lista2 - Universidade Federal de Pelotas

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
PROF. MARCELO SCHRAMM
CÁLCULO B – LISTA 2: CÔNICAS E COORDENADAS POLARES
Fonte: Anton, H. “Cálculo 10E v2”, Bookman. Porto Alegre, Brasil, 2014.
1. E cada parte, encontre as coordenadas retangulares do ponto 16. Encontre a área da região do primeiro quadrante interior à
cardioide r = 1 + sin θ.
cujas coordeandas polares estão dadas.
(a) (−8, π/4)
(c) (8, 9π/4)
(b) (7, −π/4)
(d) (5, 0)
(e) (−2, −3π/2) 17. Determine a área da região que é comum aos cı́rculos r = 1,
(f) (0, π)
r = 2 cos θ e r = 2 sin θ.
2. Expresse os pontos cujas coordenadas xy são (−1, 1) em co- 18. Determine a área da região que é interna à cardioide de
equação r = a (1 + sin θ) e externa ao cı́rculo r = a sin θ.
ordenadas polares com
(a) r > 0, 0 ≤ θ < 2π
(c) r > 0, −π < θ ≤ π
Nos exercı́cios 19.–22., esboce a parábola e identifique
(b) r < 0, 0 ≤ θ < 2π
(d) r < 0, −π < θ ≤ π
o foco, o vértice e a diretriz.
3. Em cada parte, decida o que
a curva polar: uma rosácea,
limaçon, uma cardioide, uma
nenhum desses.
(a) r = 3 cos θ
(b) r = cos (3θ)
3
(c) r =
cos θ
(d) r = 3 − cos θ
2
descreve mais precisamente 19. y 2 = 6x
21. (y + 1) = −7 (x − 4)
uma reta, um cı́rculo, um
2
espiral, uma lemniscata ou
1
= 2 (y − 1)
22.
x
−
20. x2 = −9y
2
(e) r = 1 − 3 cos θ
Nos exercı́cios 23.–26., esboce a elipse e identifique os
(f) r2 = 3 cos θ
focos, os vértices e as extremidades do eixo menor.
(g) r = (3 cos θ)
(h) r = 1 + 3θ
2
x2
y2
24. 4x2 + 9y 2 = 36
+
=1
4
25
2
2
25. 9 (x − 1) + 16 (y − 3) = 144
23.
4. Em cada parte, identifique a curva convertendo a equação
2
2
polar para coordenadas
retangulares. Suponha
queπ a > 0. 26. 3 (x + 2) + 4 (y + 1) = 12
θ
(c) r = 4 csc θ −
(a) r = a sec2
4
Nos exercı́cios 27.–29., esboce a hipérbole e identifique
2
2
2
os vértices, os focos e as assı́ntotas.
(b) r cos (2θ) = a
(d) r = 4 cos θ + 8 sin θ
x2
y2
28. 9y 2 − 4x2 = 36
5. Em cada parte, expresse a equação dada em coordenadas 27.
−
=1
16
4
polares.
2
2
2
2
(x
−
2)
(y − 4)
(a) x = 7
(c) x + y − 6y = 0
29.
−
=1
9
4
(b) x2 + y 2 = 9
(d) 4xy = 9
30. Em cada parte, esboce o gráfico da seção cônica.
Nos exercı́cios 6.–10., esboce a curva em coordenadas
(a) x2 − 4x + 8y + 36 = 0
polares.
(b) 3x2 + 4y 2 − 30x − 8y + 67 = 0
π
9. r2 = sin (2θ)
6. θ =
(c) 4x2 − 5y 2 − 8x − 30y − 21 = 0
6
7. r = 6 cos θ
Nos exercı́cios 31.–33., encontre uma equação para a
8. r = 3 (1 − sin θ)
10. r = 3 − cos θ
cônica descrita.
11. Mostre que o √
valor máximo da coordenada y dos pontos da 31. Uma parábola com vértice (0, 0) e foco (0, −4).
curva r = 1/ θ, com θ no intervalo (0, π], ocorre quando
√ 32. Uma elipse com extremidades do eixo maior em 0, ± 5 e
tan θ = 2θ.
as extremidades do eixo menor em (±1, 0).
12. (a) Determine o máximo e o mı́nimo da coordenada x dos
33. Uma hipérbole com vértices (0, ±3) e assı́ntotas y = ±x.
pontos da cardioide r = 1 − cos θ.
(b) Determine o máximo e o mı́nimo da coordenada y dos 34. Em cada parte: (i) identifique o gráfico polar como uma
pontos da cardioide r = 1 − cos θ.
parábola, elipse ou hipérbole; (ii) indique se a diretriz está
acima, abaixo à esquerda ou à direita do polo; e (iii) deter13. Determine a inclinação da reta tangente à curva polar r =
mine a distância do polo à diretriz.
1 + sin θ em θ = π/4.
1
1
(a) r =
(c) r =
3 + cos θ
3 (1 + sin θ)
14. (a) Determine o comprimento de arco da curva polar r =
1
3
1/θ com π/4 < θ < π/2.
(b) r =
(d) r =
1 − 3 cos θ
1 − sin θ
(b) O que pode ser dito sobre o comprimento de arco da
Nos exercı́cios 35.–36., determine uma equação nas
parte da curva que está situada dentro do cı́rculo r = 1?
coordenadas xy para a seção cônica que satisfaça as
15. Determine a área da região englobada pela cardioide de
condições dadas.
equação r = 2 + 2 cos θ.
(c) Se AC = 0, então a equação representa uma parábola,
um par de retas paralelas ou não possui gráfico.
35. (a) Elipse com excentricidade e = 2/7 e extremos do eixo
menor nos pontos (0, ±3).
√
√
40. Mostre que o gráfico da equação x + y = 1 é uma parte
(b) Parábola com vértice na origem, foco sobre o eixo y e
de uma parábola. [Sugestão: Primeiro racionalize a equação
diretriz passando no ponto (7, 4)
e depois aplique uma rotação de eixos.]
(c) Hipérbole que tem os mesmos focos que a elipse 3x2 +
16y 2 = 48 e assı́ntotas y = ±2x/3.
41. Discuta como a excentricidade de uma hipérbole afeta o for-
36. (a) Elipse com centro (−3, 2), vértice (−2, 2) e excentricidade e = 4/5.
(b) Parábola com foco (−2, −2) e vértice (−2, 0).
mato da hipérbole. como varia o formato quando e tende
a 1? Equando e tende a +∞? Faça alguns esboços para
ilustrar suas conclusões.
(c) Hipérbole com vértice (−1, 7) e assı́ntotas y − 5 =
±8 (x + 1).
π/2
37. Mostre que a espiral hiperbólica r = 1/θ (θ > 0) tem
uma assı́ntota horizontal em y = 1, mostrando que y → 1 e
x → ∞ quando θ → 0+ .
38. Um dos mais famosos problemas da antiguidade grega era
o da “quadratura do cı́rculo”, isto é, usando uma régua e
um compasso, construir um quadrado cuja área fosse igual
à de um cı́rculo dado. Foi provado no século XIX que tal
construção não era possı́vel. Contudo, mostre que as áreas
hachuradas na fig. 1 são iguais, portanto provamos a “quadratura da crescente”.
0
39. Considere a equação de segundo grau Ax2 + Cy 2 + Dx +
Ey + F = 0 onde A e C não são nulos. Mostre completando
o quadrado:
(a) Se AC > 0, então a equação representa uma elipse, um
cı́rculo, um ponto ou não possui gráfico.
(b) Se AC < 0, então a equação representa uma hipérbole
ou um par de retas concorrentes.
ALGUMAS RESPOSTAS
√ (e) (0, −2)
25. focos:
1 ± 7, 3 , vértices: (1 ± 4, 3), extremidades:
(f) (0, 0)
(1, 3 ± 3)
√
√ √ √ 1. (a) −4 2, −4 2 (c) 4 2, 4 2
√
√ (b) 7/ 2, −7/ 2 (d) (5, 0)
4. (a) parábola
(c) reta
(b) hipérbole
6. reta
12. (a) −2, 1/4
15. A = 6π
(d) cı́rculo
8. cardioide
Figura 1: Exercı́cio 38.
10. cı́rculo
√
√
(b) −3 3/4, 3 3/4
√ x
±2 5, 0 , vértices: (±4, 0), assı́ntotas: y = ±
2
√
29. focos: 2 ± 13, 4 , vértices: (2 ± 3, 4), assı́ntotas: y =
2
± (x − 2) + 4
3
27. focos:
31. x2 = −16y
√
5π
3
34. (a) (i) elipse; (ii) à direita; (iii) 1
−
12
2
(b) (i) hipérbole; (ii) à esquerda; (iii) 1/3
3
3
(c) (i) parábola; (ii) acima; (iii) 1/3
19. foco:
, 0 , vértice: (−3, 0), diretriz: x = −
2
2
(d) (i) parábola; (ii) abaixo; (iii) 3
9
23
21. foco:
, −1 , vértice: (4, −1), diretriz: x =
2
2
2
4
4
(x + 3)
(y − 2)
(y − 5)
2
36.
(a)
+
=
(c)
−16 (x + 1) =
√
25
9
4
23. focos:
0, ± 21 , vértices: (0, ±5), extremidades:
1
1
2
(±2, 0)
(b) (x + 2) = −8y
17. A =