Frequência

Escola Superior de Tecnologia de Viseu
Frequência de Matemática II
Cursos: Gestão de Empresas / Gestão Comercial e da Produção / Contabilidade e Administração
Duração: 2h30m
1. Seja F x  
01/07/00
x2
0
t
1 t
2
dt .
Calcule:
1.1. F ' x  ;
1.2. F 1 ;
1.3. lim F x .
x
2. Determine, caso exista,
ex
1
0 e 2 x  e x dx .
3.
3.1. Considere a equação diferencial x dy   y  ln x  dx  0 .
3.1.1. Mostre que se trata de uma equação diferencial total exacta.
3.1.2. Calcule a solução geral da equação diferencial.
3.1.3. Determine a solução particular que satisfaz y 1  1 .
3.2. Resolva a equação diferencial y '''  3 y '  2 y  x .
4. Considere as matrizes
 1  2 1
A   2  2 3
 1 2 0
e
 3 
b   7 
  2
4.1. Faça a eliminação de Gauss da matriz A.
4.2. Decomponha a matriz A num produto LDU onde L é uma matriz triangular inferior
com uns na diagonal principal, D é uma matriz diagonal e U é uma triangular superior
com uns na diagonal principal.
4.3. Calcule a inversa de A.
4.4. Resolva o sistema Ax  b utilizando o resultado da alínea anterior.
v.s.f.f.
5. Considere o sistema de equações lineares nas incógnitas x, y e z:
 ax  y  z  1

 x  ay  z  1,
 x  y  az  0

com a  IR .
5.1. Determine, caso exista, os valores de a para os quais o sistema é:
5.1.1. Possível e determinado;
5.1.2. Possível e indeterminado;
5.1.3. Impossível.
5.2. Faça a  0 e resolva o sistema pela regra de Cramer.
6. Sejam A e B duas matrizes reais n  n tais que B  2 A t , onde A t designa a matriz
transposta de A.
 
Sabendo que det B   40 , justifique que A é invertível e determine det A 1 .
7. Considere a função wx, y   2 x 3  4 y 2  216 x  24 y  7.
7.1. Indique o gradiente da função w.
7.2. Determine os pontos críticos de w.
7.3. Averigúe se a função nesses pontos é maximizada ou minimizada.