Introdução ao Movimento dos Fluidos

Capítulo 3
Introdução ao Movimento
dos Fluidos
3
3.1– Descrição do Movimento dos Fluidos
3.1.1 – D es crição Lagrangeana e E uleriana do Movimento dos
F luidos
•
O método de Lagrange descreve o movimento de cada partícula,
acompanhando-a em sua trajetória total.
•
O observador desloca-se simultaneamente como a partícula.
•
As partículas individuais são observadas como uma função do tempo.
•
A posição, a velocidade e a aceleração de cada partícula são
apresentadas como:
r ( xo , yo , zo , t )
V ( xo , yo , zo , t )
a ( xo , yo , zo , t )
3-2
3.1– Descrição do Movimento dos Fluidos
•
•
3.1.1 – D es crição Lagrangeana e E uleriana do Movimento dos
F luidos
O método de Euler consiste em adotar um intervalo de tempo,
escolher uma seção ou um volume de controle no espaço e considerar
todas as partículas que passem por esse local.
Na descrição Euleriana do movimento, as propriedades do
escoamento são função do espaço (pontos de observação) e do
tempo:
r ( x, y , z , t )
V ( x, y , z , t )
a ( x, y , z , t )
3-3
3.1– Descrição do Movimento dos Fluidos
3.1.2 – A aceleração na des crição E uleriana do movimento dos
fluidos
• A aceleração na descrição Euleriana é dada por:
dV
a=
• O vetor velocidade é dado por:
dt



V = u ⋅ i + v ⋅ j + w⋅ k
• A derivada de V é dada
por:




 ∂V
∂V
∂V
∂V
dV =
dx +
dy +
dz +
dt
∂x
∂y
∂z
∂t
• A
aceleração
portanto:
será,





∂V
∂V
∂V ∂V
a= u
+v
+ w
+
∂x
∂y
∂z ∂t
3-4
3.1– Descrição do Movimento dos Fluidos
•
3.1.2 – A aceleração na des crição E uleriana do movimento dos
fluidos
As equações escalares dos componentes da equação vetorial da
aceleração na descrição Euleriana é dada por:
∂u
∂u
∂u
∂u
ax =
+u
+v + w
∂t
∂x
∂y
∂z
∂v
∂v
∂v
∂v
ay =
+u +v + w
∂t
∂x
∂y
∂z
∂w
∂w
∂w
∂w
az =
+u
+v
+ w
∂t
∂x
∂y
∂z
3-5
3.1– Descrição do Movimento dos Fluidos
3.1.2 – A aceleração na des crição E uleriana do movimento dos
fluidos





∂V
∂V
∂V ∂V
a= u
+v
+ w
+
∂x
∂y
∂z ∂t
•
•
O termo da derivada parcial no tempo é chamado de aceleração local:


∂V
aL =
∂t
A soma dos termos da derivada parcial no espaço é chamada de
aceleração convectiva:




∂V
∂V
∂V
aC = u
+v
+ w
∂x
∂y
∂z
3-6
3.1– Descrição do Movimento dos Fluidos
3.1.3 – Linhas de Trajetória e Linhas de C orrente
• Linha de Trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados
por uma partícula em instantes sucessivos. É a linha traçada
por dada partícula ao longo de seu deslocamento.
3-7
3.1– Descrição do Movimento dos Fluidos
3.1.3 – Linhas de Trajetória e Linhas de C orrente
• Linha de Corrente é a linha tangente aos vetores velocidades
de diferentes partículas no mesmo instante. Note-se que, na
equação de uma linha de corrente, o tempo não é uma
variável, já que a noção se refere a um certo instante.
• Desse conceito decorre que duas linhas de corrente não
podem interceptar-se.
3-8
3.1– Descrição do Movimento dos Fluidos
3.1.3 – Linhas de Trajetória e Linhas de C orrente
• No interior de um fluido em escoamento existem infinitas linhas
de corrente, definidas por suas partículas fluidas.
• Se considerarmos uma curva fechada, que não seja linha de
corrente, no interior desse fluido, a superfície constituídas
pelas linhas de corrente por ela interceptadas definirá o
denominado tubo de corrente, ou veia líquida.
3-9
3.2 – Classif icação de Escoamentos
3.2.1 – E s coamentos em R egime P ermanente e N ão-P ermanente
•
Um escoamento se processa em regime permanente (ou estacionário)
quando, ao observarmos, ao longo do tempo, um volume de controle
previamente escolhido, as propriedades médias das partículas fluidas
contidas nesse volume permanecerem constantes.


∂V
aL =
= 0
∂t
•
•
No regime permanente a aceleração local é nula.
Nesse caso, as linhas de corrente e as trajetórias coincidem.
3-10
3.2 – Classif icação de Escoamentos
3.2.1 – E s coamentos em R egime P ermanente e N ão-P ermanente
• Exemplo prático de escoamento em regime permanente:
3-11
3.2 – Classif icação de Escoamentos
3.2.1 – E s coamentos em R egime P ermanente e N ão-P ermanente
• Exemplo prático de escoamento em regime não-permanente:
3-12
3.2 – Classif icação de Escoamentos
3.2.2 – E s coamentos Uni, B i e Tridimens ionais
Escoamentos Tridimensionais:
•
Todos os escoamentos que ocorrem na natureza são tridimensionais.
As grandezas que nele interferem, em cada seção transversal de um
filamento ou tubo de corrente, variam em três dimensões.
3-13
3.2 – Classif icação de Escoamentos
3.2.2 – E s coamentos Uni, B i e Tridimens ionais
Escoamentos Bidimensionais:
•
•
Se as grandezas do escoamento variarem em 2 dimensões, isto é, se
o escoamento puder definir-se, completamente, por linhas de corrente
contidas em um plano, o escoamento será bidimensional.
É o caso de um vertedor de uma barragem.
3-14
3.2 – Classif icação de Escoamentos
3.2.2 – E s coamentos Uni, B i e Tridimens ionais
Escoamentos Unidimensionais:
•
•
O escoamento é dito unidimensional quando uma única coordenada é
suficiente para descrever as propriedades do fluido.
Para que isso aconteça é necessário que as propriedades sejam
constantes em cada seção.
3-15
3.2 – Classif icação de Escoamentos
3.2.3 – E s coamentos Vis cos os e N ão-vis cos os
•
•
•
•
Um escoamento não-viscoso é aquele no qual os efeitos da
viscosidade não influenciam significativamente o escoamento e são,
portanto, desprezados.
Pode ser também chamado de escoamento de fluido ideal ou perfeito.
Um escoamento viscoso é aquele no qual os efeitos da viscosidade
são importantes e não podem ser desprezados.
Pode ser chamado também de escoamento de fluido real.
3-16
3.2 – Classif icação de Escoamentos
3.2.4 – E s coamentos Laminares e Turbulentos
EXPERIÊNCIAS DE REYNOLDS
3-17
3.2 – Classif icação de Escoamentos
3.2.4 – E s coamentos Laminares e Turbulentos
EXPERIÊNCIAS DE REYNOLDS
ρ ⋅V ⋅ D V ⋅ D
Re =
=
µ
ν
Re < 2000
: ESCOAMENTO LAMINAR
2000 < Re < 2400(*)
: Escoamento de Transição
Re > 2400
: ESCOAMENTO TURBULENTO
3-18
3.2 – Classif icação de Escoamentos
3.2.5 – E s coamentos de F luidos C ompres s íveis e
Incompres s íveis
• Um escoamento incompressível existe se a massa específica
de cada partícula de fluido permanece relativamente constante
enquanto a partícula se move através do campo de
escoamento:
Dρ
= 0
Dt
•
Isso não exige que a massa específica seja constante em todo lugar.
Se a massa específica é constante em todo lugar, então, obviamente,
o escoamento é incompressível, mas isso seria uma condição mais
restrita.
•
O escoamento atmosférico, no qual ρ = ρ(z), em que z é vertical,
assim como os escoamentos que envolvem camadas adjacentes de
água doce e salgada, são exemplos de escoamentos incompressíveis
nos quais a massa específica varia.
3-19
3.2 – Classif icação de Escoamentos
3.2.5 – E s coamentos de F luidos C ompres s íveis e
Incompres s íveis
•
Além de escoamentos de líquidos, escoamentos de gás com baixa
velocidade, tais como o escoamento atmosférico mencionado
anteriormente, são também considerados como escoamentos
incompressíveis.
•
O Número de Mach é definido como:
V
M=
c
• Onde: V é a velocidade do gás e c = (k.R.T)1/2 é a velocidade do
som.
3-20
3.2 – Classif icação de Escoamentos
•
•
•
3.2.5 – E s coamentos de F luidos C ompres s íveis e
Incompres s íveis
O número de Mach é útil para decidir se determinado escoamento de
gás pode ou não ser estudado como um escoamento incompressível.
Se M < 0,3, as variações de massa específica são no máximo de 3% e
o escoamento é assumido como incompressível. Para o ar padrão, isso
corresponde a uma velocidade abaixo de 100 m/s.
Escoamentos incompressíveis de gases incluem: escoamentos
atmosféricos, a aerodinâmica de aterrissagem e decolagem de aviões
comerciais, os escoamentos de ar em sistemas de ar condicionado e
de aquecimento, os escoamentos em torno de automóveis e através
de radiadores e ventiladores, e o escoamento de ar em volta de
edifícios, por exemplo.
Escoamentos compressíveis incluem: a aerodinâmica de aeronaves de
alta velocidade, o escoamento de ar através de turbinas de jatos, o
escoamento de vapor através de turbina em usinas termoelétricas, o
escoamento de ar em um compressor, e o escoamento de mistura de
ar-gasolina no motor de combustão interna.
3-21
3.2 – Classif icação de Escoamentos
3.2.6 – E s coamentos em R egime Uniforme e Variado
•
•
•
•
•
Um escoamento de um fluido é UNIFORME, do ponto de vista cinemático, quando
o campo de vetores velocidade, no instante considerado, é constante ao longo
do escoamento.
No escoamento uniforme as trajetórias são retas paralelas e, ao longo de cada
trajetória, no mesmo instante, todas as partículas têm igual velocidade.
A definição de escoamento uniforme obriga a constância da velocidade ao longo
do escoamento, e não transversalmente, isto é, as velocidades em trajetórias
distintas, no mesmo instante, podem diferir.
Nos escoamentos uniformes, em virtudes das trajetórias serem retilíneas,
coincidem as trajetórias e as linhas de corrente.
A velocidade média torna o escoamento uniforme na seção:
3-22
3.2 – Classif icação de Escoamentos
3.2.6 – E s coamentos em R egime Uniforme e Variado
•
Escoamentos variados:
3-23
3.2 – Classif icação de Escoamentos
3.2.7 – E s coamentos C ons ervativos e N ão-C ons ervativos
•
•
•
Um escoamento de um fluido é CONSERVATIVO, quando a massa
permanece constante ao longo do escoamento do fluido.
Este caso, de ocorrência freqüente, verifica-se nos encanamentos
onde não há adição nem subtração de matéria ao longo da parede
sólida que contorna o fluido em movimento.
Quando houver acréscimo (fontes) ou subtração de massa (poços) à
corrente de matéria, o escoamento é dito NÃO-CONSERVATIVO.
3-24
Capítulo 4
EQUAÇÕES
FUNDAMENTAIS
3
4.1– As Leis Básicas
•
EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA: a massa de um sistema
deve ser conservada, isto é, permanecer constante.
•
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO: a força resultante
agindo sobre um sistema é igual à taxa com a qual a quantidade de
movimento do sistema está mudando. É a segunda lei de Newton.
•
PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA: A taxa de transmissão de calor
para um sistema menos a taxa com a qual o sistema realiza trabalho é
igual à taxa pela qual a energia do sistema está variando. É a lei que
relaciona taxa de transmissão de calor, a taxa de realização de
trabalho e a taxa de variação da energia de um sistema.
3-26
4.2 – Equação da Conservação de Massa
( ou Equação da Continuidade) para Regime
Permanente
• Seja o escoamento de um fluido por um tubo de corrente:
•
Seja a vazão em massa na seção de entrada do sistema Qm1 e na
saída Qm2.
3-27
4.2 – Equação da Conservação de Massa
( ou Equação da Continuidade) para Regime
Permanente
•
Para que o regime seja permanente é necessário que não haja variação
de propriedades, em nenhum ponto do fluido, com o tempo.
•
Se, por absurdo, Qm1 ≠ Qm2 , então em algum ponto interno ao tubo de
corrente haveria ou acúmulo ou redução de massa. Dessa forma, a
massa específica nesse ponto variaria com o tempo, o que iria contrariar
a hipótese de regime permanente.
3-28
4.2 – Equação da Conservação de Massa
( ou Equação da Continuidade) para Regime
Permanente
Assim:
Qm1 = Qm2 ou ρ1Q1 = ρ2Q2 ou ρ1A1V1 = ρ2A2V2
•
Então a EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA UM FLUIDO QUALQUER
EM REGIME PERMANENTE pode ser resumida como:
Qm = ρQ = ρ . A . V = constante
3-29
4.2 – Equação da Conservação de Massa
( ou Equação da Continuidade) para Regime
Permanente
•
Se o fluido for incompressível, então a massa específica na entrada e na
saída do volume de controle deverá ser a mesma. Então:
ρQ1 = ρQ2 ou Q1 = Q2 ou A1V1 = A2V2
•
•
Logo, a vazão de fluido incompressível é a mesma em qualquer seção
do escoamento.
A
EQUAÇÃO
DA
CONTINUIDADE
PARA
UM
FLUIDO
INCOMPRESSÍVEL EM REGIME PERMANENTE é:
Q = A . V = constante
3-30
4.2 – Equação da Conservação de Massa
( ou Equação da Continuidade) para Regime
Permanente
• Para o caso de diversas entradas (e) e saídas (s) de fluido do
sistema, a equação da continuidade pode ser generalizada por
uma somatória de vazões na entrada e outra na saída, isto é:
∑
Qm =
e
∑
Qm
∑
Q
para fluidos quaisquer.
s
∑
e
Q=
para fluidos incompressíveis.
s
3-31