ˆ B e ˆ ˆ B = ˆ B

Licenciatura em Matemática
Fundamentos de Matemática Elementar
Professora Adriana
2o/2010
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO E
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1.
Calcule sen x, tg x e cotg x sendo dado:
a) cos x =
1
2
b) cos x =
2
5
c) cos x = 0,96
Sabendo que B̂ e Ĉ são complementares, calcule cos Ĉ , tg Ĉ e cotg Ĉ quando:
5
3
a) cos B̂ = 0,57
c) cos B̂ =
b) cos B̂ =
6
5
3. Em um triangulo retângulo, determine o valor de x (cateto AC) dado que a
hipotenusa BC vale 15 cm e o ângulo B vale 30 graus.
2.
4.
Uma escada de bombeiros pode ser estendida até um comprimento máximo de 25
metros, formando um angulo de 70° (ver valor na calculadora) com a base, que está
sobre um caminhão, a 2 metros do solo. Qual é a altura máxima que a escada
atinge? resp (25,49 m)
5. Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele
colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do
edifício e mediu um ângulo de 30°. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5
metro do solo, qual é a altura do edifício? (sen 30° = 0,5, cos 30° = 0,866, tg 30° = 0,577)
6.
Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa de 3 m de comprimento e
30º de inclinação, conforme a figura. Devem-se construir sobre a rampa 6 degraus
de mesma altura. Qual a altura de cada degrau?
7. Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos
ângulos mede 60º. (Resp.: 3√3 e 3)
1
8. Quando o ângulo de elevação do sol é de 65º, a sombra de um edifício mede 18m.
Calcule a altura do edifício. (Resp.: 38,6m)
(Dados: sen 65º = 0,9063, cos 65º = 0,4226 e tg 65º = 2,1445).
9. Uma escada encostada em um edifício tem seus pés afastados a 50 m do edifício,
formando assim, com o plano horizontal, um ângulo de 32º. A altura do edifício é
aproximadamente: (Resp.: letra c) (Dados: sen 32º = 05299, cos 32° = 0,8480 e tg 32º = 0,6249).
a) 28,41m
b) 29,87m
c) 31,24 m
d) 34,65 m
10. Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 8 km, o avião se
encontra a uma altura de: (Resp.: letra c)
a) 2 km
b) 3 km
c) 4 km
d) 5 km
11. Um foguete é lançado sob um ângulo de 30 º. A que altura se encontra depois de
percorrer 12 km em linha reta? (Resp.: 6 km)
12. Do alto de um farol, cuja altura é de 20 m, avista-se um navio sob um ângulo de
depressão de 30º. A que distância, aproximadamente, o navio se acha do farol? (Use
√3 = 1,73) (Resp.: 34,6m)
13. Num exercício de tiro, o alvo está a 30 m de altura e, na horizontal, a 82 m de
distância do atirador. Qual deve ser o ângulo (aproximadamente) de lançamento do
projétil? (Resp.: 20°) (Dados: sen 20º = 0,3420, cos 20º = 0,9397 e tg 20º = 0,3640).
14. Se cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60 º, calcule a medida da altura de
um triângulo equilátero de lado 20 cm. (Resp.: 10√3)
15. Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que vai escalar. Para isso,
afasta-se, horizontalmente, 80 m do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo
de 55º com o plano horizontal. Calcule a altura da encosta. (Resp.: 113,6m)
(Dados: sen 55º = 0,81, cos 55º = 0,57 e tg 55º = 1,42)
16. Exprimir em radianos:
a) 45°
b) 135°
2
c) 300°
17. Exprimir em graus:
7π
a)
rad
3
b)
5π
rad
3
c)
11π
rad
6
18. Converta em radianos os arcos 22°30' e 31°15'45''.
19. Calcular, em graus, a medida do ângulo aÔb da figura
20. Calcular o comprimento l do arco AB definido numa circunferência de raio r = 10
cm, por um ângulo central de 60º.
21. Calcular o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que está
marcando:
a) 1 h
b) 1 h 15 min
c) 1 h 40 min
22. Indicar no ciclo trigonométrico a imagem de cada número x a seguir:
a) x =
28π
3
11π
f) x =
6
25π
g) x = −
3
π
3
e) x =
π
3
c) x = 21π
13π
d) x =
4
b) x = −
3
π 5π 7π 11π
,
,
e
. Em seguida, dê o sinal do seno e do cosseno
6 6
6
6
23. Localize os arcos
de cada um deles.
24. Utilizando simetria e sabendo que sen
cosseno de
π 1
π
3
,dê o valor do seno e do
= e cos =
6 2
6
2
5π 7π 11π
,
e
.
6
6
6
π 3π 5π 7π
,
,
. Em seguida, dê o sinal da tangente e da
e
4 4
4
4
cotangente de cada um deles.
25. Localize os arcos
26. Sabendo que tg
3
5π 7π 11π
, dê o valor da tangente de
,
e
.
3
6
6
6
π
6
=
27. Sabendo que cotg
π
3
=
3
2π 4π 5π
, dê o valor da cotangente de
,
e
.
3
3
3
3
28. Calcule as expressões:
π
π
+ sen − sen 2π
6
4
π 1
7π
b) 2sen + sen
6 2
4
π
π
c) cos + cos − cos 2π
3
4
π 1
7π
d) 2 cos + cos
6 2
4
π
π
+ tg − tg 2π
3
4
5π 1
1 5π
f) −2tg
+ tgπ − tg
4 2
3
6
2π 1
5π
g) 2cotg
− cotg
3 2
6
π
π
2π
7π
h) sen + cos − tg
+cotg
3
4
3
6
e) tg
a) sen
π 2π 5π
5π
,
,
e
. Em seguida, dê o sinal da secante e da
3
3
4
6
cossecante de cada um deles.
29. Localize os arcos
2 3
π
e cossec = 2 , localize os arcos, utilize simetria e dê o
6
3
6
5π 7π 11π
valor da secante da cossecante de
,
e
.
6
6
6
30. Sabendo que sec
π
=
π
π 
π
π

31. Qual o valor de  cos sec + sen   sen − sec  ?
6
6 
4
3

4
32. Qual é o sinal de cada uma das seguintes expressões?
a) y = sen 45º + cos 45º
b) y = sen 225º + cos 225º
c) y = sen 300º + cos 300º
33. .Faça o gráfico de um período completo das funções a seguir e determine sua
imagem.
a) y = - sen (x)
g) y = cos (x - π/4)
b) y = 2sen (2x)
h) y = 5 + 3cos (4x - 7)
c) y = -1 + sen (2x)
i) y = tg (2x + π/6)
d) y = sen (x + π/3)
j) y = cotg (x - π/6)
e) y = cos (5x)
k) y = sec (2x)
f) y = -3cos (x)
l) y = cossec (2x )
π
)?
3
5π kπ


D ( f ) =  x ∈ R, x ≠
+
,k ∈Z 
12 2


34. Qual é o domínio da função real f tal que f(x) = tg 3x e f(x) = tg (2x 

Resp.: D ( f ) =  x ∈ R, x
π
≠
6
+
kπ

,k ∈Z  e
3

35. Esboce o gráfico, dê o domínio e o período d a função f(x) = tg (x 36. Determine o domínio e o período das funções reais
a) f(x) = cotg (x -
π
)
3
b) g(x) = sec 2x
c) cossec (x +
π
)
4
5
π
).
4