e B= b ij
mxn,
chamamos de diferença entre as
matrizes A e B a soma de A com a matriz oposta de B
Notação: A - B = A + (-B)
OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo (m x n).
Exemplo:
0 1 2 3
0    1 - 2  3  1
0  2  2  2 
3
4  7  0 - 2  4  7   0 2  4  0  7  2  4  5

 
 
 
 
 

2
Multiplicação de um número real por uma matriz: Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n ,
o produto de x por A é uma matriz do tipo m x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x.
Notação: B = x.A
OBS.: Cada elemento b ij de B é tal que b ij = x a ij
Multiplicação de matrizes: O produto de uma matriz por outra não pode ser determinado através do produto
dos seus respectivos elementos. A multiplicação de matrizes não é análoga à multiplicação de números reais.
 
Assim, o produto das matrizes A= a ij
mxp
 
e B= b ij
p xn
 
é a matriz C= c ij
mxn ,
onde cada elemento c ij é
obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos
da j-ésima coluna de B.
Decorrência da definição: A matriz produto A.B existe apenas se o número de colunas da primeira matriz
(A) é igual ao número de linhas da segunda matriz (B). Assim: A m x p e B p x n  A.Bm x n
2 3
1 2
e B= 

 , vamos determinar A.B e B.A e comparar os resultados:
4 1
3 4
Exemplo 1. Sendo A= 
2 3
1 2
.

 =
4 1 2 x 2 3 4 2 x 2
2.1  3.3 2.2  3.4 2  9 4  12 11 16
 4.1  1.3 4.2  1.4    4  3 8  4    7 12

 
 
2x 2
1 2
2 3
.

 =
3 4 2 x 2 4 1 2 x 2
1.2  2.4 1.3  2.1  2  8 3  2 10 5 
3.2  4.4 3.3  4.1  6  16 9  4  22 13

 
 
 2x 2
i) A.B = 
ii) B.A = 
Comparando os resultados, observamos que A.B
multiplicação de matrizes não vale.
 2
 0
Exemplo 2. Seja A=

 1
 2 3
 0 1  . 1 2
A.B =

  2 0
 1 4  
 B.A, ou seja, a propriedade comutativa para
3
 1 2 3
, determine A.B. (
1 
eB 
 2 0 4 2 x 3

4  3 x 2
2.2  3.0 2.3  3.4   4
4 18
 2.1  3.(2)
3 


  0.1  1.(2)
0.2  1.0
0.3  1.4    2
0 4 

4
 1.1  4.(2)  1.2  4.0  1.3  4.4   9  2 13 3 x 3
Matriz Inversa: Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz, de mesma ordem, tal que
'
A. A =
A ' .A = I n , então A ' é matriz inversa de A. (Em outras palavras: A. A '  A ' . A  I n . Isto implica que
A ' é a matriz inversa de A, e é indicada por A 1 ). Notação: A 1 .
 1 2
Exemplo. Sendo A = 
 , vamos determinar a matriz inversa de A, se existir.
 2 1  2 x 2
Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A.
1.b  2.d  1 0
 1 2 a b  1 0
 1.a  2.c
A.A ' = I n  

.
= 





 2.a  1.c - 2.b  1.d  0 1
  2 1   c d  0 1 
a  2c  1
1
2
 1
i) 
 a  2.(2a)  1  a  e c 

2
a

c

0

c

2
a
5
5


. Logo, A 1   5
2
b  2d  0  b  2d
1
2

ii ) 
 2.(2d )  d  1  d  e b  
 5
5
5
 2b  d  1
2
 
5
1 

5 2x 2
3
DETERMINANTES
Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada.
a
Determinante de primeira ordem: Dada uma matriz quadrada de 1 ordem M=
determinante associado à matriz M o número real
a 11  ,
chamamos de
a 11 . Notação: det M ou a 11 = a 11
 a 11
a 21
a 12 
, de ordem 2, por definição, temos que o
a 22 
a 11 a 12 
determinante associado a essa matriz é dado por: det M  
  a 11a 22  a 12 a 21 
a 21 a 22 
Determinante de segunda ordem: Dada a matriz M= 
Menor Complementar: Chamamos de menor complementar relativo ao elemento a ij de uma matriz M,
quadrada e de ordem n > 1, o determinante MC ij , de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando
suprimos a linha e a coluna que passam por a ij .
Cofator: Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento a ij de uma matriz quadrada
de ordem n o número A ij , tal que
A ij  (1) i  j  MC ij .
Matriz Adjunta: A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A é chamada adjunta de A.
Assim:
adjA  A
t
Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada
 
M  a ij
mx m
m  2 pode ser obtido pela
soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos
cofatores. Assim, fixando j  N, tal que 1  j  m , temos: det M 
m
a
i 1
todos os termos de índice i, variando de 1 até m,
m
ij
A ij ,onde,

é o somatório de
i 1
m N e A ij é o cofator ij.
Teorema de Cauchy: A soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz M,
ordenadamente, pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela, é igual a zero.
Regra de Sarrus: Dispositivo prático para calcular o determinante de
a 11 a 12
D= a 21 a 22
a 31 a 32
a 13 a11 a12
a 23 = a 21 a 22
a 33 a 31 a 32
a
3  ordem.
a13 a11 a12
a 23 a 21 a 22 =
a 33 a 31 a 32
D  a11a 22 a 33  a12 a 23 a 31  a13 a 21a 32   a13 a 22 a 31  a11a 23 a 32  a12 a 21a 33 
Matriz de Vandermonde: Chamamos de matriz de Vandermonde toda matriz quadrada de ordem n  2 ,
com a seguinte forma:
1
a
 1
a 12
 3
V  a 1

 n 1
a 1


1

a2 
a 22 
a 32 


a n2 1 
1 
a n 
a 2n 

a 3n 
.



a nn 1 


Observe que cada coluna dessa matriz é formada por potências de mesma base com expoentes inteiros, que
variam de 0 até n-1. O determinante da matriz de Vandermonde é dado por:
det V  a 2  a 1 a 3  a 2 a 3  a 1 a 4  a 3 a 4  a 2 a 4  a 1     a n  a n 1     a n  a 1 
4
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
P1 - Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
P2 - Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
P3 - Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é nulo.
P4 - Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de
filas paralelas, então o seu determinante é nulo.
OBS.: Definição de combinação linear: Um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ... ,vk, se
existem escalares a1, a2, ... ,ak tal que: v= a1. v1+...+ ak. vk
P5 - Teorema de Jacobi: O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de
uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
P6 - O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
P7 - Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa
matriz fica multiplicado por esse número.
P8 - Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
P9 - Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o
determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
P10 - Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o
determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal, multiplicado por
 1
nn1
2
.
detA.B  det A. det B .
1
1
Observação: Como A  A-1 = I, na propriedade acima, temos: det A.  
.
det A
P11- Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos:
P12- Se k  , então det (k.A) = kn.detA.
P13-) det (A+B)
 detA + detB.
ab bc c a
Exemplo. Se abc ≠ 0, então o determinante b  c c  a a  b é zero. Utilizando (P5) e (P1), temos:
c a ab bc
a  b  b  c  c  a b  c c  a 0a b  c c  a
bc c aab c a ab  0 c a ab  0 .
c aabbc ab bc
0 ab bc
Regra de Chió: A regra de Chió é mais uma técnica que facilita muito o cálculo do determinante de uma
matriz quadrada de ordem n ( n  2 ). Essa regra nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de
ordem n – 1, de igual determinante.
2

Exemplo: Calcular o determinante associado à matriz A  5

2
3
1
4
4
3 com o auxílio da regra de Chió:
6
Passo 1: Para podermos aplicar essa regra, a matriz deve ter pelo menos um de seus elementos igual a 1.
2 3 4
Assim fixando um desses elementos, retiramos a linha e a coluna onde ele se encontra. 5 1 3 
2 4 6

Passo 2: Em seguida subtraímos do elemento restante o produto dos dois correspondentes que foram
eliminados (um da linha e outro da coluna):
2  (5  3)
2  (5  4)
4  (3  3) 2  (15)

6  (4  3) 2  (20)
4  (9)
 13

6  (12)  18
5
.
6
5
Passo 3: Multiplicamos o determinante assim obtido por
a
a
retiradas (neste caso, 2  linha e 2  coluna).
 1i  j , onde i representa a linha e
det A  ( 1) 22
j a coluna
 13  5
 ( 1) 4  78  90  12 .
 18  6
Inversão de matrizes com o auxílio da teoria dos determinantes
A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicação do seguinte teorema:
A matriz inversa
por: A
1

A 1 de uma matriz A (quadrada de ordem n) existe se, e somente se, det A  0 e é dada
 
1
t
 adjA , onde adj A é a matriz transposta da matriz dos cofatores: adj A = A .
det A
  2 3
A
.
  1 4
Solução: Determinante da matriz A: det A   24  3(1)  8  3  5  0 . Existe a inversa.
Exemplo: Calcular, se existir, a inversa da matriz
A 11  ( 1)11  4  4;
i) Calcular os cofatores dos elementos de A:
 4
 3
ii) Matriz dos cofatores é dada por: A  
iii) Cálculo da matriz inversa: A 1 
A 12  ( 1)12   1  1
A 21  ( 1)21  3  3; A 22  ( 1)22   2  2
 4  3
 adjA  
.
 1 - 2
1  4  3  4 5 3 5 
.


 5  1 - 2   15 2 5 
1
. Logo, adjA  A
- 2
1
 adjA  A 1
det A
 
T
OBS: Para encontrar um elemento da inversa, não é necessário calcular toda a matriz inversa:
Exemplo: Calcular o elemento
a 23
A 32  ( 1)
32
A ji
det A
.
 1 2 3
da matriz inversa de A  4 1 1 .


2 0 3
det A  (1).( 3)  2(10)  3(2)  3  20  6  23
Solução: 
a ij1 
.(1  12)  ( 1).( 11)  11
1
 a 23

11
.
23
(Adaptado do material elaborado pela Profª. Viviane Carla Fortulan - Faculdade de Tecnologia de Jaboticabal)
6