Lista Cônicas

Lista de Exercı́cios II - Cônicas
Prof. Arthur Gilzeph - UFCG/CCTA/UACTA
9 de dezembro de 2014
1. Dada a parábola abaixo, determinar o foco, uma equação da diretriz e construir o gráfico.
x2
a) x2 = −4y
b) y 2 = 6x
c) 2y 2 − 9x = 0
d) y =
.
16
2. Determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz, uma equação do eixo e
esboçar o gráfico da parábola dada abaixo:
a) x2 + 4x + 8y + 12 = 0
b) y 2 + 4y + 16x − 44 = 0
c) 4y = x2 − 8x − 4.
3. Obter uma equação e esboçar o gráfico da parábola que satisfaça as seguintes condições:
e) foco F(-7,3) e diretriz x+3=0;
a) vértice V(0,0) e diretriz y=-2;
f ) vértice V(4,-3), eixo y=0 e passa por P(2,1);
b) foco F(0,-1/4) e diretriz 4y-1=0;
g) foco F(0,0), eixo y=0 e passa por A(3,4);
c) vértice V(2,-1) e foco F(5,-1);
h) foco F(0,-1), eixo x=0 e passa por A(4,2).
d) vértice V(4,1) e diretriz y+3=0;
4. Dada a parábola de equação y = −x2 + 4x + 5, determinar o vértice, as interseções com os eixos
coordenados, o foco, uma equação da diretriz e esboce o gráfico.
5. Obter uma equação geral da parábola dada pelas equações paramétricas
t2
t2
a) x = t + 1 y =
−2
b) x =
+ 4 y = t.
3
4
6. Uma famı́lia de parábolas tem equação y = ax2 + bx + 8. Se uma delas passa pelos pontos (1,3) e
(3,-1), determinar: a) os pontos de interseção com o eixo dos x; b) os pontos de ordenada 15; c)
equações paramétricas desta parábola.
7. Determinar os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das elipses abaixo:
x2 y 2
a)
+
=1
b) x2 + 25y 2 = 25
c) 4x2 + 9y 2 = 25.
25
4
8. Determinar a equação reduzida, o centro, os vértices A1 e A2 , os focos a excentricidade e esboçar o
gráfico da elipse dada em cada caso abaixo:
a) 9x2 + 16y 2 − 36x + 96y + 36 = 0
b) 4x2 + 9y 2 − 24x + 18y + 9 = 0.
9. Obter uma equação e esboçar o gráfico da elipse que satisfaça as seguintes condições:
a) focos F (±4, 0) e eixo maior igual a 10;
e) centro C(1,4), um foco F(5,4) e excentricidade 2/3;
b) focos F (0, ±5) e eixo menor igual a 10;
f ) focos F1 (2, −1) e F2 (2, 5) e eixo maior igual a 10;
g) vértices A1 (−7, 2) e A2 (−1, 2) e eixo menor igual a√2;
c) focos F (±3, 0) e vértices A(±4, 0);
√
h) centro C(0,1), um vértice A(0,3) e excentricidade 3/2.
d) focos F (0, ±3) e excentricidade 3/2;
1
10. a) Mostre que se P1 (x0 , y0 ) satisfaz a equação
e P4 (−x0 , −y0 ) também satisfazem.
x2 y 2
+ 2 = 1, então os pontos P2 (−x0 , y0 ), P3 (x0 , −y0 )
a2
b
b) Conclua, a partir do item a),que a elipse é simétrica em relação a cada um de seus eixos e em
relação à origem.
y2
x2
+
= 1.
a2
b2
Observação. Quando t varia de 0 a 2π, o ponto (acost, bsent) percorre a elipse, a partir do vértice
A(a, 0), uma vez. Chamamos as equações
x = acost
y = bsent
11. Mostre que, qualquer que seja o valor de t, o ponto (acost, bsent) pertence à elipse
de equações paramétricas da elipse.
12. Obter equações paramétricas da elipse de equação dada:
a) x2 + 4y 2 = 4
b) 9(x − 1)2 + 25(y + 1)2 = 225.
13. Obter uma equação geral da elipse dada pelas equações paramétricas
a) x = 5 cos θ y = 5 senθ
b) x = 2 + 4 cos θ y = 3 + 2 senθ.
14. Determinar os vértices, os focos, a excentricidade, as equações das assı́ntotas e esboce o gráfico das
hipérboles abaixo:
x2 y 2
a)
−
=1
b) 16x2 − 25y 2 − 400 = 0
c) 4x2 − 5y 2 + 20 = 0
4
9
d) x2 − 9y 2 = 1.
15. Determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos a excentricidade, as equações das
assı́ntotas e esboçar o gráfico da hipérbole dada em cada caso abaixo:
a) 9x2 − 4y 2 − 18x − 16y − 43 = 0
b) x2 − 4y 2 + 6x + 24y − 31 = 0.
16. Obter uma equação e esboçar o gráfico da hipérbole que satisfaça as seguintes condições:
a) focos F (±5, 0) e vértices A(±3, 0);
d) centro C(3,2), um foco F(-1,2) e um vértice A(1,2);
b) focos F (0, ±4) e eixo real de medida 2;
e) vértices em (3,-2) e (5,-2) e um foco em (7,-2);
c) vértices A(0, ±2) e assı́ntotas y = ±x/4;
f ) focos F1 (−6, 1) e F2 (0, 1) e eixo real medindo 4.
x2
y2
−
= 1.
a2
b2
π
3π
Observação. Quando t varia de 0 a 2π com t 6= 2 e t 6= 2 , o ponto (asect, btant) percorre a
hipérbole, a partir do vértice A(a, 0), uma vez. Chamamos as equações
x = asect
y = btant
17. Mostre que, qualquer que seja o valor de t, o ponto (asect, btant) pertence à hipérbole
de equações paramétricas da hipérbole.
18. Obter equações paramétricas da hipérbole de equação dada:
a) x2 − 4y 2 = 4
b) 3x2 − y 2 + 18x + 18 = 0.
19. Obter uma equação geral da hipérbole dada pelas equações paramétricas
a) x = 4 sec θ y = 2 tan θ
b) x = 2 + 3 tan θ y = 1 + 4 sec θ.
2